初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十三章 相交线 平行线综合与测试同步练习题

这是一份初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十三章 相交线 平行线综合与测试同步练习题，共33页。试卷主要包含了直线m外一点P它到直线的上点A等内容，欢迎下载使用。
七年级数学第二学期第十三章相交线 平行线达标测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，下列给定的条件中，不能判定的是（　　）

A． B． C． D．
2、如图，直线被所截，下列说法，正确的有（ ）

①与是同旁内角；
②与是内错角；
③与是同位角；
④与是内错角．
A．①③④ B．③④ C．①②④ D．①②③④
3、一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．
B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．
D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．
4、如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于（　　）

A．60° B．90° C．120° D．150°
5、直线m外一点P它到直线的上点A、B、C的距离分别是6cm、5cm、3cm，则点P到直线m的距离为（ ）
A．3cm B．5cm C．6cm D．不大于3cm
6、如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，且∠BOE＝140°，则∠BOC为（　　）

A．140° B．100° C．80° D．40°
7、如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝52°，则∠2的度数是（　　）

A．38° B．42° C．48° D．52°
8、如图，点D是AB上的一点，点E是AC边上的一点，且∠B＝70°，∠ADE＝70°，∠DEC＝100°，则∠C是( )

A．70° B．80° C．100° D．110°
9、如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③若时，；④．其中正确的结论有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10、如图，已知直线AD∥BC，BE平分∠ABC交直线DA于点E，若∠DAB＝54°，则∠E等于（ ）

A．25° B．27° C．29° D．45°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，直线AB和CD交于O点，OD平分∠BOF，OE ⊥CD于点O，∠AOC=40°，则∠EOF=_______．

2、在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________．
3、如图，将一副三角板按如图所示的方式摆放，AC∥DF，BC与EF相交于点G，则∠CGF度数为 _____度．

4、如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥EF，且∠GOB＝20°，∠AOC＝40°，则∠COE＝_____°．

5、将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝65°，那么∠2等于_____．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、已知：如图，BC，AF是直线，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠求证：AB∥CD．

证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠3＝　 　（ 　 　）．
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠4＝　 　（ 　 　）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（ 　 　）．
即∠BAF＝　 　．
∴∠4＝∠BAF．（ 　 　）．
∴AB∥CD（ 　 　）．
4．如图，点O是直线AB上的一点，∠BOC：∠AOC＝1：2，OD平分∠BOC，OE⊥OD于点O．

（1）求∠BOC的度数；
（2）试说明OE平分∠AOC．
2、如图，OB⊥OD，OC平分∠AOD，∠BOC＝35°，求∠AOD和∠AOB的大小．

3、（感知）已知：如图①，点E在AB上，且CE平分，．求证：．
将下列证明过程补充完整：

证明：∵CE平分（已知），
∴__________（角平分线的定义），
∵（已知），
∴___________（等量代换），
∴（______________）．
（探究）已知：如图②，点E在AB上，且CE平分，．求证：．

（应用）如图③，BE平分，点A是BD上一点，过点A作交BE于点E，，直接写出的度数．

4、小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB
则有∠BEF＝∠B
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠FED＝∠D
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
（1）直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
（2）拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．

5、下列语句中，有一个是错误的，其余三个都是正确的：
①直线EF经过点C； ②点A在直线l外；
③直线AB的长为5 cm； ④两条线段m和n相交于点P．
（1）错误的语句为________（填序号）．
（2）按其余三个正确的语句，画出图形．
6、如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么
（1）∠1与∠2是一对什么角？
（2）∠3与∠4呢？∠2与∠4呢？

7、请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）：
8、已知：如图①，AB∥CD，点F在直线AB、CD之间，点E在直线AB上，点G在直线CD上，∠EFG＝90°．
（1）如图①，若∠BEF＝130°，则∠FGC＝　 　度；
（2）小明同学发现：如图②，无论∠BEF度数如何变化，∠FEB﹣∠FGC的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：过点E作EM∥FG，交CD于点M．请你根据小明同学提供的辅助线方法，补全下面的证明过程；
（3）拓展应用：如图③，如果把题干中的“∠EFG＝90°”条件改为“∠EFG＝110°”，其它条件不变，则∠FEB﹣∠FGC＝　 　度．

