高考数学(理数)一轮复习练习题：2.2《函数的单调性与最值》（教师版）

www.ks5u.com第2节　函数的单调性与最值

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.函数f(x)=loga(x2-4x-5)(a>1)的单调递增区间是(　D　)

(A)(-∞,-2) (B)(-∞,-1)    (C)(2,+∞) (D)(5,+∞)

解析:由t=x2-4x-5>0,得x<-1或x>5,且函数t=x2-4x-5(x<-1或x>5)在区间(5,+∞)上单调递增,又函数y=logat(a>1)为单调递增函数,故函数f(x)的单调递增区间是(5,+∞).故选D.

2.下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是(　D　)

(A)y=       (B)y=cos x   (C)y=ln(x+1) (D)y=2-x

解析:因为y=与y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,且y=cos x在(-1,1)上不具备单调性,所以A,B,C不满足题意;只有y=2-x=（）x在(-1,1)上是减函数.故选D.

3.如果f(x)=ax2-(2-a)x+1在区间（-∞,]上为减函数,则a的取值范围是(　C　)

(A)(0,1] (B)[0,1) (C)[0,1] (D)(0,1)

解析:a=0时,f(x)=-2x+1在区间(-∞,]上为减函数,符合题意;当a≠0时,

如果f(x)=ax2-(2-a)x+1在区间(-∞,]上为减函数,必有

解得0<a≤1.综上所述,a的取值范围是[0,1],故选C.

4.函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是(　D　)

(A)(1,2) (B)(-1,2) (C)[1,2) (D)[-1,2)

解析:函数y===-1在区间(-1,+∞)上是减函数,且f(2)=0,

所以n=2,根据题意,x∈(m,n]时,ymin=0,所以m的取值范围是[-1,2).故选D.

5.设函数f(x)=若f(a+1)≥f(2a-1),则实数a的取值范围是(　B　)

(A)(-∞,1] (B)(-∞,2]  (C)[2,6]   (D)[2,+∞)

解析:易知函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上是增函数,

因为f(a+1)≥f(2a-1),所以a+1≥2a-1,解得a≤2.

故实数a的取值范围是(-∞,2].故选B.

6.已知f(x)=2x,a=(),b=(),c=log2,则 f(a),f(b),f(c)的大小顺序为(　B　)

(A)f(b)<f(a)<f(c) (B)f(c)<f(b)<f(a)

(C)f(c)<f(a)<f(b) (D)f(b)<f(c)<f(a)

解析:易知f(x)=2x在(-∞,+∞)上是增函数,

又a=()=()>()=b>0,c=log2<0,所以f(a)>f(b)>f(c).故选B.

7.函数f(x)=()x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为　　　　. 

解析:由于y=()x在R上递减,

y=log2(x+2)在[-1,1]上递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,

故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.

答案:3

8.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的递减区间是　　　　. 

解析:由题意知

g(x)=函数的图象为如图所示的实线部分,

根据图象,g(x)的减区间是[0,1).

答案:[0,1)

9.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数 f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是　　　　. 

解析:法一　

在同一坐标系中,作函数f(x),g(x)图象,依题意,h(x)的图象如图所示.

易知点A(2,1)为图象的最高点,因此h(x)的最大值为h(2)=1.

法二　依题意,h(x)=当0<x≤2时,h(x)=log2x是增函数,

当x>2时,h(x)=3-x是减函数.所以当x=2时,h(x)取最大值h(2)=1.

答案:1

能力提升(时间:15分钟)

10.函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　D　)

(A)[-2,2] (B)[-1,1] (C)[0,4]   (D)[1,3]

解析:因为f(x)是奇函数,且f(1)=-1,所以f(-1)=-f(1)=1.

所以f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,

所以-1≤x-2≤1.所以1≤x≤3.故选D.

11.若函数f(x)=的值域为[-1,1],则实数a的取值范围是(　A　)

(A)[1,+∞) (B)(-∞,-1]   (C)(0,1]    (D)(-1,0)

解析:当x≤a时,f(x)=cos x∈[-1,1],则当x>a时,-1≤≤1,

即x≤-1或x≥1,所以a≥1.故选A.

12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是　　　　. 

解析:因为f(x)在R上是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,

所以f(x)在(0,+∞)上是减函数.则f(2|a-1|)>f(-)=f(),

因此2|a-1|<=,又y=2x是增函数,所以|a-1|<,解得<a<.

答案:(,)

13.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数且f(1)=1,当x1,x2∈[-1,1],且x1+x2≠0时,有>0,若f(x)≤m2-2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　　　　　. 

解析:用-x2替换x2,得>0,由于f(x)是奇函数,所以>0,等价于函数f(x)是定义域上的增函数,所以f(x)max=f(1)=1.不等式f(x)≤m2-2am+1对所有x∈[-1,1]恒成立,即m2-2am+1≥1对任意a∈[-1,1]恒成立,即2ma-m2≤0对任意a∈[-1,1]恒成立,

令g(a)=2ma-m2,则只要即可,解得m≤-2或者m≥2或者m=0.故所求的m的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).

答案:(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)

14.已知函数f(x)=a-.

(1)求f(0);

(2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论;

(3)若f(x)为奇函数,求满足f(ax)<f(2)的x的范围.

解:(1)f(0)=a-=a-1.

(2)f(x)在R上单调递增.

理由如下:

因为f(x)的定义域为R,所以任取x1,x2∈R且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=a--a+=,

因为y=2x在R上单调递增且x1<x2,所以0<<,

所以-<0,+1>0,+1>0.所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).

所以f(x)在R上单调递增.

(3)因为f(x)是奇函数,

所以f(-x)=-f(x),则a-=-a+,解得a=1(或用f(0)=0去解).

所以f(ax)<f(2)即 f(x)<f(2),

又因为f(x)在R上单调递增,所以x<2.

所以不等式的解集为(-∞,2).