冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试精品达标测试

八年级数学下册第二十二章四边形难点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（       ）

A．对角线相等 B．对角线垂直

C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等

2、如图，DE是的中位线，若，则BC的长为（　　　）

A．8 B．7 C．6 D．7.5

3、在平行四边形ABCD中，∠A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D的值可以是（       ）

A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．2∶2∶1∶1 D．1∶2∶1∶2

4、已知锐角∠AOB，如图．

（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交射线OB于点D，连接CD；

（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；

（3）作射线OP交CD于点Q．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　　）

A．四边形OCPD是菱形 B．CP=2QC

C．∠AOP=∠BOP D．CD⊥OP

5、在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形AEDF的周长是（       ）

A．18 B．16 C．14 D．12

6、如图，在中，，于E，DE交AC于点F，M为AF的中点，连接DM，若，则的大小为（       ）．

A．112° B．108° C．104° D．98°

7、一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形是（       ）

A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形

8、下列命题中是真命题的是（       ）．A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

C．对角线相等的四边形是矩形 D．有一个角为直角的四边形是矩形

9、如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点落在∠BAC内部．若，且，则∠DAE的度数为（       ）

A．12° B．24° C．39° D．45°

10、如图，平行四边形ABCD，∠BCD=120°，AB=2，BC=4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（       ）

A．1 B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、平行四边形的对角线________．

几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝________，BO＝________（平行四边形的对角线互相平分）．

2、如图，在矩形ABCD中，，，E、F分别是边AB、BC上的动点，且，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则的最小值是______．

3、如图，点 A、B、C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M、N、P、Q．在点D的运动过程中，有下列结论：

①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形

③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形

④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形

所有正确结论的序号是___．

4、已知菱形ABCD两条对角线的长分别为6和8，若另一个菱形EFGH的周长和面积分别是菱形ABCD周长和面积的2倍，则菱形EFGH两条对角线的长分别是  _____．

5、如图所示，过六边形的顶点的所有对角线可将六边形分成_______个三角形．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知在与中，，点在同一直线上，射线分别平分．

(1)如图1，试说明的理由；

(2)如图2，当交于点G时，设，求与的数量关系，并说明理由；

(3)当时，求的度数．

2、如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出等腰△ABC，且△ABC为钝角三角形，点C在小正方形顶点上；

(2)在（1）的条件下确定点C后，再画出矩形BCDE，D，E都在小正方形顶点上，且矩形BCDE的周长为16，直接写出EA的长为　   　．

3、如图，在中，点D、E分别是边的中点，过点A作交的延长线于F点，连接，过点D作于点G．

(1)求证：四边形是平行四边形：

(2)若．

①当___________时，四边形是矩形；

②若四边形是菱形，则________．

4、已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．

(1)求证：AF＝CG；

(2)连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？

5、已知：线段m．

求作：矩形ABCD，使矩形宽AB＝m，对角线AC＝m．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

略

2、A

【解析】

【分析】

已知DE是的中位线，，根据中位线定理即可求得BC的长．

【详解】

是的中位线，，

，

故选：A．

【点睛】

此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；掌握中位线定理是解题的关键．

3、D

【解析】

略

4、A

【解析】

【分析】

根据作图信息可以判断出OP平分，由此可以逐一判断即可．

【详解】

解：由作图可知，平分

∴OP垂直平分线段CD

∴∠AOP=∠BOP，CD⊥OP

故选项C，D正确；

由作图可知，

∴是等边三角形，

∴

∵OP垂直平分线段CD

∴

∴CP=2QC

故选项B正确，不符合题意；

由作图可知，,不能确定四边形OCPD是菱形，故选项A符合题意，

故选：A

【点睛】

本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．

5、B

【解析】

略

6、C

【解析】

【分析】

根据平行四边形及垂直的性质可得为直角三角形，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角及三角形外角的性质得出，根据三角形内角和定理即可得出．

【详解】

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，

∵，

∴，

∴为直角三角形，

∵M为AF的中点，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角及三角形外角的性质和三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

