初中数学湘教版七年级下册1.3 二元一次方程组的应用导学案

实际问题与二元一次方程组（一）（基础）知识讲解

责编:康红梅

【学习目标】

1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；

2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题.

【要点梳理】

要点一、常见的一些等量关系（一）

1.和差倍分问题：

增长量＝原有量×增长率  较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.

2.产品配套问题：

解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.

3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.

4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .

要点二、实际问题与二元一次方程组

1.列方程组解应用题的基本思想

    列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；

解：解方程组，求出未知数的值；

验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：写出答案．

要点诠释：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

【典型例题】

类型一、和差倍分问题

【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143  例1】

1.甲乙丙三个工厂共同筹办一所厂校，所出经费不同，其中甲厂出总数的，乙厂出甲丙两厂和的，已知丙厂出了16000元，问这所厂校总经费是多少？甲乙两厂各出多少？

【思路点拨】题目中的相等关系是：甲厂所出经费＝总经费×，

乙厂所出经费＝（甲厂所出经费+丙厂所出经费）×.

【答案与解析】

解：设甲厂出x元，乙厂出y元，由题意得：

∴12000+14000+16000=42000（元）

答：总经费为42000元，甲厂出12000元，乙厂出14000元.

【总结升华】本题也可以用一元一次方程来解，相比之下，对于含有两个未知数的应用题，列二元一次方程组来解更方便、更直观.

举一反三：

【变式】（2015•茂名模拟）根据如图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是（　　）

A．7元 B．35元 C．45元 D．50元

【答案】C．

解：设水壶单价为x元，杯子单价为y元，

则有 ，

解得 ．

答：一个热水瓶的价格是45元．

类型二、配套问题

2. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

【思路点拨】本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反了）.

【答案与解析】

解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套.

 根据题意，列方程组得

 解方程组得 

答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.

【总结升华】生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.

【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143  例2】

举一反三：

【变式】某家具厂生产一种方桌，设计时1的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有10的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）.

【答案】

解：设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，由题意得，

,

    .

∴方桌有50=300（张）.

答：有6的木材生产桌面，4的木材生产桌腿，可生产出300张方桌.

类型三、工程问题

3.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?

【思路点拨】本例由分析知，有两个相等关系：(1)甲4天的工作量＋甲乙合做8天的工作量＝工作总量；(2)乙4天的工作量＋甲、乙合做9天的工作量＝工作总量，根据这两个相等关系可列方程求解．

【答案与解析】

解：设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件．

根据题意，得，

解之，得．

答：甲、乙两人每天做机器零件分别为50个、30个．

【总结升华】解答这类问题的基本关系式是：工作量＝工作效率×工作时间．工程问题一般分为两类：一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题．

类型四、利润问题

4. （2015•曲靖）某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：

（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？

（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？

【思路点拨】（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，根据投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，列出方程组解答即可；

（2）总利润=甲的利润+乙的利润．

【答案与解析】

解：（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，由题意得

，

解得：．

答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱．

（2）300×（36﹣24）+200×（48﹣33）

=3600+3000

=6600（元）．

答：该商场共获得利润6600元．

【总结升华】本题考查了二元一次方程组的实际应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143   例6】

举一反三：

【变式】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗?

【答案】

解：设王师傅分别购进甲、乙两种商品件和件，则

解得：

答：王师傅分别购进甲乙两种商品32件与18件．

巩固练习】

一、选择题

1．有一些苹果箱，若每只装苹果25 kg，则剩余40 kg无处装；若每只装30 kg，则还有20个空箱，这些苹果箱有(  ) .

A．12只    B．6只    C．112只    D．128只

2.幸福中学七年级学生到礼堂开会，若每条长椅坐5人，则少10条长椅，若每条长椅坐6人，则又多余2条长椅，设学生有x人，长椅有y条，依题意得方程组 (   ) .

    A．    B．    C．    D．

3. 3.（2015•绵阳模拟）十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，共花了400元，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备多少门票钱？（　　）

A．300元 B．310元 C．320元 D．330元

4.王力在一天内以每件80元的价格卖了两件上衣，其中一件赢利20％，一件赔了20％，则在这次买卖中他(    ) .

