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江苏专用2022版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第六节二元一次不等式组与线性规划练习含解析
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这是一份江苏专用2022版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第六节二元一次不等式组与线性规划练习含解析，共20页。
第六节 二元一次不等式(组)与线性规划
学习要求:1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.
2.会从实际情境中抽象出一些简单的线性规划问题,并能解决.
1.二元一次不等式表示的平面区域
一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成① 虚线 以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成② 实线 .
对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把其坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0(或<0)表示直线哪一侧的平面区域.
2.线性规划的有关概念
名称
意义
线性约束条件
由关于x,y的③ 一次 不等式组成的不等式组
目标函数
关于x,y的函数解析式,如z=x+2y
线性目标函数
关于x,y的④ 一次函数 解析式
可行解
满足线性约束条件的解⑤ (x,y)
可行域
所有⑥ 可行解 组成的集合
最优解
使目标函数取得⑦ 最大值或最小值 的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
▶提醒 如果目标函数存在一个最优解,那么最优解通常在可行域的顶点处取得;如果目标函数存在多个最优解,那么最优解一般在可行域的边界上取得.
知识拓展
1.利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域
对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0(A>0,C>0),有:
(1)当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;
(2)当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.
2.最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)不等式Ax+By+C>0(A>0,B>0)表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的右上方. ( )
(2)使目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )
(3)在目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.( )
(4)在目标函数z=y+2x+1中,z的几何意义是过点(1,2)和(x,y)的直线的斜率. ( )
(5)在目标函数z=(x-1)2+(y-2)2中,z的几何意义是点(1,2)到点(x,y)的距离. ( )
答案 (1)√ (2)✕ (3)✕ (4)✕ (5)✕
2.不等式x-2y+6<0表示的区域在直线x-2y+6=0的 ( )
A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方
答案 C 画出x-2y+6<0的图象如图中阴影部分所示,可知该区域在直线x-2y+6=0的左上方.故选C.
3.不等式组x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4所表示的平面区域的面积为 .
答案 43
4.已知实数x,y满足不等式组x-y+2≥0,x+y-4≥0,2x-y-5≤0,目标函数z=y-ax(a∈R).若z取最大值时的唯一解是(1,3),则实数a的取值范围是 .
答案 (1,+∞)
二元一次不等式(组)表示的平面区域
角度一 平面区域的面积问题
典例1 (1)不等式组2x+y-6≤0,x+y-3≥0,y≤2表示的平面区域的面积为( )
A.4 B.1
C.5 D.无穷大
(2) 不等式组(x-y+5)(x+y)≥0,0≤x≤3表示的平面区域的面积是( )
A.12 B.24
C.36 D.48
答案 (1)B (2)B
解析 (1)不等式组2x+y-6≤0,x+y-3≥0,y≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分),△ABC的面积即为所求.
易得A(1,2),B(2,2),C(3,0),
则△ABC的面积S=12×(2-1)×2=1.
(2)不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分):
所求面积=(5+11)×32=24.选B.
角度二 平面区域的形状问题
典例2 (1)若不等式组x-y≥0,2x+y≤2,y≥0,x+y≤a表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是 .
(2)已知约束条件x≥1,x+y-4≤0kx-y≤0,表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的值为 .
答案 (1)(0,1]∪43,+∞ (2)1
解析 (1)不等式组x-y≥0,2x+y≤2,y≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示.
解y=x,2x+y=2得A23,23;解y=0,2x+y=2得B(1,0).若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x+y=a中的a的取值范围是0
规律总结
1.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法
(1)直线定界,特殊点定域.即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域;
(2)当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.
2.求平面区域面积的方法
(1)首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,则应利用题目中的已知条件转化为不等式组问题,从而作出平面区域;
(2)对平面区域进行分析,若为三角形,则应确定底与高.若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),则利用面积公式直接求解.若为不规则图形,则分割成几个规则图形分别求解再求和即可.
1.不等式组x-y+5≥0,y≥2,0≤x≤2所表示的平面区域的面积为 .
答案 8
解析 如图,不等式组表示的平面区域为直角梯形(阴影部分),易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5),所以AD=3,AB=2,BC=5.故所求区域的面积S=12×(3+5)×2=8.
2.若不等式组x+y-2≤0,x+2y-2≥0,x-y+2m≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m的值为 .
答案 1
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.易知图中A点纵坐标yA=1+m,B点纵坐标yB=2m+23,C点横坐标xC=-2m,所以S△ABD=S△ACD-S△BCD=12×(2+2m)×(1+m)-12×(2+2m)×2m+23=(m+1)23=43,
所以m=1或m=-3,
因为当m=-3时,不满足题意,应舍去,所以m=1.
3.不等式|x-2|+|y-2|≤2所表示的平面区域的面积是 ,周长是 .