7、D

【解析】

【分析】

先求出多边形的外角度数，然后即可求出边数．

【详解】

解：∵多边形的每个内角都等于150°，

∴多边形的每个外角都等于180°-150°=30°，

∴边数n=360°÷30°=12，

故选：D．

【点睛】

本题考查多边形的内角和、外角来求多边形的边数，属于基础题，熟练掌握多边形中内角和定理公式是解决本类题的关键．

8、A

【解析】

【分析】

根据平行线四边形的性质得到对边相等，加上一组邻边相等，可得到四边都相等，根据菱形的定义对A、B进行判断；根据矩形的判定方法对C、D进行判断．

【详解】

解：A、平行四边形的对边相等，若有一组邻边相等，则四边都相等，所以该选项正确；

B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以该选项不正确；

C、对角线互相平分且相等的四边形为矩形，所以该选项不正确；

D、有三个角是直角的四边形是矩形，所以该选项不正确．

故选：A．

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断事情的语句叫命题；正确的命题叫真命题；经过证明其正确性的命题称为定理．也考查了平行四边形、矩形和菱形的判定与性质．

9、C

【解析】

【分析】

由折叠的性质得到，由长方形的性质得到，根据角的和差倍分得到，整理得 ，最后根据解题．

【详解】

解：折叠，

是矩形

故选：C．

【点睛】

本题考查角的计算、折叠性质、数形结合思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

10、C

【解析】

【分析】

先证明NM为△AEF的中位线，根据中位线性质得出MN=，可得AE最小时，MN最小，根据点E在直线BC上，根据点到直线的距离最短得出AE⊥BC时AE最短，根据在平行四边形ABCD中，∠BCD=120°，求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°，利用三角形内角和∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-60°-90°=30°，利用30°直角三角形性质得出BE=，再利用勾股定理求出AE即可．

【详解】

解：∵M为FA中点，N为FE中点，

∴NM为△AEF的中位线，

∴MN=

∴AE最小时，MN最小，

∵点E在直线BC上，

根据点A到直线BC的距离最短，

∴AE⊥BC时AE最短，

∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=120°，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°，

∴∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-60°-90°=30°，

在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=2，

∴BE=，

根据勾股定理AE最小值=,

∴MN=．

故选择C．

【点睛】

本题考查三角形中位线性质，平行四边形性质，点到直线距离，三角形内角和，30°直角三角形性质，勾股定理，掌握三角形中位线性质，平行四边形性质，点到直线距离，三角形内角和，30°直角三角形性质，勾股定理是解题关键．

二、填空题

1、     互相平分     CO     DO

【解析】

略

2、11

【解析】

【分析】

作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB，则当点P、M在线段BG上时，GP+PM+BM最小，从而 CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的长，从而求得最小值．

【详解】

如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB

由对称的性质得：PC=PG，GD=CD

∵GP+PM+BM≥BG

∴CP+PM=GP+PM≥BG－BM

则当点P、M在线段BG上时，CP+PM最小，且最小值为线段BG－BM

∵四边形ABCD是矩形

∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90°  

∴CG=2CD=12

∵M为线段EF的中点，且EF=4

∴

在Rt△BCG中，由勾股定理得：

∴GM=BG－BM=13－2=11

即CP+PM的最小值为11．

【点睛】

本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形性质，折叠的性质，直角三角形斜边上中线的性质，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作点C关于AD的对称点及连接BM，GP+PM+BM的最小值转化为线段CP+PM的最小值．

3、①②③

【解析】

【分析】

根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断．

【详解】

解：∵一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，

∴存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形，存在无数个中点四边形MNPQ是菱形，存在无数个中点四边形MNPQ是矩形．

故答案为：①②③

【点睛】

本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

4、，

【解析】

【分析】

首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得OA=4，OB=3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积，然后根据勾股定理即可得到结论．

【详解】

解：如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，

∴OA=AC=4，OB=BD=3，AC⊥BD，

∴AB==5，

∴菱形ABCD的周长是：5×4=20，面积是：×6×8=24．

∵另一个菱形EFGH的周长和面积分别是菱形ABCD周长和面积的2倍，

∴菱形EFGH的周长和面积分别是40，48，

∴菱形EFGH的边长是10，

设菱形EFGH的对角线为2a，2b，

∴a2+b2=100，×2a×2b=48，

∴a=，b=，

∴菱形EFGH两条对角线的长分别是，，

故答案为：2，．

【点睛】

本题考查了菱形的性质以及勾股定理．关键是熟练掌握菱形的面积等于对角线积的一半的知识点．

5、4

【解析】

【分析】

从边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成个三角形，依此作答．

【详解】

解：过六边形的顶点的所有对角线可将六边形分成个三角形．

故答案为4．

【点睛】

本题主要考查多边形的对角线，从边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为．

三、解答题

1、 (1)理由见解析

(2)，理由见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1），，可知，进而可说明；

（2）如图1所示，连接并延长至点K，分别平分，则设，为的外角，，同理，

，得；又由（1）中证明可知，，进而可得到结果；

（3）如图2所示，过点C作，则，，可得，由（1）中证明可得，在中， ，即，进而可得到结果．

(1)

