湖南省衡阳市第八中学2022届高三下学期开学考试数学含答案

衡阳市八中2019级高三第六次月考试题

数    学

命题人：郭端香 审题人：刘慧英

请注意：时量120分钟    满分150分

参考答案

4.由题意可得：，，，

根据“等差比数列”的定义可知数列是首项为1，公差为2的等差数列，

则，

所以，，

所以．

7．由题意关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且到渐近线的距离为b，

∴中，，，又，所以，

∴，∴，又点在抛物线上，

∴的长度为抛物线中抛物线的焦点到抛物线的准线的距离，

∴由抛物线的定义得到：，

∴，∴，

∴.   故选：D.  

8．当时，

函数在上单调递减，在上单调递增，且

，函数关于对称，过定点

如图所示，画出函数图像：

当与相切时，设切点为

则

根据对称性考虑左边图像，根据图像验证知是方程唯一解，此时

故答案为

故选：

9．ABD

由题知，，选项A正确；

，选项B正确；

本次思想政治考试平均分估计值为，选项C错误；

可知在内的概率为0.16，从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在内的概率为，选项D正确，

故选：ABD．

10．ABD

解：函数

.所以函数的周期为，故A选项正确；

当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，故B选项正确；

当，则，由正弦函数性质可知，此时单调递减，故C选项错误；由可知，当时，取得最小值为，故D选项正确.

故选：ABD.

11．BCD

由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，

对于A中，由抛物线上的点到点的距离为，抛物线的定义，可得，

解得，所以抛物线的方程为，所以A不正确；

对于B中，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，如图所示，

则线段的中点为到准线的距离为

根据抛物线的定义，可得，所以，

所以，即圆心到准线的距离等于圆的半径，

即以AB为直径的圆与准线相切，所以B正确；

设，由抛物线的定义，可得，

当直线的斜率不存在时，可设直线的方程为，

联立方程组，解得，此时

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程组，整理得，

可得，所以，

综上可得，线段AB长度的最小值是，所以C正确；

设直线的方程为，联立方程组，整理得，

可得，

则，则

则点到的距离为，

所以，

所以，所以D正确.

故选：BCD.

12．ABD

A：由，，E为边的中点知：且，易知，，而，故面，又面，所以面面，正确；

B：若是的中点，又F为的中点，则且，而且，所以且，即为平行四边形，故，所以与的夹角为或其补角，若为中点，即，由A分析易知：，故与的夹角为，正确；

C：由上分析知：翻折过程中当面时，最大，此时，错误；

D：由B分析知：且，故F的轨迹与到的轨迹相同，由A知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点，故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，所以F的轨迹长度为，正确.

故选：ABD.

13．24     14．   15．1     16．(-∞,ln )

14.由，则.

设点,则曲线C在M处的切线的斜率为.

所以曲线C在M处的切线方程为：.

即.所以

由三点的坐标可得，点为的中点.

所以.故答案为：

15．1

由题意，黑"电子狗"爬行路线为

，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，所以黑"电子狗"爬完2008段后实质是到达点;同理，黄"电子狗"也是过6段后又回到起点.

黄“电子狗"爬完2009段后到达点;此时的距离为.

故答案为: 1.

17．【详解】（1），

，，

所以的最小正周期为.

（2）∵，

∴，

当，即，，

当，时，.

18．（1）,,,；（2）

(1)对,则,因为为等比数列,则为定值.则为定值,则数列为等差数列.

,

则,,,;

(2),

设,为数列的前项和,则有:

(*)式(**)式,得:

,.

当时,;

当时,,

即

19.（1）因为为中点，，

所以，因为平面平面，

平面平面，平面，

所以平面；

（2）在直角三角形中，，

，

，

所以四棱锥的体积为

；

（3）

如图，过点作交于点，过点作交于点，连接，

因为，平面，平面，

所以平面，

同理平面，

又因为，

所以平面平面，

因为平面，所以平面，

所以上存在点，使得平面，

，    四边形是平行四边 形，

，，又，.

20.（1）模型②拟合精度更高、更可靠，亿；

（2）投入17亿元比投入20亿元时收益小.

（1）对于模型①，

对应的，

故对应的，

故对应的相关指数，

对于模型②，同理对应的相关指数，

故模型②拟合精度更高、更可靠.

故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为.

（2）当时，

后五组的，，

由最小二乘法可得，

故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：

，

故投入17亿元比投入20亿元时收益小.

21. （I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），

即有b=，a2﹣c2=，解得a=1，c=，

可得椭圆的方程为x2+4y2=1；

（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，

由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，

则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，

可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，

△=64x02y02﹣4（1+4x02）（4y02﹣1）＞0，可得1+4x02＞4y02．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），

直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．

即有点M在定直线y=﹣上；

（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），

则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；

S2=|PM|•|x0﹣|=（y0+）•=x0•，

则=，

令1+2x02=t（t≥1），则==

==2+﹣=﹣（﹣）2+，

则当t=2，即x0=时，取得最大值，

此时点P的坐标为（，）．

22.（I）

<0，在内单调递减.

由=0，有.

此时，当时，<0，单调递减；

当时，>0，单调递增.

（II）令=，=.

则=.

而当时，>0，

所以在区间内单调递增.

又由=0，有>0，

从而当时，>0.

当，时，=.

故当>在区间内恒成立时，必有.

当时，>1.

由（I）有,从而，

所以此时>在区间内不恒成立.

当时，令，

当时，，

因此，在区间单调递增.

又因为，所以当时， ，即 恒成立.

综上，