2022届高三数学二轮复习课件：专题一　第3讲　利用导数研究函数的单调性、极值与最值

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1.导数的几何意义函数f(x)在x=x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f'(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).温馨提示求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点.
2.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.①f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在区间(-∞,+∞)上单调递增,但f'(x)≥0.②f'(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,如函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)为常数函数.(2)求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0.
(3)若f(x)在区间D上单调递增,转化为在区间D上f'(x)≥0恒成立;若f(x)在区间D上单调递减,转化为在区间D上f'(x)≤0恒成立(注意:f'(x)=0在区间D的任意子区间上不恒成立).
(4)若f(x)在区间D上存在单调递增区间,转化为f'(x)>0在区间D上有解;若f(x)在区间D上存在单调递减区间,转化为f'(x)<0在区间D上有解.
3.利用导数研究函数的极值、最值(1)若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,则f(x)在区间[a,b]上必有最大值和最小值,且在极值点或端点处取得.(3)若函数在开区间或无穷区间上有唯一的极值,则其即为相应的最值.
易错提醒若函数的导数存在,则某点处的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件,因此已知极值点求参数值时要注意检验.
[例1-1] (2021·湖南衡阳高三二模)若函数f(x)=1-ax2(a>0)与g(x)=1-ln x的图象存在公切线,则实数a的最小值为(　　)
[例1-2](2021·全国甲,理13)曲线y= 在点(-1,-3)处的切线方程为　　　　　　　　　　. 
答案 5x-y+2=0　
方法总结利用导数的几何意义解决切线问题的方法(1)已知切点(x0,y0),则曲线y=f(x)的切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).(2)已知曲线y=f(x)的切线斜率k,求切点坐标(x0,y0)时,可根据f'(x0)=k解方程得到.(3)求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线方程时,应设出切点(x0,y0),则切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0),再将点(x1,y1)的坐标代入切线方程,求出x0即得切线方程.(4)解决曲线y=f(x)和y=g(x)的公切线问题时,通常有两种方法:一是利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解;二是分别设出公切线与曲线y=f(x)和y=g(x)的切点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有
(2)(2021·山东滨州期中)若曲线f(x)=x3-2x在点P处的切线与直线l:x-y-2=0平行,则点P的坐标为　　　　　. (3)(2021·河北张家口高三三模)若对任意的非零实数a,均有直线l:y=ax+b与曲线y=a 相切,则直线l必过定点　　　　　. 
∵曲线f(x)在点P处的切线平行于直线l:x-y-2=0,
当x0=1时,点P(1,-1),则所求切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0,与直线l重合,不符合题意;当x0=-1时,点P(-1,1),则所求切线方程为y-1=x+1,即x-y+2=0,与直线l平行.综上所述,点P的坐标为(-1,1).
命题角度1　求单调区间或判断单调性
A.f(x)的单调递减区间为(0,1)B.f(x)的极小值点为1C.f(x)的极大值为-1D.f(x)的最小值为-1
所以φ(x)=1-ln x-x2在(0,+∞)上单调递减.因为φ(1)=0,所以当00;当x>1时,φ(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞),故f(x)的极大值点为1,f(x)的极大值为f(1)=-1.
易错警示利用导数求函数的单调区间,其实质是转化为解不等式问题,但应注意以下几点(1)首先确定函数的定义域,忽视定义域的限制容易导致错误.(2)当函数在区间的端点处有定义时,单调区间可以写成闭区间也可以写成开区间,但当函数在区间的端点处没有定义时,单调区间只能写成开区间.(3)当函数具有多个单调递增区间(递减区间)时,一般不能用“∪”联结,而应该用“和”“及”等联结.
(2021·山东东营月考)已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则当0f'(x)的解集为(　　)
解析 若题图中实线部分曲线为函数y=f(x)的图象,则虚线部分曲线为导函数y=f'(x)的图象,由导函数y=f'(x)的图象可知,当0f'(x)的解集为(0,1).故选A.
[例2-2](2021·山东德州期末)已知函数f(x)=ln x+ax2-(a+2)x+2(a为常数).(1)若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值;(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性.
名师点析分类讨论思想解决含参数函数单调性问题利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间.(2)注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点.(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等.(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述.
(2021·广东揭阳高三一模)已知函数f(x)=ex-(x+m)ln(x+m)+x,m≤2.(1)若直线l:y=x+1是曲线f(x)的切线,求m的值;(2)判断函数f(x)的单调性,并证明.
解 (1)函数f(x)的定义域为(-m,+∞).对函数f(x)求导可得f'(x)=ex-ln(x+m).设直线l与曲线f(x)相切的切点为(n,t),
(2)由第(1)问可得f'(x)=ex-ln(x+m),令g(x)=ex-(x+1),则g'(x)=ex-1.可知当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0.即g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,于是有g(x)=ex-(x+1)≥g(0)=0,即有ex≥x+1恒成立.构造函数h(x)=(x+1)-ln(x+2),
可知当x∈(-2,-1)时,h'(x)<0;当x∈(-1,+∞)时,h'(x)>0.即h(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,于是有h(x)=(x+1)-ln(x+2)≥h(-1)=0,即有ln(x+2)≤x+1恒成立.当m≤2时,ln(x+m)≤ln(x+2)≤x+1成立.综上可得ex≥x+1≥ln(x+m),即有f'(x)≥0恒成立,故函数f(x)为单调递增函数.
命题角度2　根据单调性求参数的取值范围
方法总结根据函数单调性求参数取值范围的类型及解法
[例2-4](2021·湖南长沙期中)已知函数f(x)=(1+x)ln(1+x)-ax2-(2a+1)x,若f(x)在定义域内是减函数,求a的最小值.