证明：

又

在和中

．

(2)

解：．

理由如下：如图1所示，连接并延长至点K

分别平分

则设

为的外角

同理可得

即

．

又由（1）中证明可知

由三角形内角和公式可得

即

．

(3)

解：当时，如图2所示，过点C作，则

，即

由（1）中证明可得

在中，根据三角形内角和定理有

即

即

即，解得：

故．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识，连接并延长，利用三角形外角性质证得是解题的关键．

2、 (1)见解析

(2)画图见解析，

【解析】

【分析】

（1）作出腰为5且∠ABC是钝角的等腰三角形ABC即可；

（2）作出边长分别为5，3的矩形ABDE即可．

(1)

解：如图，AB==BC，∠ABC>90°，所以△ABC即为所求；

(2)

解：如图，矩形BCDE即为所求．AE= ．

故答案为：．

【点睛】

本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

3、 (1)见解析；

(2)①3；②

【解析】

【分析】

（1）根据三角形中位线的性质得到DEAB，BD=CD，即可证得四边形ABDF是平行四边形，得到AF=BD=CD，由此得到结论；

（2）①由点D、E分别是边BC、AC的中点，得到DE=AB，由四边形是平行四边形，得到DF=2DE=AB=3，再根据矩形的性质得到AC=DF=3；

②根据菱形的性质得到DF⊥AC，推出AB⊥AC，利用勾股定理求出AC，得到CE，利用面积法求出答案．

(1)

证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DEAB，BD=CD，

∵，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴AF=BD=CD，

∴四边形是平行四边形；

(2)

解：①∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE=AB，

∵四边形是平行四边形，

∴DF=2DE=AB=3，

∵四边形是矩形,

∴AC=DF=3，

故答案为：3；

②∵四边形是菱形，

∴DF⊥AC，

∵DEAB，

∴AB⊥AC，

∴AD=BC=2.5，

∴AE=EC=2，

∵

∴

∴，

故答案为：．

【点睛】

此题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线的判定及性质，勾股定理，是一道较为综合的几何题，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．

4、 (1)见解析

(2)当AD=AB时，四边形BEDH是正方形

【解析】

【分析】

（1）要证明AF=CG，只要证明△EAF≌△HCG即可；

（2）利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE2+DE2=AD2时，∠BED=90°，四边形BEDH是正方形．

(1)

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，

∴∠AEF=∠CHG，

∵BE=2AB，DH=2CD，

∴BE=DH，

∴BE-AB=DH-DC，

∴AE=CH，

∴∠BAD+∠EAF=180°，∠BCD+∠GCH=180°，

∴∠EAF=∠GCH，

∴△EAF≌△HCG(ASA)，

∴AF=CG；

(2)

解：当AD=AB时，四边形BEDH是正方形；

理由：∵BE∥DH，BE=DH，

∴四边形EBHD是平行四边形，

∵EH⊥BD，

∴四边形EBHD是菱形，

∴ED=EB=2AB，

当AE2+DE2=AD2时，则∠BED=90°，

∴四边形BEDH是正方形，即AB2+(2AB)2=AD2，

∴AD=AB，

∴当AD=AB时，四边形BEDH是正方形．

．

【点睛】

本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图形分析并熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，是解题的关键．

5、见详解

【解析】

【分析】

先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，然后以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，利用作一个角等于已知角，过A作BC的平行线AD，过C作AB的平行线CD，两线交于D即可．

【详解】

解：先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，

以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，

过A作BC的平行线，与过C作AB的平行线交于D，

则四边形ABCD为所求作矩形；

∵AD∥BC，CD∥AB，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵BC⊥AB，

∴∠ABC=90°，

∴四边形ABCD为矩形，

∵AB=，AC=m，

∴矩形的宽与对角线满足条件，

∴四边形ABCD为所求作矩形．

【点睛】

本题考查矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法，掌握矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法是解题关键．