冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步测试题

这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步测试题，共41页。试卷主要包含了二次函数y＝ax2﹣4ax＋c等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数重点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知二次函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，则下列命题中正确的是（ ）
A．若a＝1，函数图象经过点(－1，1) B．若a＝－2，函数图象与x轴交于两点
C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方 D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小
2、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3、对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+4x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜3＜x2，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣6 B．c＜﹣18 C．c＜﹣8 D．c＜﹣11
4、二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．，， B．，， C．，， D．，，
5、如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（ ）

A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
6、如图，若二次函敞的图象过点，且与x轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
7、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　）

A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0
C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0
8、二次函数y＝ax2﹣4ax＋c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
9、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
10、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图像经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、二次函数 y  2x21 的图象开口方向______．（填“向上”或“向下”）
2、如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点M是上一动点，取的中点为N，连接，则的最小值是________．（提示：两点间距离公式 ）

3、某商品进价为26元，当每件售价为50元时，每天能售出40件，经市场调查发现每件售价每降低1元，则每天可多售出2件，当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低______元．
4、抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线______．
5、如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA的坡度为1：2（即），洞口A离点P的水平距离PC为12米，则小明这一杆球移动到洞口A正上方时离洞口A的距离AE为______米．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4mx+m（m≠0）与y交于点P，将抛物线y＝x2﹣4mx+m（m≠0）上点P及点P左边的部分图象沿y轴平移，使点P平移后的对应点Q落在(0，﹣m)处，将平移后的图象与原图象剩余部分合称为图象G
(1)当m＝1时，
①求图象G与x轴正半轴的交点坐标；
②图象G对应的函数值y随x增大而减小时x的取值范围为 ；
(2)当图象G的最低点到x轴的距离为时，求m的值．
(3)当过点Q且与y轴垂直的直线与图象G有三个交点时，设另外两个交点为A、B．当Q、A、B三点中，有一点到另外两点的距离之比是1：1时，直接写出线段AB的长度．
2、已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A（－1，0）和点B（5，0），交y轴于点C．
(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；
(3)点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时，求点Q的坐标．
3、已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．

(1)当为直角三角形时，求的面积
(2)如图，当时，过点P作轴于点Q，求BQ的长．
(3)当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时（不包括两个三角形全等），求m的值．
4、如图，Rt中，．点P从点A出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A重合时，将线段绕点P旋转使（点在点P右侧），过点作交射线于点M，设点P运动的时间为t（秒）．

(1)的长为___________（用含t的代数式表示）
(2)当落在的角平分线上时，求此时t的值．
(3)设与重叠部分图形的面积为S（平方单位），求S关于t的函数关系式．并求当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？
5、一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．

(1)求抛物线的表达式；
(2)一辆货车高4m，宽2.4m，能否从该隧道内通过，为什么？

-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质逐项分析即可．
【详解】
A、当a=1，x=-1时，，故函数图象经过点(－1，2)，不经过点(－1，1)，故命题错误；
B、a＝－2时，函数为，令y=0，即，由于，所以方程有两个不相等的实数根，从而函数图象与x轴有两个不同的交点，故命题正确；
C、当a0，
∴二次函数y=2x2+1图象的开口方向是向上，
故答案为：向上．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，由a的符号确定抛物线的开口方向是解题的关键．
2、
【解析】
【分析】
分别求出点A，C，E的坐标，求出直线BE的解析式，设点的坐标为，由中点坐标公式得，由两点之间的距离公式得：，进一步可得出AN的最小值．
【详解】
解：在矩形中，，点是的中点，
，
∴，
设直线BE的解析式为y=kx，
把E（3，3）代入y=kx，得，k=1
直线的函数解析式为，
设点的坐标为，
点是上一动点，
，
点是的中点，
，
由两点之间的距离公式得：，
由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为36，
因此，的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题这一切考查了坐标与图形以及二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
3、2
【解析】
【分析】
设每件商品售价降低元，则每天的利润为：，然后求解计算最大值即可．
【详解】
解：设每件商品售价降低元
则每天的利润为：，