答案 8;82
解析 原不等式等价于y≤-x+6,x≥2,y≥2,y≥x-2,x≥2,y<2,y≤x+2,x<2,y≥2,y≥-x+2,x<2,y<2,
画出不等式组表示的平面区域如图中正方形ABCD的内部及边界,正方形的边长为22,故面积为22×22=8,周长为4×22=82.
求线性目标函数的最值(范围)
角度一 求线性目标函数的最值(范围)
典例3 (2020课标全国Ⅰ,13,5分)若x,y满足约束条件2x+y-2≤0,x-y-1≥0,y+1≥0,则z=x+7y的最大值为 .
答案 1
解析 作出可行域如图,由z=x+7y得y=-x7+z7,易知当直线y=-x7+z7经过点A(1,0)时,z取得最大值,zmax=1+7×0=1.
角度二 求非线性目标函数的最值(范围)
典例4 设x,y满足条件x-y+5≥0,x+y≥0,x≤3.
(1)求u=x2+y2的最大值与最小值;
(2)求v=yx-5的最大值与最小值;
(3)求z=|2x+y+4|的最大值与最小值.
解析 画出满足条件的可行域,如图中阴影部分所示(包含边界).
(1)x2+y2=u表示一组同心圆(圆心为原点O),且同一圆上的点,x2+y2的值都相同,由图象可知,当(x,y)在可行域内取值时,当且仅当圆O过C点时,u最大,过点(0,0)时,u最小,又C(3,8),所以umax=73,umin=0.
(2)v=yx-5表示可行域内的点P(x,y)与定点D(5,0)连线的斜率,由图象可知,kBD最大,kCD最小.因为C(3,8),B(3,-3),所以vmax=-33-5=32,vmin=83-5=-4.
(3)因为z=|2x+y+4|=5×|2x+y+4|5表示可行域内的点P(x,y)到直线2x+y+4=0的距离的5倍,由图象知点A到直线2x+y+4=0的距离最小,点C到直线2x+y+4=0的距离最大.又因为A-52,52,C(3,8),
所以当x=-52,y=52时,
zmin=5×2×-52+52+45=32.
当x=3,y=8时,zmax=5×|2×3+8+4|5=18.
角度三 含参的线性规划问题
典例5 (1)已知x,y满足约束条件x-y+4≥0,x≤2,x+y+k≥0,且z=x+3y的最小值为2,则常数k= .
(2)若x,y满足约束条件x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2,且目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是 .
答案 (1)-2 (2)(-4,2)
解析 (1)x-y+4≥0,x≤2,x+y+k≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界),
由z=x+3y得y=-13x+z3,结合图形可知,当直线y=-13x+z3过点A时,z最小,由x=2,x+y+k=0,解得A(2,-2-k),此时zmin=2+3(-2-k)=2,解得k=-2.
(2)作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,直线z=ax+2y的斜率k=-a2,从图中可看出,当-1<-a2<2,即-4
名师点评
1.求目标函数最值的方法
(1)求目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,将z=ax+by转化为直线的斜截式y=-abx+zb,通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值.
(2)x2+y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,(x-a)2+(y-b)2表示点(x,y)与点(a,b)的距离.
(3)yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,y-bx-a表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.
2.由目标函数的最值求参数的方法
求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,再通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数.
1.已知x,y满足约束条件x-y≥0,x+y≤2,y≥0,若z=ax+y的最大值为4,则a等于 ( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
答案 B 不等式组x-y≥0,x+y≤2,y≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界).
易知A(2,0),由x-y=0,x+y=2得B(1,1).由z=ax+y,得y=-ax+z,所以当a=-2或a=-3时,z=ax+y在点O(0,0)处取得最大值,最大值为0,不满足题意,排除C,D;当a=2或a=3时,z=ax+y在点A(2,0)处取得最大值,所以2a=4,所以a=2,故选B.
2.已知x、y满足约束条件2x+y-5≥0,3x-y-5≤0,x-2y+5≥0.
(1)求目标函数z=3x+2y的最大值与最小值;
(2)求目标函数u=x2+y2的取值范围;
(3)求目标函数v=y+1x+1的取值范围.
解析 不等式组表示的平面区域为△ABC(含边界).
(1)由图可知,当直线z=3x+2y,即直线y=-32x+12z过点B时,该直线在x轴上的截距最大,此时,z取最大值,zmax=3×3+2×4=17,当直线y=-32x+12z过点A时,该直线在x轴上的截距最小,此时,z取最小值,zmin=3×2+2×1=8.
(2)设点E(x,y),则u=x2+y2=|OE|2表示可行域内任一点E(x,y)到原点距离的平方.由图可知,其最大值为|OB|2=32+42=25.
直线OA的斜率kOA=12,
直线AC的斜率kAC=-2,kOA·kAC=-1,
∴OA⊥AC,故其最小值为|OA|2=22+12=5,所以u的取值范围是[5,25].
