贵州省黔西南州同源中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题（含答案）

同源中学2020-2021学年度第二学期高二（理科）数学期末考试卷

第I卷（选择题）

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知为虚数单位，则的共轭复数为（    ）

A．    B．      C．      D．

3．若等差数列的前项和为，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

4．已知一个几何体的三视图及其大小如图，这个几何体的体积（    ）

A． B． C． D．

5．已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（    ）

A． B． C． D．

6．计算的值为

A． B． C． D．

7．已知，，，则，，的大小是（    ）

A．     B．     C．      D．

8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是（   ）

A．45°       B．60°      C．90°     D．135°

9．执行右图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A．       B．     C．     D．

10．已知某随机变量服从正态分布N(1，32)，则P()为（    ）(附：若随机变量服从正态分布N(，)，则，)

A．87.22%      B．13.59%      C．27.18%     D．81.85%

11．2020年3月，中共中央国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，提出“把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通大中小学各学段，贯穿家庭､学校､社会各方面，与德育､智育､体育､美育相融合，紧密结合经济社会发展变化和学生生活实际，积极探索具有中国特色的劳动教育模式”.贵州省某学校结合自身实际，推出了《职业认知》《家政课程》《田地教育》《手工制作》《种植技术》五门劳动课程，要求学生从中任选两门进行学习，经考核合格后方能获得相应学分.已知甲､乙两人都选了《职业认知》，则另外一门课程不相同的概率为（    ）

A． B． C． D．

12．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题

13．已知函数，则______.

14．设，满足约束条件，则的最大值为________．

15．若的二项展开式中第5项为常数项，则______．

16．有下列五个命题：①函数的图像一定过定点；

②已知，且，则；

③ 函数的定义域是，则函数的定义域为；

④已知且，则实数.

其中正确命题的序号是__________．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题

17．记等差数列的前项和为，设，且成等比数列. 求

（1） a1和d.

（2）求数列的前项和.

18．2019年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者.为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史（无接触史），无武汉旅行史（无接触史），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉旅行史（有接触史），统计得到以下相关数据.

（1）请将列联表填写完整：

（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系？

附：

19．如图所示，平面ABCD，四边形AEFB为矩形，，，．

（1）求证：平面ADE；

（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值．

20．已知椭圆：的左右焦点分别为和，为椭圆上的动点，的最小值为1，且的最大值为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）若经过且倾斜角为45°的直线与椭圆交于、两点，求弦长．

21．已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数的最小值

22．在直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l和曲线C交于两点，点，求的值.

参考答案

1．B

【分析】

集合是确定的，需要计算集合，集合中的元素为，而函数的自变量是中的元素，将中的元素依次代入可以得到集合，根据集合的交集运算可得结果.

【详解】

∵，，

∴，

∴.

故选：B.

2．C

【分析】

利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得结果.

【详解】

因为，因此，的共轭复数为.

故选：C.

3．B

【分析】

利用等差数列的前项和公式可求得的值.

【详解】

由等差数列的基本性质得，因此，.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.

4．B

【分析】

根据三视图，还原出直观图，根据椎体和柱体的体积公式，即可得答案.

【详解】

由三视图可得，该几何体为一个底面半径为2，高为3的圆锥与一个底面半径为2，高为3的圆柱的组合体，

所以.

故选：B

5．C

【分析】

根据扇形面积公式即可求出.

【详解】

设扇形的圆心角为，

则，即，解得.

故选：C.

6．B

【分析】

将所求积分还原为，求解得到结果.

【详解】

本题正确选项：

【点睛】

本题考查积分的求解，属于基础题.

7．A

【分析】

利用中间量和比较可得答案.

【详解】

，，，

所以.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：利用中间量和比较是解题关键.

8．A

【分析】

由利用余弦定理可得，结合的范围，即可得的值．

【详解】

中，，

可得：，

由余弦定理可得：

，

，

，

故选：A.

9．C

【分析】

按照程序框图运行程序即可求解.

【详解】

解：由程序框图可知：

第一次进入循环：，，

第二次进入循环：，，

第三次进入循环：，，

第四次进入循环：，，

此时，，终止循环，输出.

故选：C.

10．D

【分析】

由P()，结合所给条件，即可得解.

【详解】

因为p(-2<ξ<4) ，

p(-5<ξ<7)= ，

所以p(-2<ξ<7)=68.26%+(95.44%-68.26%)=81.85%，

故选：D.

11．D

【分析】

确定基本事件总数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可得结果.

【详解】

由题意知：基本事件总数，

其中甲乙两人都选了《职业认知》，另外一门课程不相同所包含的基本事件个数，

甲､乙两人都选了《职业认知》，另外一门课程不相同的概率为：.

故选：D.

12．B

【分析】

利用奇偶性可排除C；令，利用导数可求得在上恒成立，由此可得在上恒成立，可排除A；利用洛必达法则知，可排除D，由此得到选项.