∵
∴当时，最大为968元
故答案为2．
【点睛】
本题考查了一元二次函数的应用．解题的关键在于确定函数解析式．
4、x＝﹣1
【解析】
【分析】
抛物线的对称轴方程为： 利用公式直接计算即可.
【详解】
解：抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线：

故答案为：
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称轴方程，掌握“抛物线的对称轴方程的公式”是解本题的关键.
5、##
【解析】
【分析】
分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式，在Rt△PAC中，利用PA的坡度为1：2求出AC的长度，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，求出CE，最后利用AE=CE-AC得出结果．
【详解】
解：以P为原点，PC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

可知：顶点B（9，12），抛物线经过原点，
设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12，
将点P（0，0）的坐标代入可得：0=a（0-9）2+12，求得a＝−，
故抛物线的解析式为：y=-(x−9)²+12，
∵PC=12，=1：2，
∴点C的坐标为（12，0），AC＝6，
即可得点A的坐标为(12，6)，
当x=12时，y＝−(12−9)²+12＝=CE，
∵E在A的正上方，
∴AE=CE-AC=-6=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．
三、解答题
1、 (1)①（，0），（，0）；②或
(2)或
(3)或
【解析】
【分析】
（1）①令y=0，得一元二次方程，求出方程的解即可解决问题；②将抛物线解析式配方找出对称轴，结合函数图象解答问题即可；
（2）分两种情况结合图象G的最低点到x轴的距离为列出方程求解即可；
（3）分两种情况求出点A，B的坐标，根据Q、A、B三点中，有一点到另外两点的距离之比是1：1列方程求出mr wfhg,gmf fiy AB的长即可
(1)
①当m=1时，y＝x2﹣4mx+m=x2﹣4x+1
令y=0，则x2﹣4x+1=0
解得，，
∴图象G与x轴正半轴的交点坐标（，0），（，0）
②y=x2﹣4x+1=
∴函数y=x2﹣4x+1对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-3），且开口向上
如图，

∴图象G对应的函数值y随x增大而减小时x的取值范围为或
故答案为：或
(2)
当时，
∵y＝x2﹣4mx+m
又∵
∴①当0＜m＜时，＞0，即点Q是图象G的最低点，
∴，不符合题意舍去，
②当m≥时，≤0，即抛物线的顶点是图象G的最低点，
∴-(-4m2+m)=12
解得，，（舍去）
当时，同理可得，
综上，m的值为或
(3)
当时，如图所示，

当时，则有
配方得，
解得，
∴
∴
∵
∴
∴
整理得，
解得，
经检验，是原方程的根，
但m≠0
∴
∴AB=24×81256-2×916=2×8164-7264=34；
当时，如图，

当时，则有
配方得，
解得，
∴
平移后的图象解析式为
当时，则有
解得，x1=4m,x2=0
∴
∴
∵，即
∴
解得，
经检验是原方程的根，
但m≠0
∴
∴


综上所述，AB的长为：或
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程确定交点坐标．
2、 (1)，
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）对于，当时，，求得，解方程组即可得到结论；
（2）根据，，得到，连接，设的中点为，求得，，得到直线的解析式为，设，解方程即可得到结论；
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，根据轴对称的性质得到，，当，，三点共线时，最小，即最小，求得直线的解析式为，把代入即可得到结论．
(1)
解：对于，当时，，
，
抛物线为常数，交轴于点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
(2)
解：，，
，
连接，设的中点为，