(3)设点P(x,y),则v=y+1x+1表示可行域内任一点P(x,y)与点M(-1,-1)连线的斜率kPM.当直线PM过点A时,直线PM的倾斜角最小,此时,v取最小值,vmin=1+12+1=23,当直线PM过点C时,直线PM的倾斜角最大,此时,v取最大值,vmax=3+11+1=2,所以v的取值范围是23,2.
A组 基础达标
1.(2019河北唐山模拟)设变量x,y满足x+y≥1,x-y≥0,2x-y-2≤0,则目标函数z=2x+y的最小值为( )
A.32 B.2 C.4 D.6
答案 A 作出不等式组x+y≥1,x-y≥0,2x-y-2≤0表示的可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线y=-2x+z过点C时,在y轴上的截距最小,即z最小,由x+y=1,x-y=0得x=12,y=12,所以C12,12,zmin=2×12+12=32,故选A.
2.若实数x,y满足|x|≤y≤1,则x2+y2+2x的最小值为 ( )
A.12 B.-12 C.22 D.22-1
答案 B 作出不等式|x|≤y≤1表示的可行域,如图中阴影部分(包括边界)所示:
x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1,(x+1)2+y2表示可行域内的点(x,y)到点(-1,0)距离的平方,由图可知,(x+1)2+y2的最小值为点(-1,0)到直线y=-x的距离的平方,即122=12,所以x2+y2+2x的最小值为12-1=-12.故选B.
3.若x,y满足约束条件3x-y+3≥0,3x+y-3≤0,y≥0,则当y+1x+3取最大值时,x+y的值为 ( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
答案 D 作出可行域,如图中阴影部分(包括边界)所示,y+1x+3的几何意义是过定点M(-3,-1)与可行域内的点(x,y)连线的斜率,由图可知,当直线过点A(0,3)时,斜率取得最大值,此时x,y的值分别为0,3,所以x+y=3.故选D.
4.不等式组x≥0,x+y≤3,y≥x+1表示的平面区域为Ω,若直线y=kx-1与区域Ω有公共点,则实数k的取值范围是 ( )
A.(0,3] B.[-1,1]
C.(-∞,3] D.[3,+∞)
答案 D 作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分(包括边界)所示,直线y=kx-1过定点M(0,-1),由图可知,当直线y=kx-1经过直线y=x+1与直线x+y=3的交点C(1,2)时,k最小,此时k=kCM=2-(-1)1-0=3.
因此k≥3,即k的取值范围是[3,+∞).故选D.
5.(2020河北桃城校级模拟)设变量x,y满足约束条件x-2y+1≤0,2x-y+2≥0,x+y-2≤0,若z=x+ay取得最大值时的最优解不唯一,则实数a的值为 ( )
A.-12或1 B.1或-2
C.-2或-12 D.-1或2
答案 B 作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分(包括边界)所示,
因为目标函数z=x+ay取得最大值时的最优解不唯一,
所以当a>0时,直线y=-x+za与直线x+y-2=0重合,此时a=1;当a<0时,直线y=-x+za与直线x-2y+1=0重合,此时a=-2,
所以a=1或a=-2.故选B.
6.(2020云南高中复习检测)已知实数x,y满足约束条件-3≥x-4y,3x+5y≤25,x≥1,则z=2x+y的最大值等于 ( )
A.10 B.12
C.16 D.2
答案 B 由已知画出可行域,向上移动直线2x+y=0至C(5,2)时,z有最大值,为2×5+2=12,故选B.
7.(2020湖南衡阳八中线上月考)若x,y满足约束条件x+y-1≤0,x-y+3≤0,x+2≥0,则x2+y2的最大值是( )
A.92 B.322
C.13 D.13
答案 C x2+y2表示可行域内的点(x,y)到坐标原点的距离的平方,画出不等式组表示的可行域,如图,由x+y-1=0,x+2=0,解得y=3,x=-2,
即A(-2,3).
点A(-2,3)到坐标原点(0,0)的距离最大,
即(x2+y2)max=(-2)2+32=13.
故选C.
8.(2020云师大附中高三适应性月考)已知实数x,y满足约束条件x-y≥0,x+y-3≤0,y≥1,则z=2-2x+y的最大值是 ( )
A.2 B.1 C.12 D.-1
答案 C 由实数x,y满足约束条件x-y≥0,x+y-3≤0,y≥1,作出可行域,如图,
则z=2-2x+y的最大值在t=-2x+y取最大值时取得,
联立得x-y=0,y=1,解得x=1,y=1,即A(1,1).化目标函数t=-2x+y为y=2x+t,由图可知,当直线y=2x+t过点A时,直线在y轴上的截距最大,此时z取得最大值,为12,故选C.
