高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第7章　立体几何7.3(教师版)

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一、选择题

1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)

A．m∥l   B．m∥n 

C．n⊥l   D．m⊥n

答案　C

解析　对于A，m与l可能平行或异面，故A错误；对于B，D，m与n可能平行、相交或异面，故B，D错误；对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确．故选C.

2．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

答案　B

解析　当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．故选B.

3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则过点A与AB，BC，CC1所成角均相等的直线有(　　)

A．1条   B．2条 

C．4条   D．无数条

答案　C

解析　若直线和AB，BC所成角相等，得直线在对角面BDD1B1内或者和对角面平行，同时和CC1所成角相等，此时在对角面内只有体对角线BD1满足条件．此时过A的直线和BD1平行即可，

同理体对角线A1C，AC1，DB1也满足条件．则过点A与AB，BC，CC1所成角均相等的直线只要和四条体对角线平行即可，共有4条．故选C.

4．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为(　　)

A．0°   B．45°

C．60°   D．90°

答案　D

解析　如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE－CMFB，

∵CD∥BN，CD⊥AM，

∴AM⊥BN，

∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°.故选D.

5．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，设AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝.故选D.

6．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线AD折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(　　)

A．相交且垂直   B．相交但不垂直

C．异面且垂直   D．异面但不垂直

答案　C

解析　在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面．故选C.

7．已知P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是 (　　)

A．30°   B．45° 

C．60°   D．90°

答案　A

解析　取AC的中点O，连接OM，ON，则ON∥AP，ON＝AP，OM∥BC，OM＝BC，所以异面直线PA与MN所成的角为∠ONM(或其补角)，在△ONM中，OM＝2，ON＝2，MN＝4，由勾股定理的逆定理得OM⊥ON，则∠ONM＝30°.故选A.

8．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝(　　)

A．8   B．9 

C．10   D．11

答案　A

解析　如图，CE⊂平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1，易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴m＝4；∵EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1，且EF与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴n＝4，故m＋n＝8.选A.

9．下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　　)

答案　D

解析　①在A中易证PS∥QR，

∴P，Q，R，S四点共面．

②在C中易证PQ∥SR，

∴P，Q，R，S四点共面．

③在D中，∵QR⊂平面ABC，

PS∩面ABC＝P且P∉QR，

∴直线PS与QR为异面直线．

∴P，Q，R，S四点不共面．

④在B中P，Q，R，S四点共面，证明如下：

取BC中点N，可证PS，NR交于直线B1C1上一点，∴P，N，R，S四点共面，设为α，

可证PS∥QN，∴P，Q，N，S四点共面，设为β.

∵α，β都经过P，N，S三点，∴α与β重合，

∴P，Q，R，S四点共面．故选D.

10．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：

①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确的有(　　)

A．1个   B．2个 

C．3个   D．4个

答案　B

解析　将展开图还原为几何体(如图)，因为四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，则直线BE与CF共面，①错误；因为AF⊂平面PAD，B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错误．故选B.

二、填空题

11．如图所示，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，

①BM与ED平行；

②CN与BE是异面直线；

③CN与BM成60°角；

④DM与BN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

答案　③④

解析　如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题①不成立；而CN与BE平行，故命题②不成立．

∵BE∥CN，∴CN与BM所成角为∠MBE.∵∠MBE＝60°，故③正确；∵BC⊥面CDNM，∴BC⊥DM，

又∵DM⊥NC，∴DM⊥面BCN，∴DM⊥BN，故④正确，故填③④.

12．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC＝BD＝2，且AC与BD成60°，则四边形EFGH的面积为________．

答案　

解析　如图所示，∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，

∴EH∥FG∥BD，EH＝FG＝BD＝1.

∴四边形EFGH是平行四边形，同理可得EF＝GH＝AC＝1，

∴四边形EFGH是菱形．

∵AC与BD成60°，∴∠FEH＝60°或120°.

∴四边形EFGH的面积＝2×EF2sin60°＝.

13．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．

①四面体ABCD每组对棱相互垂直；

②四面体ABCD每个面的面积相等；

③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；

④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；

⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．

答案　②④⑤

解析　对于①，把四面体ABCD放置在如图所示的长方体中，显然命题①错误；对于②，因四个面对应的三角形的三边分别对应相等，即它们为全等的三角形，所以②正确；对于③，当四面体ABCD为正四面体时，夹角之和等于180°，所以③错误；对于④，因每组对棱中点的连线分别与长方体的棱平行，且都经过长方体的中心，所以④正确；又命题⑤显然成立，故填②④⑤.

14．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P－DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________．

答案　

解析　

折成的正四面体，如图，连接HE，取HE的中点K，连接GK，PK，则GK∥DH，故∠PGK(或其补角)即为所求的异面直线所成的角．

设这个正四面体的棱长为2，

在△PGK中，PG＝，GK＝，PK＝＝，

故cos∠PGK＝＝＝，

即异面直线PG与DH所成的角的余弦值为.

三、解答题

15．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点．

(1)在A1C上是否存在一点Q，使BC1∥DQ?

(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求异面直线AB1与CD所成角的大小．

解　(1)连接AC1交A1C于Q，连接DQ，

∴DQ为△ABC1的中位线，DQ∥BC1，

∴A1C上存在一点Q，使BC1∥DQ，Q为A1C的中点．

(2)连接AB1，取BB1中点M，连接DM、CM，则DM是△ABB1的中位线，∴DM∥AB1，

∴∠CDM就是所求异面直线所成角(或补角)，

∵AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，

∴CM＝，DM＝，CD＝，

∴DM2＋CD2＝CM2，满足勾股定理，∴∠CDM＝90°，

故异面直线AB1与CD所成角为90°.

16．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°.

(1)求四棱锥的体积；

(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．

解　(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBO＝60°.

在Rt△AOB中，BO＝AB·sin30°＝1，

∵PO⊥OB，∴PO＝BO·tan60°＝.

∵底面菱形的面积S＝×2××2＝2，

∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝×2×＝2.

(2)取AB的中点F，连接EF，DF，如图所示，∵E为PB中点，

∴EF∥PA，∴∠DEF为异面直线DE与PA所成的角(或其补角)．

在Rt△AOB中，AO＝＝OP，

∴在Rt△POA中，PA＝，

∴EF＝.

在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝，

由余弦定理，

得cos∠DEF＝＝＝＝.

∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.