2020-2021学年第二十二章 四边形综合与测试优秀随堂练习题

这是一份2020-2021学年第二十二章 四边形综合与测试优秀随堂练习题，共29页。试卷主要包含了如图，在中，DE平分，，则，下列关于的叙述，正确的是，下列命题错误的是等内容，欢迎下载使用。
八年级数学下册第二十二章四边形重点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．
其中说法正确的是（　　　）

A．②③ B．①②③ C．②④ D．①②④
2、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，则∠EBD的度数（ ）

A．80° B．90° C．100° D．110°
3、如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形．此时点A的对应点恰好落在对角线AC的中点处．若AB＝3，则点B与点之间的距离为（ ）

A．3 B．6 C． D．
4、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
5、平行四边形ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠C的度数为（　　）
A．120° B．60° C．30° D．15°
6、如图，在中，DE平分，，则（ ）

A．30° B．45° C．60° D．80°
7、下列关于的叙述，正确的是（ ）
A．若，则是矩形 B．若，则是正方形
C．若，则是菱形 D．若，则是正方形
8、如图，点A，B，C在同一直线上，且，点D，E分别是AB，BC的中点．分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，，，若，则等于（ ）

A． B． C． D．
9、下列命题错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
10、矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD=120°，AO=3，则BC的长度是（　　　）
A．3 B． C． D．6
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝6，则GH的长为_________．

2、如图，已知长方形ABCD中，AD=3cm，AB=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ADE的面积为_______cm2．

3、如图，在平行四边形中，是对角线，，点是的中点，平分，于点，连接．已知，，则的长为_______．

4、如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2 cm，则BC的长度是_______ cm．

5、如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，当时，的度数为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°．

(1)求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB．
2、如图，已知平行四边形ABCD．

(1)用尺规完成以下基本作图：在CB上截取CE，使CE＝CD，连接DE，作∠ABC的平分线BF交AD于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，证明四边形BEDF为平行四边形．
3、如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接AF，DE，DF．

(1)求证：四边形AEFD为矩形；
(2)若，，，求DF的长．
4、如图1，已知∠ACD是ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

(1)尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为ABC的两个外角，则∠DBC＋∠ECB－∠A 180°．（横线上填＜、＝或＞）
(2)初步应用：如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P= ．
(3)解决问题：如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系．
5、如图，在中，点D、E分别是边的中点，过点A作交的延长线于F点，连接，过点D作于点G．

(1)求证：四边形是平行四边形：
(2)若．
①当___________时，四边形是矩形；
②若四边形是菱形，则________．

-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．
【详解】
如图所示，

∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理：，故①正确；
由图可知，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即，故③正确；
由可得，
又∵，
两式相加得：，
整理得：，
，故④错误；
故正确的是①②③．
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，正方形性质，完全平方公式的应用，算术平方根，准确分析判断是解题的关键．
2、B
【解析】
【分析】
根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，且∠EBD=∠A′BE+∠DBC′，继而即可求出答案．
【详解】
解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，
又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，
∴∠EBD=∠A′BE+∠DBC′=180°×=90°．
故选B．
【点睛】
此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′是解题的关键．
3、B
【解析】
【分析】
连接，由矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD，由旋转的性质得出，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，由直角三角形的性质求出AC的长，由矩形的性质可得出答案．
【详解】
解：连接，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，
∵点是AC的中点， ∴，
∵将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形，
∴
∴，
∴是等边三角形，
∴∠BAA'=60°，
∴∠ACB=30°，
∵AB=3， ∴AC=2AB=6，
∴．
即点B与点之间的距离为6．
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，求出AC的长是解本题的关键．
4、D
【解析】
【分析】
由题意依据全等三角形的判定得出△BOM≌△CON，进而根据正方形的性质即可得出的大小.
【详解】
解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥BD．
∵∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠CON=90°
∴∠BOM=∠CON，且OC=OB，∠ABO=∠ACB=45°，
∴△BOM≌△CON（ASA），=S△BOM，
∴，
∵=S正方形ABCD，正方形的边长，，
∴=S正方形ABCD -=.
故选：D.
【点睛】
本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解答本题的关键．
5、A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得出BCAD，根据平行线的性质推出∠A＋∠B＝180°，代入求出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BCAD，
∴∠A＋∠B＝180°，
把∠A＝2∠B代入得：3∠B＝180°，
∴∠B＝60°，
∴∠C＝120°
故选：A．
【点睛】
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出∠A＋∠B＝180°是解此题的关键．
6、C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得，故，由DE平分得，即可计算．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵DE平分，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7、A
【解析】
【分析】
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项、、错误，正确；即可得出结论．
【详解】
解：中，，
四边形是矩形，选项符合题意；
中，，
四边形是菱形，不一定是正方形，选项不符合题意；
中，，
四边形是矩形，不一定是菱形，选项不符合题意；
中，，
四边形是菱形，选项不符合题意；
故选：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
8、B
【解析】
【分析】
设BE＝x，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S1，S2，S3，根据题意计算即可．
【详解】
∵，
∴AB＝2BC，
又∵点D，E分别是AB，BC的中点，
∴设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x，