    A．赔了10元    B．赚了10元    C．赔了约7元    D．赚了约7元

5. 两个水池共储水40吨，如果甲池注进水4吨，乙池注进水8吨，甲池水的吨数就与乙池水的吨数相等．甲、乙水池原来各储水的吨数是  （  ）.

A．甲池21吨，乙池19吨  　　　　　　　 B．甲池22吨，乙池18吨

C. 甲池23吨，乙池17吨   　　　　　　　D．甲池24吨，乙池16吨

6.某校七年级(2)班40名同学为四川地震灾区捐款，共捐了100元，捐款情况如下表：

 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列方程组(     ) .

A.    B．  C.   D.

二、填空题

7．端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个．其中荷包每个4元，五彩绳每个3元，设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，列出的方程组是________．

8．（2015春•孝南区期末）根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是　　元和　　元．

9．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了______道题.

10．已知甲数的2倍比乙数大30，乙数的3倍比甲数的4倍少20，求甲、乙两数，若设甲、乙两数分别为x、y，可得方程组________，这两数分别为________．

11．如图，3个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为9cm，8个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为14cm，则100个这样的纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是________ cm．

12．“六一”儿童节，某动物园的成人门票每张8元，儿童门票半价(即每张4元)，全天共售出门票3000张，共收入15600元，则这一天售出了成人票________张，儿童票___ _ 张．

三、解答题

13．某厂第二车间人数比第一车间人数的少30人，如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间人数的，这两个车间各有多少人？

14.（2015•黄冈）已知A，B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多少元？

15. 2010年春季我国西南大旱，导致大量农田减产，如图所示是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克?

16.古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．

（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：

甲：    乙：

    根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：

甲：x表示________，y表示________；

乙：x表示________，y表示________．

（2）求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程）

【答案与解析】

一、选择题

1. 【答案】D；

   【解析】设这些苹果箱共只，则有，解得.

2. 【答案】A；

3.【答案】C．

【解析】设大人门票为x，小孩门票为y，

由题意，得：，

解得：，

则3x+2y=320．

即王斌家计划去3个大人和2个小孩，需要320元的门票．

4. 【答案】C；

【解析】设一件的原价为元，另一件的原件为元，则：

    ，

解得，

 　∵ （元）

5. 【答案】B；

【解析】设甲、乙水池原来各储水的吨数是吨、吨，则：

，解得．

6. 【答案】A；

【解析】根据捐2元和3元的同学总人数和这些学生捐款总金额列方程组.

二、填空题

7. 【答案】；

8.【答案】20，2．

【解析】设每件T恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为x元，y元，

则，

解得．

故每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是20元和2元．

9.【答案】19；

【解析】设做对了道题，做错了道题，由题意列方程组 ，解得 ．

10．【答案】；35,40；

11.【答案】106；

【解析】设1个纸杯的高度为cm，纸杯叠放在一起纸杯之间的距离为cm，则有：

，解得，

100个纸杯整齐叠放在一起的高度：（cm）．

12.【答案】900， 2100．

三、解答题

13.【解析】

解：设第一车间x人，第二车y人，则  解得

答：第一车间250人，第二车间170人．

14.【解析】

解：设A服装成本为x元，B服装成本y元，由题意得：

，

解得：，

答：A服装成本为300元，B服装成本200元．

 15.【解析】

解：法一：间接设元

设去年第一块田的花生产量为x千克，第二块田的花生产量为y千克，根据题意，

得

解得，

100×(1-80％)＝20，370×(1-90％)＝37．

答：该农户今年第一块田的花生产量是20千克，第二块田的花生产量是37千克．

法二：直接设元

设今年第一块田的花生产量为x千克，第二块田的花生产量为y千克，

根据题意，得

解得

答：该农户今年第一块田的花生产量是20千克，第二块田的花生产量是37千克．

16.【解析】

解：（1）甲：20  180  乙：180  20

           A工程队整治河道的天数，  B工程队整治河道的天数；

A工程队整治河道的长度，  B工程队整治河道的长度．

（2）选甲同学所列方程组解答如下：

，
解得，
A工程队整治河道：12x=60 （米），

 B工程队整治河道：8y=120 （米）．

答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．