9.(多选题)(2020四川德阳高三二诊)已知不等式组2x-y≥0,y≥12x,x+y-3≤0表示的平面区域为Ω,则 ( )
A.∀(x,y)∈Ω,x+2y>3
B.∀(x,y)∈Ω,x+2y≤5
C.∀(x,y)∈Ω,y+2x-1>3
D.∃(x,y)∈Ω,y+2x-1>5
答案 BD 不等式组2x-y≥0,y≥12x,x+y-3≤0表示的平面区域如图所示,
其中A(2,1),B(1,2),
设z1=x+2y,则y=-x2+z12,z1的几何意义为直线y=-x2+z12在y轴上的截距的2倍,
由图可得,
当直线y=-x2+z12过点B(1,2)时,直线z1=x+2y在y轴上的截距最大,为5,即x+2y≤5,
当直线y=-x2+z12过原点时,直线z1=x+2y在y轴上的截距最小,为0,即x+2y≥0,
故A错误,B正确;
设z2=y+2x-1,则z2的几何意义为点(x,y)与点(1,-2)连线的斜率,由图可得,z2最大可到无穷大,最小可到无穷小,故C错误,D正确.故选D.
10.(2020广东佛山二中高三月考)已知点(x,y)满足x-y≤3,4x-y≥6,x+2y≤6,则yx的取值范围为 .
答案 [-2,1]
解析 作出不等式组对应的平面区域如图所示,
∵yx的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率,
∴由图象知直线OA的斜率最小,直线OC的斜率最大,
由x+2y=6,4x-y=6,可得C(2,2),
此时直线OC的斜率kOC=1.
由x-y=3,4x-y=6,可得A(1,-2),
此时直线OA的斜率kOA=-2,
则yx的取值范围为[-2,1].
B组 能力拔高
11.若x,y满足x+y≥1,mx-y≤0,3x-2y+2≥0,且z=3x-y的最大值为2,则实数m的值为 ( )
A.13 B.23
C.1 D.2
答案 D 由选项得m>0,
作出不等式组x+y≥1,mx-y≤0,3x-2y+2≥0(m>0)表示的平面区域,如图中阴影部分(包括边界)所示.因为z=3x-y,所以y=3x-z,当直线y=3x-z经过点A时,直线在y轴上的截距-z最小,此时目标函数z取得最大值,为2.
由3x-2y+2=0,3x-y=2得A(2,4),代入直线mx-y=0得2m-4=0,解得m=2.
12.(2020四川成都高三第二次诊断)已知EF为圆(x-1)2+(y+1)2=1的一条直径,点M(x,y)的坐标满足不等式组x-y+1≤0,2x+y+3≥0,y≤1,则ME·MF的取值范围为 ( )
A.92,13 B.[4,13]
C.[4,12] D.72,12
答案 D 作出可行域如图中阴影部分所示,
设圆心为T(1,-1),则ME·MF=(MT+TE)·(MT+TF)=(MT+TE)·(MT-TE)
=MT2-TE2=MT2-1,
过点T作直线x-y+1=0的垂线,垂足为B,显然|TB|≤|MT|≤|TA|,
又易得A(-2,1),
所以|TA|=[1-(-2)]2+(-1-1)2=13,|TB|=|1-(-1)+1|12+(-1)2=322,
故ME·MF=MT2-1∈72,12.故选D.
13.(2020甘肃白银靖远高三第一次联考)若实数x,y满足约束条件3x-y-2≥0,x+y-2≤0,x+4y+4≥0,则z=x+2y的最大值为 .
答案 3
解析 作出可行域(如图中阴影部分),易知当直线经过点A时,z取得最大值,
联立3x-y-2=0,x+y-2=0,可求得点A(1,1),则
zmax=1+2×1=3.
C组 思维拓展
14.(2020广东实验中学高三线上考试)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|OA|=|OB|=OA·OB=2,则点集{P|OP=λOA+μOB,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是 ( )
A.22 B.23
C.42 D.43
答案 D 由|OA|=|OB|=OA·OB=2知,
cos=OA·OBOAOB=22×2=12,
∴=π3.
不妨设OA=(2,0),OB=(1,3),OP=(x,y),则x=2λ+μ,y=3μ,
解得μ=y3,λ=12x-y3,
由|λ|+|μ|≤1得|3x-y|+|2y|≤23.
作出可行域,如图所示.
则所求面积S=2×12×4×3=43.
15.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和最大为 元.
答案 216000
解析 设生产产品A为x件,生产产品B为y件,利润之和为z元,则z=2100x+900y.
根据题意得
1.5x+0.5y≤150,x+0.3y≤90,5x+3y≤600,x,y∈N,即3x+y≤300,10x+3y≤900,5x+3y≤600,x,y∈N,
作出可行域,如图中阴影部分中的整点所示,
由10x+3y=900,5x+3y=600得x=60,y=100.
当直线2100x+900y-z=0过点C(60,100)时,z取得最大值,为2100×60+900×100=216000.故利润之和最大为216000元.
