高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第2章　函数、导数及其应用2.1(教师版)

[基础送分 提速狂刷练]

一、选择题

1．已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x4；⑤f(x)＝x2＋1，其中能够表示函数f：A→A的个数是(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

答案　C

解析　对于⑤，当x＝1时，x2＋1∉A，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．故选C.

2．已知函数f(x)＝则f的值为(　　)

A.  B.  C．－  D．18

答案　A

解析　f(2)＝4，f＝f＝1－2＝.故选A.

3．已知f(x5)＝lg x，则f(2)等于(　　)

A．lg 2  B．lg 32  C．lg   D.lg 2

答案　D

解析　令x5＝t，则x＝t (t>0)，

∴f(t)＝lg t＝lg t．∴f(2)＝lg 2.故选D.

4．设函数f(x)＝lg (1－x)，则函数f[f(x)]的定义域为(　　)

A．(－9，＋∞)   B．(－9,1)

C．[－9，＋∞)   D．[－9,1)

答案　B

解析　f[f(x)]＝f[lg (1－x)]＝lg [1－lg (1－x)]，

则⇒－9<x<1.故选B.

5．若函数y＝f(x)的定义域是[0,1]，则函数F(x)＝f(x＋a)＋f(2x＋a)(0<a<1)的定义域是(　　)

A.   B.

C．[－a,1－a]   D.

答案　A

解析　⇒－≤x≤.故选A.

6．函数y＝的值域为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　由于x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤1，结合函数y＝x在(0,1]上的图象可知函数y＝的值域为.故选C.

7．已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f[f(－3)]＝(　　)

A．－2  B．2  C．3  D．－3

答案　B

解析　由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；

f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝.故f(－3)＝－3＋1＝9，

从而f[f(－3)]＝f(9)＝log39＝2.故选B.

8．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

①y＝x－；②y＝x＋；③y＝

其中满足“倒负”变换的函数是(　　)

A．①②  B．①③  C．②③  D．①

答案　B

解析　对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)满足；对于②，

f＝＋x＝f(x)，不满足；对于③，

f＝即f＝

故f＝－f(x)，满足．

综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.

9．若函数f(x)图象上任意一点P(x，y)皆满足y2≥x2，则f(x)的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝x－   B．f(x)＝ex－1

C．f(x)＝x＋   D．f(x)＝tanx

答案　C

解析　A项，当x＝1时，f(x)＝1－1＝0,02≥12不成立；B项，当x＝－1时，f(x)＝－1∈(－1,0)，2≥(－1)2不成立；D项，当x＝时，f(x)＝1，12≥2不成立；对于C，f2(x)＝x2＋＋8>x2，符合题意．故选C.

10．设函数f(x)＝则满足f[f(a)]＝2f(a)的a的取值范围是(　　)

A.   B．[0,1]

C.   D．[1，＋∞)

答案　C

解析　①当a<时，f(a)＝3a－1<1，f[f(a)]＝3(3a－1)－1

＝9a－4,2f(a)＝23a－1，显然f[f(a)]≠2f(a)．

②当≤a<1时，f(a)＝3a－1≥1，f[f(a)]＝23a－1,2f(a)＝23a－1，

故f[f(a)]＝2f(a)．

③当a≥1时，f(a)＝2a>1，f[f(a)]＝22a，2f(a)＝22a，故f[f(a)]＝2f(a)．

综合①②③知a≥.故选C.

二、填空题

11．已知x∈N*，f(x)＝其值域设为D.给出下列数值：－26，－1,9,14,27,65，则其中属于集合D的元素是________．(写出所有可能的数值)

答案　－26,14,65

解析　注意函数的定义域是N*，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f(3)＝9－35＝－26，f(4)＝16－35＝－19，f(5)＝25－35＝－10，f(6)＝36－35＝1，f(7)＝49－35＝14，f(8)＝64－35＝29，f(9)＝81－35＝46，f(10)＝100－35＝65.故正确答案应填－26,14,65.

12．已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，

∵函数f(x)＝的值域为R，

∴当x<1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，

则解得0≤a＜.

13．定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．

答案　1

解析　[a，b]的长度取得最大值时[a，b]＝[－1,1]，区间[a，b]的长度取得最小值时[a，b]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1.

14．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b＝设f(x)＝(x2－2x)⊕(x＋3)，若函数g(x)＝f(x)＋k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是________．

答案　(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}

解析　因为(x2－2x)－(x＋3)－1＝(x－4)(x＋1)，所以f(x)＝(x2－2x)⊕(x＋3)＝

作出函数y＝f(x)的图象如图所示．函数g(x)＝f(x)＋k的图象与x轴恰有两个公共点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－k有两个公共点，结合图象可得－k＝－1 或2<－k<3或7≤－k<8，所以实数k的取值范围是k∈(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}．

三、解答题

15．)已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)(a>0且a≠1)．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a的值．

解　(1)依题意得解得－2<x<4，

∴f(x)的定义域为(－2,4)．

(2)f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)

＝loga[(x＋2)(4－x)]，x∈[0,3]．

令t＝(x＋2)(4－x)，则可变形得t＝－(x－1)2＋9，

∵0≤x≤3，∴5≤t≤9，

若a>1，则loga5≤logat≤loga9，

∴f(x)min＝loga5＝－2，则a2＝<1(舍去)，

若0<a<1，则loga9≤logat≤loga5，

∴f(x)min＝loga9＝－2，

则a2＝，又0<a<1，∴a＝.

综上，得a＝.

16．如果对∀x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝2.

(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；

(2)求＋＋＋…＋＋＋的值．

解　(1)∵∀x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且

f(1)＝2，

∴f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，

f(3)＝f(1＋2)＝f(1)·f(2)＝23＝8，

f(4)＝f(1＋3)＝f(1)·f(3)＝24＝16.

(2)解法一：由(1)知＝2，＝2，＝2，…，＝2，

故原式＝2×1009＝2018.

解法二：对∀x，y∈R 都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝2，令x＝n，y＝1，则f(n＋1)＝f(n)·f(1)，即＝f(1)＝2，故＝＝…＝＝2，故原式＝2×1009＝2018.