2018中考数学试题分类汇编考点27菱形含解析_462

2018中考数学试题分类汇编：考点27 菱形

一．选择题（共4小题）

1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（　　）

A．四条边都相等 B．对角线一定相等

C．是轴对称图形 D．是中心对称图形

【分析】根据菱形的性质即可判断；

【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，

故选：B．

2．（2018•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（　　）

A． B．2 C．5 D．10

【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，

∴∠AOB=90°，

∵BD=8，

∴OB=4，

∵tan∠ABD==，

∴AO=3，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，

故选：C．

3．（2018•淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）

A．20 B．24 C．40 D．48

【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．

【解答】解：由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，

则AB==5，

故这个菱形的周长L=4AB=20．

故选：A．

4．（2018•贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（　　）

A．24 B．18 C．12 D．9

【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．

【解答】解：∵E是AC中点，

∵EF∥BC，交AB于点F，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF=BC，

∴BC=6，

∴菱形ABCD的周长是4×6=24．

故选：A．

二．填空题（共6小题）

5．（2018•香坊区）已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC=，则BE的长为　3或5　．

【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可．

【解答】解：当点E在对角线交点左侧时，如图1所示：

∵菱形ABCD中，边长为5，对角线AC长为6，

∴AC⊥BD，BO=，

∵tan∠EAC==，

解得：OE=1，

∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3，

当点E在对角线交点左侧时，如图2所示：

∵菱形ABCD中，边长为5，对角线AC长为6，

∴AC⊥BD，BO=，

∵tan∠EAC==，

解得：OE=1，

∴BE=BO﹣OE=4+1=5，

故答案为：3或5；

6．（2018•湖州）如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是　2　．

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．再解Rt△OAB，根据tan∠BAC==，求出OB=1，那么BD=2．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，

∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．

在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，

∴tan∠BAC==，

∴OB=1，

∴BD=2．

故答案为2．

7．（2018•宁波）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结

MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为　　．

【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE=EH，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．

【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，

∴∠ADM=∠H，

∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，

∴△ADM≌△BHM，

∴AD=HB=2，

∵EM⊥DH，

∴EH=ED，设BE=x，

∵AE⊥BC，

∴AE⊥AD，

∴∠AEB=∠EAD=90°

∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2，

∴22﹣x2=（2+x）2﹣22，

∴x=﹣1或﹣﹣1（舍弃），

∴cosB==，

故答案为．

8．（2018•广州）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　（﹣5，4）　．

【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．

【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，

∴AB=5，

∴AD=5，

∴由勾股定理知：OD===4，

∴点C的坐标是：（﹣5，4）．

故答案为：（﹣5，4）．

9．（2018•随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为　（，﹣）　．

【分析】作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，根据菱形的性质得到∠AOB=30°，再根据旋转的性质得∠BOB′=75°，OB′=OB=2，则∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°，所以△OBH为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得OH=B′H=，然后根据第四象限内点的坐标特征写出B′点的坐标．

【解答】解：作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，如图，

∵四边形OABC为菱形，

∴∠AOC=180°﹣∠C=60°，OB平分∠AOC，

∴∠AOB=30°，

∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA′B′C′的位置，

∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2，

∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°，

∴△OBH为等腰直角三角形，

∴OH=B′H=OB′=，

∴点B′的坐标为（，﹣）．

故答案为：（，﹣）．

10．（2018•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件　AB=BC或AC⊥BD　使平行四边形ABCD是菱形．