解 由题意知,f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=ln(1+x)-2a(x+1).∵f(x)在定义域内是减函数,∴f'(x)≤0在区间(-1,+∞)上恒成立,即ln(1+x)-2a(x+1)≤0对x∈(-1,+∞)恒成立,
令g'(x)=0,解得x=e-1.当x∈(-1,e-1)时,g'(x)>0,当x∈(e-1,+∞)时,g'(x)<0.∴g(x)在区间(-1,e-1)上单调递增,在区间(e-1,+∞)上单调递减,因此
方法点拨已知函数单调性求参数取值范围问题注意点(1)已知函数单调性求参数取值范围问题主要采用等价转化法,但要注意函数在某一区间上单调递增(递减)与存在单调递增(递减)区间的区别,前者是恒成立问题,后者是不等式有解问题.(2)解决这类问题主要与参数处理相关,因此尽量采取措施合理地规避分类讨论,简化求解过程,否则就要运用分类讨论的思想解决问题.
(2021·福建龙岩月考)已知函数f(x)= ,若f(x)在区间(0,1)上单调递增,求实数a的取值范围.
命题角度1　利用导数求函数的极值与最值 [例3-1](2021·辽宁锦州期末)若x=-1是函数f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1的极值点,则f(x)的极小值为(　　)A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1
解析 因为f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1,所以f'(x)=e2x-1[8x2+(8-4a)x-(2a+2)].依题意有f'(-1)=0,解得a=1,于是f(x)=(4x2-2x-1)e2x-1,f'(x)=4e2x-1(2x2+x-1).
[例3-2](2021·新高考Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为　　　　　. 
方法点拨1.利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的一般步骤(1)求函数f(x)在区间(a,b)内的极值;(2)求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a),f(b);(3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象得到函数的最值.
(1)(2021·江苏镇江期中)已知函数f(x)=ex-3,g(x)=1+ln x,若f(m)=g(n),则n-m的最小值为(　　)A.-ln 2B.ln 2C.2D.-2(2)(2021·山东泰安月考)若方程x3-3x+m=0在区间[0,2]上有解,则实数m的取值范围是(　　)A.[-2,2]B.[0,2]C.[-2,0]D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
答案 (1)D　(2) A
解析 (1)令t=f(m)=g(n)(t>0),则em-3=t,1+ln n=t,所以m=3+ln t,n=et-1,所以n-m=et-1-3-ln t.
当01时,h'(t)>0,h(t)单调递增.所以h(t)min=h(1)=e0-3-ln 1=-2,即n-m的最小值为-2.故选D.
(2)由题意得-m=x3-3x,x∈[0,2].令y=x3-3x,x∈[0,2],则y'=3x2-3.令y'=0,解得x=1(x=-1舍去),当x∈[0,1)时,y'<0;当x∈(1,2]时,y'>0,因此函数y=x3-3x,x∈[0,2]在区间[0,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增.又x=1时,y=-2;x=2时,y=2;x=0时,y=0,所以函数y=x3-3x,x∈[0,2]的值域是[-2,2],因此-m∈[-2,2],即m∈[-2,2].故选A.
命题角度2　根据函数的极值或最值求参数
思想方法等价转化思想在解决极值与最值问题中的应用利用导数研究函数的极值与最值问题,多与“参数处理”问题有关,解决这类问题时,基本策略是等价转化,通过对问题的不断转化进行求解.(1)函数f(x)在某一区间上有极值(点),可转化为方程f'(x)=0有满足某种条件的解.(2)求函数的极值、最值问题,可转化为研究函数的单调性问题.(3)求函数的极值、最值问题,可转化为解方程、不等式问题,而某些方程有解、不等式有解、不等式恒成立问题则可转化为研究函数的最值问题.
(2021·天津和平区月考)已知f(x)=(x2+2x+a)ex,若f(x)存在极小值,则实数a的取值范围是　　　　　. 
答案 (-∞,2)　解析 由题意得f'(x)=(2x+2)ex+(x2+2x+a)ex=ex(x2+4x+a+2),若f(x)存在极小值,则方程f'(x)=0有两个不相等的实根,即方程x2+4x+a+2=0有两个不相等的实根,所以Δ=16-4(a+2)>0,解得a<2,所以实数a的取值范围是(-∞,2).
名师点析根据函数极值情况求参数取值范围的方法(1)若函数f(x)在区间I上有极值点,则f'(x)在区间I上有变号零点,亦即方程f'(x)=0有满足相应条件的实数根,从而可转化为方程有解问题,也可转化为直线与曲线的交点问题进行求解.(2)若问题与极大值、极小值有关,则应将极值用极值点表示出来,充分利用极值点满足的条件对代数式进行转化整理,特别注意一元二次方程根与系数关系的运用,将极值点消去,保留参数,然后再进行求解.(3)若问题经转化后,需要确定一个代数式的最值或范围,则往往需要构造函数,转化为函数的最值,借助导数解决.
(2021·湖南株洲一模)已知函数f(x)=ex-x-axln(x+1)-1.(1)若a=0,求f(x)的最小值;(2)函数f(x)在x=0处有极大值,求a的取值范围.
解 (1)当a=0时,f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.∴f(x)的极小值也是最小值为f(x)min=f(0)=0.
当a≤0时,g'(x)>0,g(x)在(-1,+∞)上单调递增,∴x∈(-1,0)时,g(x)g(0)=0,∴f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴x=0是f(x)的极小值点,与题意矛盾.
故有f'(x)>f'(0)=0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,与题意矛盾.