第六节 二元一次不等式(组)与线性规划
学习要求:1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.
2.会从实际情境中抽象出一些简单的线性规划问题,并能解决.
1.二元一次不等式表示的平面区域
一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成① 虚线 以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成② 实线 .
对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把其坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0(或<0)表示直线哪一侧的平面区域.
2.线性规划的有关概念
名称
意义
线性约束条件
由关于x,y的③ 一次 不等式组成的不等式组
目标函数
关于x,y的函数解析式,如z=x+2y
线性目标函数
关于x,y的④ 一次函数 解析式
可行解
满足线性约束条件的解⑤ (x,y)
可行域
所有⑥ 可行解 组成的集合
最优解
使目标函数取得⑦ 最大值或最小值 的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
▶提醒 如果目标函数存在一个最优解,那么最优解通常在可行域的顶点处取得;如果目标函数存在多个最优解,那么最优解一般在可行域的边界上取得.
知识拓展
1.利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域
对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0(A>0,C>0),有:
(1)当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;
(2)当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.
2.最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)不等式Ax+By+C>0(A>0,B>0)表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的右上方. ( )
(2)使目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )
(3)在目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.( )
(4)在目标函数z=y+2x+1中,z的几何意义是过点(1,2)和(x,y)的直线的斜率. ( )
(5)在目标函数z=(x-1)2+(y-2)2中,z的几何意义是点(1,2)到点(x,y)的距离. ( )
答案 (1)√ (2)✕ (3)✕ (4)✕ (5)✕
2.不等式x-2y+6<0表示的区域在直线x-2y+6=0的 ( )
A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方
答案 C 画出x-2y+6<0的图象如图中阴影部分所示,可知该区域在直线x-2y+6=0的左上方.故选C.
3.不等式组x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4所表示的平面区域的面积为 .
答案 43
4.已知实数x,y满足不等式组x-y+2≥0,x+y-4≥0,2x-y-5≤0,目标函数z=y-ax(a∈R).若z取最大值时的唯一解是(1,3),则实数a的取值范围是 .
答案 (1,+∞)
二元一次不等式(组)表示的平面区域
角度一 平面区域的面积问题
典例1 (1)不等式组2x+y-6≤0,x+y-3≥0,y≤2表示的平面区域的面积为( )
A.4 B.1
C.5 D.无穷大
(2) 不等式组(x-y+5)(x+y)≥0,0≤x≤3表示的平面区域的面积是( )
A.12 B.24
C.36 D.48
答案 (1)B (2)B
解析 (1)不等式组2x+y-6≤0,x+y-3≥0,y≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分),△ABC的面积即为所求.
易得A(1,2),B(2,2),C(3,0),
则△ABC的面积S=12×(2-1)×2=1.
(2)不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分):
所求面积=(5+11)×32=24.选B.
角度二 平面区域的形状问题
典例2 (1)若不等式组x-y≥0,2x+y≤2,y≥0,x+y≤a表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是 .
(2)已知约束条件x≥1,x+y-4≤0kx-y≤0,表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的值为 .
答案 (1)(0,1]∪43,+∞ (2)1
解析 (1)不等式组x-y≥0,2x+y≤2,y≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示.
解y=x,2x+y=2得A23,23;解y=0,2x+y=2得B(1,0).若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x+y=a中的a的取值范围是0
规律总结
1.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法
(1)直线定界,特殊点定域.即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域;
(2)当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.
2.求平面区域面积的方法
(1)首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,则应利用题目中的已知条件转化为不等式组问题,从而作出平面区域;
(2)对平面区域进行分析,若为三角形,则应确定底与高.若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),则利用面积公式直接求解.若为不规则图形,则分割成几个规则图形分别求解再求和即可.
1.不等式组x-y+5≥0,y≥2,0≤x≤2所表示的平面区域的面积为 .
答案 8
解析 如图,不等式组表示的平面区域为直角梯形(阴影部分),易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5),所以AD=3,AB=2,BC=5.故所求区域的面积S=12×(3+5)×2=8.
2.若不等式组x+y-2≤0,x+2y-2≥0,x-y+2m≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m的值为 .
答案 1
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.易知图中A点纵坐标yA=1+m,B点纵坐标yB=2m+23,C点横坐标xC=-2m,所以S△ABD=S△ACD-S△BCD=12×(2+2m)×(1+m)-12×(2+2m)×2m+23=(m+1)23=43,
所以m=1或m=-3,
因为当m=-3时,不满足题意,应舍去,所以m=1.
3.不等式|x-2|+|y-2|≤2所表示的平面区域的面积是 ,周长是 .
答案 8;82
解析 原不等式等价于y≤-x+6,x≥2,y≥2,y≥x-2,x≥2,y<2,y≤x+2,x<2,y≥2,y≥-x+2,x<2,y<2,
画出不等式组表示的平面区域如图中正方形ABCD的内部及边界,正方形的边长为22,故面积为22×22=8,周长为4×22=82.