，，
直线的解析式为，
，
点在直线上，
设，
点是抛物线上一点，
，
解得，
点的坐标为，或，；
(3)
解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，
点与点关于对称，点在直线上，
，，
当，，三点共线时，最小，即最小，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
把代入得，，
，
当最小时，求点的坐标．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称最短路线问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式．
3、 (1)4
(2)2
(3)或m=
【解析】
【分析】
（1）先求出A、B、C三点的坐标，进而表示出AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理求得m，确定C的坐标，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（2）先用待定系数法求得BC所在直线直线的解析式，进而求得直线AP的解析式，然后与抛物线的解析式联立即可解答；
（3）先说明∠ABC=45°，然后分三种情况解答即可．
(1)
解：由抛物线开口向上，则m＞0
令x=0，则y=-2，即C点坐标为（0，-2），OC=2
令y=0，则，解得x=-2或x=m，即点A（-2，0），点B（m，0）
∴OA=2,OB=m
∴AB=m+2
由勾股定理可得AC2=(-2-0)2+[0-（-2）]2=8, BC2=(m-0)2+[0-（-2）]2=m2+4
∵当为直角三角形时，仅有∠ACB=90°
∴AB2= AC2+BC2,即(m+2)2=8+m2+4,解得m=2
∴AB=m+2=4
∴的面积为：·AB·OC=×4×2=4．
(2)
解：设BC所在直线的解析式为：y=kx+b
则 ，解得
∴BC所在直线的解析式为y=x-2
设直线AP的解析式为y=x+c
则有：0=×（-2）+c，即c=
∴线AP的解析式为y=x+
联立 解得x=-2（A点横坐标）,x=m+2（P点横坐标）
∴点P的纵坐标为：
∴点P的坐标为（m+2，）
∴OQ=m+2
∴BQ=OQ-OB= m+2-m=2．
(3)
解：∵点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．
∴设P（x，）
∵在△ABC中，∠BAC=45°
∴当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时，有三种情况：
①a.若△ABC∽△BAP
∴
又∵BP=AC
∴△ABC∽△BAP不符合题意；

b. 若△ABP∽△BAC
∴
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQB=90°
∴∠BPQ=90°-∠PBQ=45°
∴PQ=BQ=m-x
由于PQ=
∴
∴
∴x-m=0或
∴x=m（舍去），x=-m-2
∴BQ=m-（-m-2）=2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=或m=（舍去）
∴m=；

②当∠PAB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
a. 若△ABP∽△ABC,则 ,点C与点P重合，不合题意；
b. 若△ABP∽△BAC,则 ,
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQA=90°
∴∠APQ=90°-∠PAB=45°
∴PQ=AQ=x+2
由于PQ=
∴
∴
∴x+2=0或
∴x=-2（舍去），x=2m
∴AQ= =2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=（舍去）或m=
∴m=；

③当∠APB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
a.过点A作PM//BC交抛物线于点M，则∠MAB=∠ABC，
∵∠MAB≠∠PAB，
∴∠PAB≠∠ABC，
∴△PAB与△BAC不相似；

b. 取点C关于x轴的对称点，连接并延长 交抛物线于点N，则∠NBA=∠CBA，
∵∠PBA≠∠NBA，
∴∠PBA≠∠CBA，
∴△PAB与△BAC不相似；

综上，m的值为m=或m=．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，涉及抛物线与坐标轴的交点、勾股定理、三角形面积公式、运用待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
4、 (1)
(2)
(3)，当时，S有最大值
【解析】
【分析】
（1）先利用勾股定理求出，然后证明，得到，即，则，，即可得到；
（2）延长交BC于D，由，得到，，则
再由在∠ABC的角平分线上，，，得到，则，由此求解即可；
（3）先求出当点正好落在BC上时，，然后讨论当△ABC与重叠部分即为，然后求出当点M恰好与B重合时，，讨论当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，由此求解即可．
(1)
解：由旋转的性质可得，
∵在Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴；
(2)
解：如图所示，延长交BC于D，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵，
∴，，
∴
∵在∠ABC的角平分线上，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得；

(3)
解：如图2所示，当点正好落在BC上时，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
解得，
当，如图1所示，△ABC与重叠部分即为，
∴此时；

当点M恰好与B重合时，此时，
∴，
解得，
当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，
∴，
同理可证，
∴，即，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴；

当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，
同理可证，
∴，即，
∴，，
∴，
∴综上所述，
∴，
∴由二次函数的性质可知，
∴当时，S有最大值．

【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
5、 (1)
(2)货车可以通过，说明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6），设抛物线的解析式为，将A点坐标代入求解a的值，进而得到抛物线的表达式；
（2）令y=4，代入解析式，得到方程的两根，比较与2.4的大小即可判断货车是否可以通过．
(1)
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6）
设抛物线的解析式为
又∵点A（0，2）在抛物线上
∴
解得
∴抛物线的表达式为：．
(2)
解：令y=4，则有
解得，
∵
∴货车可以通过．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式与应用．解题的关键在于适当的设二次函数解析式的形式．