【详解】

由题意知：定义域为，

，

为奇函数，图象关于原点对称，可排除C；

令，则，，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，在上单调递增，

，

当时，，可排除A；

，，

由洛必达法则可知：，可排除D.

故选：B.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

13．26

【分析】

代入分段函数，分别求值.

【详解】

，，

则.

故答案为：

14．

【分析】

作出可行域，平移目标函数找到取最大值的点，代入可求最大值.

【详解】

作出不等式组表示的可行域,如图，

设，由图可知，当直线经过点时，取到最大值，联立可得，代入可得取得最大值．

【点睛】

本题主要考查线性规划求解最值，作出可行域先确定最值点是求解关键，侧重考查直观想象，逻辑推理的核心素养.

15．6

【分析】

写出的展开式的通项，然后由题意可得当时的指数为0，从而解出.

【详解】

的展开式的通项为

因为展开式中第5项为常数项，所以，解得

故答案为：6

【点睛】

本题考查的是二项式定理，准确的写出通项是解题的关键，属于基础题.

16．①②④

【分析】

①根据函数的图像一定过定点可以直接判断；

②根据求出，然后计算即可判断；

③求抽象函数的定义域；

④指数与对数的互化，再结合对数的运算即可判断.

【详解】

①因为函数的图像一定过定点，

所以令，即，此时，

所以函数的图像一定过定点，故①正确；

②已知，且，即，

整理，而，故②正确；

③函数的定义域是，所以，即，

则函数的定义域为，故③错误；

④已知，则，

又，则，即，

所以，则实数，故④正确.

故答案为：①②④

17．（1），，或，，（2）或

【分析】

（1）由成等比数列，可得，结合，列出关于的方程组，可求出a1和d.

（2）直接利用等差数列的前项和公式求解即可

【详解】

解：（1）设等差数列的公差为，

因为成等比数列，所以，

即，

因为，所以，即，

所以，，解得或，

当时，，当时，，

所以，，或，，

（2）当，时，，

当，时，

【点睛】

此题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查计算能力，属于基础题

18．（1）列联表见解析；（2）能

【分析】

（1）根据表格可得有武汉旅行史且有接触史的有9人，有武汉旅行史且无接触史的有18人，可以完成表格；

（2）根据列联表计算卡方，根据参考数据可以得出结论.

【详解】

（1）请将该列联表填写完整：

（2）根据列联表中的数据，由于

.

因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系.

【点睛】

本题主要考查独立性检验，题目较为简单，独立性检验根据公式计算卡方是求解的关键，侧重考查数据处理的核心素养.

19．（1）见解析（2）

【分析】

（1）根据，，从而证明平面平面ADE，从而平面ADE。（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的空间坐标，根据向量法求解即可。

【详解】

（1）∵四边形ABEF为矩形

又平面ADE，AE平面ADE

平面ADE

又，

同理可得：平面ADE

又，BF，BC 平面BCF

∴平面平面ADE

又CF平面BCF

平面ADE

（2）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则

，，

,,

设是平面CDF的一个法向量，则

即

令，解得

又是平面AEFB的一个法向量，

∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为.

【点睛】

此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于简单题目。

20．（1）；（2）

【分析】

（1）由题可得，，即可求出，得出椭圆方程；

（2）求出直线方程，代入椭圆，写出韦达定理，利用弦长公式即可求出.

【详解】

（1）由题可知，当在左顶点时，取最小，取最大，

即，，解得，，

椭圆的方程为；

（2）可知直线斜率为1，且，

所以直线方程为，

设，

将直线方程代入椭圆方程可得，

，

.

21．（1）单调减区间是(-∞，，0)，单调增区间是(0，+∞)；（2）最小值1.

【分析】

（1）直接利用导数求函数的单调区间；

（2）由（1）可得ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立，

把转化为，直接求出最小值1，并判断出g(x)取得最小值时条件存在.

【详解】

解∶（1）的定义域为R, ，

当x<0时，有，当x>0时，有；

所以函数f(x)的单调减区间是(-∞，，0)，单调增区间是(0，+∞).

（2）由（1）可得f(x)min=f(0)=0，有ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立，

所以，

当且仅当lnx+x=0时，等号成立.

设h(x)=lnx+x(x>0)，

所以h(x)在(0，+∞)上是增函数，.

而，h（1）=1>0，

由零点存在性定理，存在唯一，使得h(x0)=0，

所以当x=x0时，函数g(x)取得最小值1.

【点睛】

导数的应用主要有：

（1）利用导函数几何意义求切线方程；

（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；

（3）利用导数求参数的取值范围.

22．（1）：，：；（2）.

【分析】

（1）直接利用转换关系，在参数方程､极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；

（2）联立方程，利用韦达定理求出结果.

【详解】

（1）直线l的参数方程是(t为参数)，转换为普通方程为.

曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；

（2）把直线l的参数方程是(t为参数)，代入，

得到，

所以，

所以.