求线性目标函数的最值(范围)
角度一 求线性目标函数的最值(范围)
典例3 (2020课标全国Ⅰ,13,5分)若x,y满足约束条件2x+y-2≤0,x-y-1≥0,y+1≥0,则z=x+7y的最大值为 .
答案 1
解析 作出可行域如图,由z=x+7y得y=-x7+z7,易知当直线y=-x7+z7经过点A(1,0)时,z取得最大值,zmax=1+7×0=1.
角度二 求非线性目标函数的最值(范围)
典例4 设x,y满足条件x-y+5≥0,x+y≥0,x≤3.
(1)求u=x2+y2的最大值与最小值;
(2)求v=yx-5的最大值与最小值;
(3)求z=|2x+y+4|的最大值与最小值.
解析 画出满足条件的可行域,如图中阴影部分所示(包含边界).
(1)x2+y2=u表示一组同心圆(圆心为原点O),且同一圆上的点,x2+y2的值都相同,由图象可知,当(x,y)在可行域内取值时,当且仅当圆O过C点时,u最大,过点(0,0)时,u最小,又C(3,8),所以umax=73,umin=0.
(2)v=yx-5表示可行域内的点P(x,y)与定点D(5,0)连线的斜率,由图象可知,kBD最大,kCD最小.因为C(3,8),B(3,-3),所以vmax=-33-5=32,vmin=83-5=-4.
(3)因为z=|2x+y+4|=5×|2x+y+4|5表示可行域内的点P(x,y)到直线2x+y+4=0的距离的5倍,由图象知点A到直线2x+y+4=0的距离最小,点C到直线2x+y+4=0的距离最大.又因为A-52,52,C(3,8),
所以当x=-52,y=52时,
zmin=5×2×-52+52+45=32.
当x=3,y=8时,zmax=5×|2×3+8+4|5=18.
角度三 含参的线性规划问题
典例5 (1)已知x,y满足约束条件x-y+4≥0,x≤2,x+y+k≥0,且z=x+3y的最小值为2,则常数k= .
(2)若x,y满足约束条件x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2,且目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是 .
答案 (1)-2 (2)(-4,2)
解析 (1)x-y+4≥0,x≤2,x+y+k≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界),
由z=x+3y得y=-13x+z3,结合图形可知,当直线y=-13x+z3过点A时,z最小,由x=2,x+y+k=0,解得A(2,-2-k),此时zmin=2+3(-2-k)=2,解得k=-2.
(2)作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,直线z=ax+2y的斜率k=-a2,从图中可看出,当-1<-a2<2,即-4
名师点评
1.求目标函数最值的方法
(1)求目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,将z=ax+by转化为直线的斜截式y=-abx+zb,通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值.
(2)x2+y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,(x-a)2+(y-b)2表示点(x,y)与点(a,b)的距离.
(3)yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,y-bx-a表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.
2.由目标函数的最值求参数的方法
求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,再通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数.
1.已知x,y满足约束条件x-y≥0,x+y≤2,y≥0,若z=ax+y的最大值为4,则a等于 ( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
答案 B 不等式组x-y≥0,x+y≤2,y≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界).
易知A(2,0),由x-y=0,x+y=2得B(1,1).由z=ax+y,得y=-ax+z,所以当a=-2或a=-3时,z=ax+y在点O(0,0)处取得最大值,最大值为0,不满足题意,排除C,D;当a=2或a=3时,z=ax+y在点A(2,0)处取得最大值,所以2a=4,所以a=2,故选B.
2.已知x、y满足约束条件2x+y-5≥0,3x-y-5≤0,x-2y+5≥0.
(1)求目标函数z=3x+2y的最大值与最小值;
(2)求目标函数u=x2+y2的取值范围;
(3)求目标函数v=y+1x+1的取值范围.
解析 不等式组表示的平面区域为△ABC(含边界).
(1)由图可知,当直线z=3x+2y,即直线y=-32x+12z过点B时,该直线在x轴上的截距最大,此时,z取最大值,zmax=3×3+2×4=17,当直线y=-32x+12z过点A时,该直线在x轴上的截距最小,此时,z取最小值,zmin=3×2+2×1=8.
(2)设点E(x,y),则u=x2+y2=|OE|2表示可行域内任一点E(x,y)到原点距离的平方.由图可知,其最大值为|OB|2=32+42=25.
直线OA的斜率kOA=12,
直线AC的斜率kAC=-2,kOA·kAC=-1,
∴OA⊥AC,故其最小值为|OA|2=22+12=5,所以u的取值范围是[5,25].
(3)设点P(x,y),则v=y+1x+1表示可行域内任一点P(x,y)与点M(-1,-1)连线的斜率kPM.当直线PM过点A时,直线PM的倾斜角最小,此时,v取最小值,vmin=1+12+1=23,当直线PM过点C时,直线PM的倾斜角最大,此时,v取最大值,vmax=3+11+1=2,所以v的取值范围是23,2.