∵四边形ABGF是正方形，
∴∠ABF＝45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴BD＝DH＝2x，
∴S1＝DH•AD＝，即2x•2x＝，
∴x2＝，
∵BD＝2x，BE＝x，
∴S2＝MH•BD＝（3x−2x）•2x＝2x2，
S3＝EN•BE＝x•x＝x2，
∴S2＋S3＝2x2＋x2＝3x2＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是90°是解题的关键．
9、C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定逐项分析即可得．
【详解】
解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，此项符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定是解题关键．
10、C
【解析】
【分析】
画出图形，由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长．
【详解】
解：如下图所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴AC=2OA=4，
∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，
∴BC=．
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
二、填空题
1、6
【解析】
【分析】
由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解BE=2AF=12，再利用三角形中位线定理可求解．
【详解】
解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，
∵F为BE的中点，AF=6，
∴BE=2AF=12．
∵G，H分别为BC，EC的中点，
∴GH=BE=6，
故答案为6．
【点睛】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解BE的长是解题的关键．再根据中位线定理求出GH．
2、6
【解析】
【分析】
根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解．
【详解】
解：将此长方形折叠，使点与点重合，
．
．
，
根据勾股定理可知：．
．
解得：．
的面积为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是注意掌握方程思想的应用．
3、##3.5##
【解析】
【分析】
延长AB、CF交于点H，由“ASA”可证△AFH≌△AFC，可得AC=AH=12，HF=CF，由三角形中位线定理可求解．
【详解】
解：如图，延长、交于点，

四边形是平行四边形，，，
，
平分，，
在和中，
，
，
，，
，
点是的中点，，
∴EF是△CBH的中位线，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
4、8
【解析】
略
5、18°##18度
【解析】
【分析】
由“SAS”可证△DCE≌△BCE，可得∠CED=∠CEB=∠BED=63°，由三角形的外角的性质可求解．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，∠DAE=∠BAE=∠DCA=∠BCA=45°，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠CED=∠CEB=∠BED=63°，
∵∠CED=∠CAD+∠ADE，
∴∠ADE=63°-45°=18°，
故答案为：18°．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△DCE≌△BCE是本题的关键．
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意作AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N
（2）连接，根据平行四边形的性质求得，进而根据垂直平分线的性质以及导角可求得 是等腰直角三角形，进而证明即可得证NE＝AB．
(1)
如图，AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N

(2)
如图，连接

四边形是平行四边形

，
，

则
是的垂直平分线



又


在与中，



【点睛】
本题考查了作垂直平分线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
2、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）延长CB到E使CE＝CD，然后作∠ABC的平分线交AD的延长线于F；
（2）先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AB＝CD，ADBC，则CE＝AB，再证明∠ABF＝∠F得到AB＝AF，然后证明BE＝DF，从而可判断四边形BEDF为平行四边形．
(1)
如图，DE、BF为所作；

(2)
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，
∵CE＝CD，
∴CE＝AB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵AFBC，
∴∠CBF＝∠F，
∴∠ABF＝∠F，
∴AB＝AF，
∴CE＝AF，即CB＋BE＝AD＋DF，
∴BE＝DF，
∵BEDF，
∴四边形BEDF为平行四边形．
【点睛】
本题考查了作线段，作角平分线，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
3、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据线段的和差关系可得BC＝EF，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，即可得出AD＝EF，可证明四边形AEFD为平行四边形，根据AE⊥BC即可得结论；
（2）根据矩形的性质可得AF＝DE，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案．
(1)
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD为矩形．
(2)
∵四边形AEFD为矩形，
∴AF＝DE＝4，DF=AE，
∵，，，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，
∴，
∴AE=，
∴．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
4、 (1)＝
(2)∠P＝90°－∠A
(3)∠P＝180°－∠BAD－∠CDA，探究见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两式相加可得结论；
（2）根据角平分线的定义得：∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90°−∠A；
（3）根据平角的定义得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分线得：∠3=∠EBC=90°−∠1，∠4=∠FCB=90°−∠2，相加可得：∠3+∠4=180°−（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．
(1)
∠DBC+∠ECB-∠A=180°，
理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A，
∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°，
故答案为：=；
(2)
∠P=90°-∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，
∵△BPC中，∠P=180°-∠CBP-∠BCP=180°-（∠DBC+∠ECB），
∵∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
∴∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A．
故答案为：∠P=90°-∠A，
(3)
∠P=180°-∠BAD-∠CDA，
理由是：如图，

∵∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3=∠EBC=90°-∠1，∠4=∠FCB=90°-∠2，
∴∠3+∠4=180°-（∠1+∠2），
∵四边形ABCD中，∠1+∠2=360°-（∠BAD+∠CDA），
又∵△PBC中，∠P=180°-（∠3+∠4）=（∠1+∠2），
∴∠P=×[360°-（∠BAD+∠CDA）]=180°-（∠BAD+∠CDA）=180°-∠BAD-∠CDA．
【点睛】
本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是关键．
5、 (1)见解析；
(2)①3；②
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中位线的性质得到DEAB，BD=CD，即可证得四边形ABDF是平行四边形，得到AF=BD=CD，由此得到结论；
（2）①由点D、E分别是边BC、AC的中点，得到DE=AB，由四边形是平行四边形，得到DF=2DE=AB=3，再根据矩形的性质得到AC=DF=3；
②根据菱形的性质得到DF⊥AC，推出AB⊥AC，利用勾股定理求出AC，得到CE，利用面积法求出答案．
(1)
证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DEAB，BD=CD，
∵，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD=CD，
∴四边形是平行四边形；
(2)
解：①∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=AB，
∵四边形是平行四边形，
∴DF=2DE=AB=3，
∵四边形是矩形,
∴AC=DF=3，
故答案为：3；
②∵四边形是菱形，
∴DF⊥AC，
∵DEAB，
∴AB⊥AC，
∴AD=BC=2.5，
∴AE=EC=2，
∵
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线的判定及性质，勾股定理，是一道较为综合的几何题，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．