32.数列（证明不等式问题） 2022届高三数学一轮复习大题练

这是一份32.数列（证明不等式问题） 2022届高三数学一轮复习大题练，共6页。试卷主要包含了已知数列满足，，已知数列的前项和为，若，已知数列的前项之积为，即，且，，已知数列中，，，已知正项数列的前项和为，且等内容，欢迎下载使用。
（1）证明数列为等差数列；
（2）设，证明：．
证明：（1）根据题意，，，
在等式左右两边同时除以得，，
由此可得，数列是首项为，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得，．
，
．
从而得证．
2．已知数列的前项和为，若．
（1）求通项公式；
（2）若，为数列的前项和，求证：．
解：（1）由，得，则，
，两式作差可得：，
即，则，
数列是首项为，公比为的等比数列，
则；
证明：（2）
，
，
，
又，
，
则
，
则．
3．已知数列前项和为，，，数列是等差数列，，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式：
（Ⅱ）设求证：．
解：（1），，
当时，，，得，，，
所以是以3为首项、3为公比的等比数列，；
在等差数列中，，，所以，
（2）证明：
当时，由得，，
所以，
当时，，
当时，，
当时，，
所以对于任意的，．
4．已知数列的前项之积为，即，且，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，，求证：对一切，均有．
解：（Ⅰ），
时，，
又时，，符合上式，
，
；
（Ⅱ）证明：，，
，
，
得证．
5．已知数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令的前项和为，求证：．
解：（1）由，，
可得，解得，
又对两边取倒数，可得，
则是首项为1，公差为2的等差数列，
可得，
所以；
（2）证明：由（1）可得，
所以，
因为，所以，
则．
6．已知正项数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，证明：当时，．
（Ⅰ）解：由得，则，
化简得，
又，故．
当时，解得，因此数列的通项公式为．
（Ⅱ）证明：由题意，．
由于，
且，
所以，
化简得．
7．在等比数列中，为其前项和，，数列是等差数列．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，证明：．
（Ⅰ）解：设公比为，数列是等差数列，，
，，
解得或，或．
（Ⅱ）证明：，，，
．
又，
．
当时，
．
8．已知数列的前项和为，且，，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
解：（1）由，，可得，解得，
时，，又，两式相减可得，
即为，即，
可得；
数列满足；
（2）证明：，
所以
．