A组 基础达标
1.(2019河北唐山模拟)设变量x,y满足x+y≥1,x-y≥0,2x-y-2≤0,则目标函数z=2x+y的最小值为( )
A.32 B.2 C.4 D.6
答案 A 作出不等式组x+y≥1,x-y≥0,2x-y-2≤0表示的可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线y=-2x+z过点C时,在y轴上的截距最小,即z最小,由x+y=1,x-y=0得x=12,y=12,所以C12,12,zmin=2×12+12=32,故选A.
2.若实数x,y满足|x|≤y≤1,则x2+y2+2x的最小值为 ( )
A.12 B.-12 C.22 D.22-1
答案 B 作出不等式|x|≤y≤1表示的可行域,如图中阴影部分(包括边界)所示:
x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1,(x+1)2+y2表示可行域内的点(x,y)到点(-1,0)距离的平方,由图可知,(x+1)2+y2的最小值为点(-1,0)到直线y=-x的距离的平方,即122=12,所以x2+y2+2x的最小值为12-1=-12.故选B.
3.若x,y满足约束条件3x-y+3≥0,3x+y-3≤0,y≥0,则当y+1x+3取最大值时,x+y的值为 ( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
答案 D 作出可行域,如图中阴影部分(包括边界)所示,y+1x+3的几何意义是过定点M(-3,-1)与可行域内的点(x,y)连线的斜率,由图可知,当直线过点A(0,3)时,斜率取得最大值,此时x,y的值分别为0,3,所以x+y=3.故选D.
4.不等式组x≥0,x+y≤3,y≥x+1表示的平面区域为Ω,若直线y=kx-1与区域Ω有公共点,则实数k的取值范围是 ( )
A.(0,3] B.[-1,1]
C.(-∞,3] D.[3,+∞)
答案 D 作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分(包括边界)所示,直线y=kx-1过定点M(0,-1),由图可知,当直线y=kx-1经过直线y=x+1与直线x+y=3的交点C(1,2)时,k最小,此时k=kCM=2-(-1)1-0=3.
因此k≥3,即k的取值范围是[3,+∞).故选D.
5.(2020河北桃城校级模拟)设变量x,y满足约束条件x-2y+1≤0,2x-y+2≥0,x+y-2≤0,若z=x+ay取得最大值时的最优解不唯一,则实数a的值为 ( )
A.-12或1 B.1或-2
C.-2或-12 D.-1或2
答案 B 作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分(包括边界)所示,
因为目标函数z=x+ay取得最大值时的最优解不唯一,
所以当a>0时,直线y=-x+za与直线x+y-2=0重合,此时a=1;当a<0时,直线y=-x+za与直线x-2y+1=0重合,此时a=-2,
所以a=1或a=-2.故选B.
6.(2020云南高中复习检测)已知实数x,y满足约束条件-3≥x-4y,3x+5y≤25,x≥1,则z=2x+y的最大值等于 ( )
A.10 B.12
C.16 D.2
答案 B 由已知画出可行域,向上移动直线2x+y=0至C(5,2)时,z有最大值,为2×5+2=12,故选B.
7.(2020湖南衡阳八中线上月考)若x,y满足约束条件x+y-1≤0,x-y+3≤0,x+2≥0,则x2+y2的最大值是( )
A.92 B.322
C.13 D.13
答案 C x2+y2表示可行域内的点(x,y)到坐标原点的距离的平方,画出不等式组表示的可行域,如图,由x+y-1=0,x+2=0,解得y=3,x=-2,
即A(-2,3).
点A(-2,3)到坐标原点(0,0)的距离最大,
即(x2+y2)max=(-2)2+32=13.
故选C.
8.(2020云师大附中高三适应性月考)已知实数x,y满足约束条件x-y≥0,x+y-3≤0,y≥1,则z=2-2x+y的最大值是 ( )
A.2 B.1 C.12 D.-1
答案 C 由实数x,y满足约束条件x-y≥0,x+y-3≤0,y≥1,作出可行域,如图,
则z=2-2x+y的最大值在t=-2x+y取最大值时取得,
联立得x-y=0,y=1,解得x=1,y=1,即A(1,1).化目标函数t=-2x+y为y=2x+t,由图可知,当直线y=2x+t过点A时,直线在y轴上的截距最大,此时z取得最大值,为12,故选C.