【分析】根据菱形的判定方法即可判断．

【解答】解：当AB=BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．

故答案为AB=BC或AC⊥BD．

三．解答题（共10小题）

11．（2018•柳州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若AC=2，求BD的长．

【分析】（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；

（2）利用勾股定理可求出BO的长，进而解答即可．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=2，

∴菱形ABCD的周长=2×4=8；

（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2

∴AC⊥BD，AO=1，

∴BO=，

∴BD=2

12．（2018•遂宁）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．

【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∵DE=BF，

∴AE=CF，∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴四边形AECF是菱形．

13．（2018•郴州）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．

【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．

【解答】证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，

∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，

在△EOD和△FOB中，

，

∴△DOE≌△BOF（ASA）；

∴OE=OF，

又∵OB=OD，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴四边形BFDE为菱形．

14．（2018•南京）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：

（1）∠BOD=∠C；

（2）四边形OBCD是菱形．

【分析】（1）延长AO到E，利用等边对等角和角之间关系解答即可；

（2）连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．

【解答】证明：（1）

延长OA到E，

∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO，

又∠BOE=∠ABO+∠BAO，

∴∠BOE=2∠BAO，

同理∠DOE=2∠DAO，

∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO）

即∠BOD=2∠BAD，

又∠C=2∠BAD，

∴∠BOD=∠C；

（2）连接OC，

∵OB=OD，CB=CD，OC=OC，

∴△OBC≌△ODC，

∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，

∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO，

∴∠BOC=∠BOD，∠BCO=∠BCD，

又∠BOD=∠BCD，

∴∠BOC=∠BCO，

∴BO=BC，

又OB=OD，BC=CD，

∴OB=BC=CD=DO，

∴四边形OBCD是菱形．

15．（2018•呼和浩特）如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．

（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．

【分析】（1）根据SAS即可证明．

（2）解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题；

【解答】（1）证明：∵AB∥DE，

∴∠A=∠D，

∵AF=CD，

∴AF+FC=CD+FC，

即AC=DF，

∵AB=DE，

∴△ABC≌△DEF．

（2）如图，连接AB交AD于O．

在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，

∴DF==5，

∵四边形EFBC是菱形，

∴BE⊥CF，'∴EO==，

∴OF=OC==，

∴CF=，

∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．

16．（2018•内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．

求证：（1）△AED≌△CFD；

（2）四边形ABCD是菱形．

【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论；

（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C．

在△AED与△CFD中，

∴△AED≌△CFD（ASA）；

（2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形．

17．（2018•泰安）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．

（1）求证：△ECG≌△GHD；

（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．

（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．

【分析】（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；

（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△GPD，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；

（3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．

【解答】解：（1）∵AF=FG，

∴∠FAG=∠FGA，

∵AG平分∠CAB，

∴∠CAG=∠FGA，

∴∠CAG=∠FGA，

∴AC∥FG，

∵DE⊥AC，

∴FG⊥DE，

∵FG⊥BC，

∴DE∥BC，

∴AC⊥BC，

∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，

∵F是AD的中点，FG∥AE，

∴H是ED的中点，

∴FG是线段ED的垂直平分线，

∴GE=GD，∠GDE=∠GED，

∴∠CGE=∠GDE，

∴△ECG≌△GHD；

（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，

∴GC=GP，而AG=AG，

∴△CAG≌△PAG，

∴AC=AP，

由（1）可得EG=DG，

∴Rt△ECG≌Rt△GPD，

∴EC=PD，

∴AD=AP+PD=AC+EC；

（3）四边形AEGF是菱形，

证明：∵∠B=30°，

∴∠ADE=30°，

∴AE=AD，

∴AE=AF=FG，

由（1）得AE∥FG，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴四边形AEGF是菱形．

18．（2018•广西）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．

（1）求证：▱ABCD是菱形；

（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．

【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；

（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB=∠AFD=90°，

∵BE=DF，

∴△AEB≌△AFD

∴AB=AD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是菱形，AC=6，

∴AC⊥BD，

AO=OC=AC=×6=3，

∵AB=5，AO=3，

∴BO===4，

∴BD=2BO=8，

∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．

19．（2018•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．

（1）求证：四边形AEBD是菱形；

（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．

【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；

（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CE，

∴∠DAF=∠EBF，

∵∠AFD=∠EFB，AF=FB，

∴△AFD≌△BFE，

∴AD=EB，∵AD∥EB，

∴四边形AEBD是平行四边形，

∵BD=AD，

∴四边形AEBD是菱形．

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=，AB∥CD，

∴∠ABE=∠DCB，

∴tan∠ABE=tan∠DCB=3，

∵四边形AEBD是菱形，

∴AB⊥DE，AF=FB，EF=DF，

∴tan∠ABE==3，

∵BF=，

∴EF=，

∴DE=3，

∴S菱形AEBD=•AB•DE=•3=15．

20．（2018•乌鲁木齐）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．

【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；

（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．

【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵∠BAC=90°，E是BC的中点，

∴AE=CE=BC，

∴四边形AECD是菱形；

（2）过A作AH⊥BC于点H，

∵∠BAC=90°，AB=6，BC=10，

∴AC=，

∵，

∴AH=，

∵点E是BC的中点，BC=10，四边形AECD是菱形，

∴CD=CE=5，

∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF，

∴EF=AH=．