22方程的意义（基础）知识讲解练习题

方程的意义（基础）知识讲解

【学习目标】

1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；

2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；

3. 理解并掌握等式的两个基本性质.

【要点梳理】

要点一、方程的有关概念

1．定义：含有未知数的等式叫做方程.

要点诠释：

判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．

2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.

要点诠释：

判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；

②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．

3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.

要点二、一元一次方程的有关概念

定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.

要点诠释： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：

①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．

要点三、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
　　如果，那么 (c为一个数或一个式子) .
　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：

如果，那么；如果，那么.

要点诠释：

（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；

 (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，
如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;
(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．

【典型例题】

类型一、方程的概念 

1．下列各式哪些是方程？

    ①3x-2＝7；     ②4+8＝12；        ③3x-6；

    ④2m-3n＝0；    ⑤3x2-2x-1＝0；     ⑥x+2≠3；

    ⑦；   ⑧．

【答案与解析】

解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．

【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．

举一反三：

【变式】下列四个式子中，是方程的是（　　）

A. 3+2=5              B. x=1            C. 2x﹣3＜0             D. a2+2ab+b2

【答案】B．

2．（2015春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（　　）

A. 4x﹣1=3x+2                       B. 4x+8=3（x+1）+1        

 C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1             D. x+4=3（2x﹣1）

【答案】C．

【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．

举一反三：

【变式】下列方程中，解是x=3的是(   )

    A．x+1＝4    B．2x+1＝3    C．2x-1＝2    D．

类型二、一元一次方程的相关概念

3．（2016春•南江县期末）在下列方程中①x2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（ 　　）个．

A．1    B．2    C．3   D．4

【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断.

【答案】B.

【解析】解：①x2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B．

【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．

举一反三：

【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）．

     ①2x-1＝4；②x＝0；③ax＝b；④．

【答案】①②.

类型三、等式的性质

4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的．

    (1)如果，那么________；

    (2)如果ax+by＝-c，那么ax＝-c+________；

    (3)如果，那么＝________．

 【答案与解析】

解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；

    (2).（-by）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by；

    (3).； 根据等式的性质2，等式两边都乘以．

 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．

举一反三：

【变式】下列说法正确的是(    )．

    A．在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c.

B．在等式a＝b两边除以c2+1，可得.

    C．在等式两边都除以a，可得b＝c.

    D．在等式2x＝2a-b两边都除以2，可得x＝a-b.

【答案】B.

类型四、设未知数列方程

5．根据问题设未知数并列出方程：

    一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？

【答案与解析】

解：设小明要做对x道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80．

    可以采用列表法探究其解

    显然，当x＝21时，4x-(25-x)×1＝80．

    所以小明要做对21道题．

【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．

举一反三：

【变式】根据下列条件列出方程．

    (l)x的5倍比x的相反数大10；

    (2)某数的比它的倒数小4；

    (3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？

【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则；(3)设甲用x分钟追上乙，由题意得．