9.(多选题)(2020四川德阳高三二诊)已知不等式组2x-y≥0,y≥12x,x+y-3≤0表示的平面区域为Ω,则 ( )
A.∀(x,y)∈Ω,x+2y>3
B.∀(x,y)∈Ω,x+2y≤5
C.∀(x,y)∈Ω,y+2x-1>3
D.∃(x,y)∈Ω,y+2x-1>5
答案 BD 不等式组2x-y≥0,y≥12x,x+y-3≤0表示的平面区域如图所示,
其中A(2,1),B(1,2),
设z1=x+2y,则y=-x2+z12,z1的几何意义为直线y=-x2+z12在y轴上的截距的2倍,
由图可得,
当直线y=-x2+z12过点B(1,2)时,直线z1=x+2y在y轴上的截距最大,为5,即x+2y≤5,
当直线y=-x2+z12过原点时,直线z1=x+2y在y轴上的截距最小,为0,即x+2y≥0,
故A错误,B正确;
设z2=y+2x-1,则z2的几何意义为点(x,y)与点(1,-2)连线的斜率,由图可得,z2最大可到无穷大,最小可到无穷小,故C错误,D正确.故选D.
10.(2020广东佛山二中高三月考)已知点(x,y)满足x-y≤3,4x-y≥6,x+2y≤6,则yx的取值范围为 .
答案 [-2,1]
解析 作出不等式组对应的平面区域如图所示,
∵yx的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率,
∴由图象知直线OA的斜率最小,直线OC的斜率最大,
由x+2y=6,4x-y=6,可得C(2,2),
此时直线OC的斜率kOC=1.
由x-y=3,4x-y=6,可得A(1,-2),
此时直线OA的斜率kOA=-2,
则yx的取值范围为[-2,1].
B组 能力拔高
11.若x,y满足x+y≥1,mx-y≤0,3x-2y+2≥0,且z=3x-y的最大值为2,则实数m的值为 ( )
A.13 B.23
C.1 D.2
答案 D 由选项得m>0,
作出不等式组x+y≥1,mx-y≤0,3x-2y+2≥0(m>0)表示的平面区域,如图中阴影部分(包括边界)所示.因为z=3x-y,所以y=3x-z,当直线y=3x-z经过点A时,直线在y轴上的截距-z最小,此时目标函数z取得最大值,为2.
由3x-2y+2=0,3x-y=2得A(2,4),代入直线mx-y=0得2m-4=0,解得m=2.
12.(2020四川成都高三第二次诊断)已知EF为圆(x-1)2+(y+1)2=1的一条直径,点M(x,y)的坐标满足不等式组x-y+1≤0,2x+y+3≥0,y≤1,则ME·MF的取值范围为 ( )
A.92,13 B.[4,13]
C.[4,12] D.72,12
答案 D 作出可行域如图中阴影部分所示,
设圆心为T(1,-1),则ME·MF=(MT+TE)·(MT+TF)=(MT+TE)·(MT-TE)
=MT2-TE2=MT2-1,
过点T作直线x-y+1=0的垂线,垂足为B,显然|TB|≤|MT|≤|TA|,
又易得A(-2,1),
所以|TA|=[1-(-2)]2+(-1-1)2=13,|TB|=|1-(-1)+1|12+(-1)2=322,
故ME·MF=MT2-1∈72,12.故选D.
13.(2020甘肃白银靖远高三第一次联考)若实数x,y满足约束条件3x-y-2≥0,x+y-2≤0,x+4y+4≥0,则z=x+2y的最大值为 .
答案 3
解析 作出可行域(如图中阴影部分),易知当直线经过点A时,z取得最大值,
联立3x-y-2=0,x+y-2=0,可求得点A(1,1),则
zmax=1+2×1=3.
C组 思维拓展
14.(2020广东实验中学高三线上考试)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|OA|=|OB|=OA·OB=2,则点集{P|OP=λOA+μOB,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是 ( )
A.22 B.23
C.42 D.43
答案 D 由|OA|=|OB|=OA·OB=2知,
cos
∴
不妨设OA=(2,0),OB=(1,3),OP=(x,y),则x=2λ+μ,y=3μ,
解得μ=y3,λ=12x-y3,
由|λ|+|μ|≤1得|3x-y|+|2y|≤23.
作出可行域,如图所示.
则所求面积S=2×12×4×3=43.
15.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和最大为 元.
答案 216000
解析 设生产产品A为x件,生产产品B为y件,利润之和为z元,则z=2100x+900y.
根据题意得
1.5x+0.5y≤150,x+0.3y≤90,5x+3y≤600,x,y∈N,即3x+y≤300,10x+3y≤900,5x+3y≤600,x,y∈N,
作出可行域,如图中阴影部分中的整点所示,
由10x+3y=900,5x+3y=600得x=60,y=100.
当直线2100x+900y-z=0过点C(60,100)时,z取得最大值,为2100×60+900×100=216000.故利润之和最大为216000元.
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江苏专用2022版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第四节不等关系与不等式练习含解析： 这是一份江苏专用2022版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第四节不等关系与不等式练习含解析，共12页。试卷主要包含了会比较两个式子的大小，下列不等式中恒成立的是 等内容，欢迎下载使用。
