2022年高考三轮复习之模板规范练6　解析几何

模板规范练6　解析几何

跟踪训练

1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点M在椭圆C上，椭圆C的离心率是.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点A为椭圆长轴的左端点，P，Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点，记直线AP，AQ斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．

解　(1)由点M在椭圆C上，且椭圆C的离心率是，

可得可解得

故椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

①当直线PQ斜率不存在时，不妨设点P在x轴上方，

则直线AP的方程为y＝(x＋2)，

由题意知，直线方程和曲线方程联立得

P，Q.

②当直线PQ的斜率存在时，

设直线PQ的方程为y＝kx＋m，

联立消去y得

(4k2＋3)x2＋8kmx＋(4m2－12)＝0，

由Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)

＝48(4k2－m2＋3)>0，

有4k2＋3>m2，由根与系数的关系得：

x1＋x2＝－，x1x2＝，

故k1k2＝＝－，

可得4y1y2＋(x1＋2)(x2＋2)＝0，

可得4(kx1＋m)(kx2＋m)＋(x1＋2)(x2＋2)＝0，

整理为(4k2＋1)x1x2＋(4km＋2)(x1＋x2)＋4m2＋4＝0，

故有(4k2＋1)－(4km＋2)＋4m2＋4＝0，

化简整理得m2－km－2k2＝0，

解得m＝2k或m＝－k，

当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k，

即y＝k(x＋2)，过定点(－2,0)，不合题意，

当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k，

即y＝k(x－1)，过定点(1,0)．

综上，由①②知，直线PQ过定点(1,0)．

2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且C过点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设B1，B2分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于B1，B2的任意一点，过点P作PM⊥y轴于M，N为线段PM的中点，直线B2N与直线y＝－1交于点D，E为线段B1D的中点，O为坐标原点，求证：ON⊥EN.

(1)解　由题设知焦距为2，所以c＝.

又因为椭圆过点，

所以代入椭圆方程得＋＝1，

因为a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1,

故所求椭圆C的方程是＋y2＝1.

(2)证明　设P(x0，y0)，x0≠0，

则M(0，y0)，N.

因为点P在椭圆C上，所以＋y＝1.

即x＝4－4y.

又B2(0,1)，所以直线B2N的方程为

y－1＝x.

令y＝－1，得x＝，所以D.

又B1(0，－1)，E为线段B1D的中点，

所以E.

所以＝，＝.

因为·＝＋y0(y0＋1)

＝－＋y＋y0

＝1－y－＋y＋y0

＝1－y0－1＋y0＝0，

所以⊥，即ON⊥EN.