专题06 动点引起的等腰三角形（菱形）存在性问题（解析版）

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专题06 动点引起的等腰三角形（菱形）存在性问题 图1单动点：如图1，A、B为顶点，P为动点，△ABP为等腰三角形，P点轨迹为两圆一线. 双动点：坐标平面内以定点A、定点B、动点P（若在x轴上运动）、动点Q（坐标平面内任一点）为顶点的四边形是菱形的问题：转化为单动点问题，第一步先隐去一个动点，通常隐去无运动轨迹的点（点Q）；第二步，按单动点问题求解△PAB为等腰三角形的情形；第三步，找到Q点位置，利用坐标平面内平行四边形规律求得Q坐标（对角线上两组顶点的横坐标、纵坐标的和相等）. 【一题多解 · 典例剖析】例题1．（2021·山西省中考）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．（1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点．试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）A（-6,0），B（2,0），C（0，-6），直线AC的函数表达式为：y=-x-6；直线BC的函数表达式为：y=3x-6；（2）存在，点E的坐标为（-6，-8）或（2-2，2）．【解析】解：（1）当y=0时，即x2+2x-6=0，解得：x=2或x=-6，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为（-6,0），点B的坐标为（2,0），当x=0时，y=-6，∴点C的坐标为（0，-6）∴可得直线AC的函数表达式为：y=-x-6．直线BC的函数表达式为：y=3x-6.（2）存在．设点D的坐标为（m，-m-6），其中-6<m<0，当△BCD为等腰三角形时，存在点E使B、C、D、E为顶点的四边形为菱形又BC∥DE，分两种情况讨论①当BC=CD时，方法一、勾股定理可知，BD2=（m-2）2+（-m-6）2=2m2+8m+40，BC2=40CD2=2m2∴2m2=40解得：m=2（舍）或m=-2即D（-2，2-6），得E（2-2，2）方法二、解析式法由图知CD∥BE，过E作EF⊥x轴于F∴直线BE的解析式为y=x+2，∠EBF=45°又BE=BC=2，∴EF=BF=2，即E（2-2，2）.②当BC=BD时方法一、勾股定理同理，得：2m2+8m+40=40解得：m=0（舍）或m=-4即D（-4，-2）故E（-6，-8）方法二、设D（m，-m-6），则E（m-2，-m-12），则CE=BC=2∴（m-2）2+（-m-6）2=40解得：m=0（舍）或m=-4∴E（-6，-8）综上所述，存在点E，使得以D，B，C，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（-6，-8）或（2-2，2）.【一题多解 · 对标练习】练习1．（2021·黑龙江绥化中考）如图，已知抛物线与轴交于点，点，（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接．直线经过点，且与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上的一点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标.【答案】（1）y=-x2-4x+5；（2）（-5,0）或（，）或（，）.【解析】解：（1）将（-5.0）、（1,0）代入y=ax2+bx+5得：解得：∴抛物线的解析式y=-x2-4x+5.（2）由（1）知抛物线顶点坐标为D（-2,9）①当BD=DN时，由对称性知，N点与A重合，即N（-5,0）②当DN=BD时，此时，N在BD的垂直平分线上，方法一：解析式法由B（1,0），D（-2,9）知直线BD的解析式为：y=-3x+3线段BD的中点坐标为： ，∴BD的垂直平分线的解析式为：直线y=x+联立，y=x+，y=-x2-4x+5解得：x= ，y= 或x=，y=综上所述，N点坐标为（-5,0）或（，）或（，）.方法二：勾股定理设N（x，-x2-4x+5），由B（1,0），D（-2,9）得：BN2=（x-1）2+（-x2-4x+5）2，DN2=（x+2）2+（-x2-4x+5-9）2解得：x=或即N（，）或（，）.【多题一解 · 典例剖析】例题2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(5，0)，点M的坐标为(0，4)，过点M作MNx轴，点P在射线MN上，若MAP为等腰三角形，则点P的坐标为___________．【答案】(，4)或(，4)或(10，4).【解析】解：设点P的坐标为（x，4），分三种情况：①PM＝PA，∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），∴PM＝x，PA＝ ，∵PM＝PA，∴x＝，解得：x＝，∴点P的坐标为（，4）；②MP＝MA，∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），∴MP＝x，MA＝＝，∵MP＝MA，∴x＝，∴点P的坐标为（，4）；③AM＝AP，∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），∴AP＝，MA＝＝，∵AM＝AP，∴＝，解得：x1＝10，x2＝0（舍去），∴点P的坐标为（10，4）；综上，点P的坐标为（，4）或（，4）或（10，4）．故答案为：(，4)或(，4)或(10，4)．例题3.（2021·湖南湘潭中考）如图，一次函数图象与坐标轴交于点A、B，二次函数图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）．【解析】解：（1）在中，当x=0时，y=；当y=0时，，得：x=3∴A（3，0），B（0，）把A（3，0），B（0，）代入抛物线解析式得： 解得： ∴抛物线的解析式为：；（2）抛物线的对称轴为直线x=1 设P（1，x），Q（m，n）①当BC为菱形对角线时，如图，由对称性知，Q为抛物线顶点，Q（1，）②当BC为菱形一边时，若点Q在点P右侧时，如图，∴BC//PQ，且BC=PQ∵BC//x轴，∴C点纵坐标为，C（2，） ∴PQ=BC=2，PB=BC=2∴点P在x轴上，∴P(1,0)，Q(3，0)；若点Q在点P的左侧，如图， 同理可得，Q（-1，0）综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）.【多题一解 · 对标练习】练习2.（2021·内蒙古鄂尔多斯中考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（-4,0），B（2,0），C（0，-8）；（2）存在，M（0，-8+）、（0，-8-）、（0，-12）、（0，-）.【解析】解：（1）令x=0得y=-8，令y=0，x2+2x-8=0，得x=2或x=-4∴A（-4,0），B（2,0），C（0，-8）（2）存在，由y=x2+2x-8知抛物线对称轴为x=-1，分三种情况：①当PC为对角线时，CM∥PN，CM=PN=CN故N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N（-1，-6），CN=，CM=PN=∴M（0，-8+）或（0，-8-）②当CN为对角线时，CM∥PN，CM=PN=CP，设CM=x，则M（0,-8+x），P（-1，-6-x），则12+（-6-x+8）2=x2，解得：x=即M（0，）③当CM对角线时，设P（-1，x），则N（1，x），M（0，2x+8），∵P在直线y=-x-8上∴-2×1-8=x，即x=-10，∴M（0，-12）综上所述，点M的坐标为：（0，-8+）或（0，-8-）或（0，）或（0，-12）．练习3．（2021·湖北恩施中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线CD交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）或或或．【解析】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，D(-4,5)，∴AD=AB=5，A（-4,0），∴OA=4，∴OB=1，∴B（1,0），把点B、D坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3； （2）由（1）可得B（1,0），抛物线的对称轴为直线x=-1，∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称，∴E（2,5），∴BE2=26，设点F（-1，m），①当BF=BE时，∴，解得：a=±，∴点F的坐标为或；②当EF=BE时， ∴，解得：a=5±，∴点F的坐标为或；综上所述：当以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，点F的坐标为或或或.