解：如图②，过点E作EM∥FG，交CD于点M．
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEM＝∠EMC（ 　 　）
又∵EM∥FG
∴∠FGC＝∠EMC（ 　 　）
∠EFG+∠FEM＝180°（ 　 　）
即∠FGC＝（ 　 　）（等量代换）
∴∠FEB﹣∠FGC＝∠FEB﹣∠BEM＝（ 　 　）
又∵∠EFG＝90°
∴∠FEM＝90°
∴∠FEB﹣∠FGC＝　 　
即：无论∠BEF度数如何变化，∠FEB﹣∠FGC的值始终为定值．
9、已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．

（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．
10、如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．

（1）试说明：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．

-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
根据平行线的判定条件：同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等，两直线平行，进行逐一判断即可．
【详解】
解：A选项：当∠1=∠A时，可知是DE和AC被AB所截得到的同位角，可得到DE∥AC，而不是AB∥DF，故符合题意；
B选项：当∠A=∠3时，可知是AB、DF被AC所截得到的同位角，可得AB∥DF，故不符合题意；
C选项：当∠1=∠4时，可知是AB、DF被DE所截得到的内错角，可得AB∥DF，故不符合题意；
D选项：当∠2+∠A=180°时，是一对同旁内角，可得AB∥DF；故不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．
2、D
【分析】
根据同位角、内错角、同旁内角的定义可直接得到答案．
【详解】
解：①与是同旁内角，说法正确；
②与是内错角，说法正确；
③与是同位角，说法正确；
④与是内错角，说法正确，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F” 形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
3、B
【分析】
画出图形，根据平行线的判定分别判断即可得出．
【详解】
A.如图，由内错角相等可知，第二次拐弯后与原来平行，但方向相反，故不符合题意；

B.如图，由同位角相等可知，第二次拐弯后与原来平行，且方向相同，故符合题意；

C.如图，由内错角不相等可知，第二次拐弯后与原来不平行，故不符合题意；

D.如图，由同位角不相等可知，第二次拐弯后与原来不平行，故不符合题意．

故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，正确画出图形，熟记判定定理是解题的关键．
4、C
【分析】
先由AB∥CD，得到∠1=∠CEF，根据∠2+∠CEF=180°，得到∠2+∠1＝180°，再由∠2＝2∠1，则3∠1=180°，由此求解即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠CEF，
又∵∠2+∠CEF=180°，
∴∠2+∠1＝180°，
∵∠2＝2∠1，
∴3∠1=180°，
∴∠1=60°，
∴∠2＝120°，
故选C．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，领补角互补，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
5、D
【分析】
根据垂线段的性质“直线外和直线上所有点的连线中，垂线段最短”作答．
【详解】
解：垂线段最短，
点到直线的距离，
故选：D．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离的定义和垂线段的性质，解题的关键是掌握垂线段最短．
6、B
【分析】
根据平角的意义求出∠AOE，再根据角平分线的定义得出∠AOE=∠COE，由角的和差关系可得答案．
【详解】
解：∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣140°＝40°，
又∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE＝40°，
∴∠BOC＝∠BOE﹣∠COE
＝140°﹣40°
＝100°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，邻补角，掌握角平分线、邻补角的意义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键．
7、A
【分析】
利用直角三角形的性质先求出∠B，再利用平行线的性质求出∠2．
【详解】
解：∵AB⊥AC，∠1＝52°，
∴∠B＝90°﹣∠1
＝90°﹣52°
＝38°
∵a∥b，
∴∠2＝∠B＝38°．
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线的性质、两直线平行同位角相等，直角三角形两个锐角互余等知识，在基础考点，掌握相关知识是解题关键．
8、B
【分析】
先证明DEBC，根据平行线的性质求解．
【详解】
解：因为∠B＝∠ADE＝70°
所以DEBC，
所以∠DEC+∠C＝180°，所以∠C＝80°.
故选：B．
【点睛】
此题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟知同位角相等，两直线平行．
9、B
【分析】
由邻补角，角平分线的定义，余角的性质进行依次判断即可．
【详解】
解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，
∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，
∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，
∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，
∴当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；
故①正确；
∵OB平分∠DOG，
∴∠BOD=∠BOG，
∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，
故④正确；
∵，
∴∠BOD=180°-150°=30°，
∴
故③正确；
若为的平分线，则∠DOE=∠DOG，
∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，
∴∠EOF=30°，而无法确定，
∴无法说明②的正确性；
故选：B．
【点睛】
本题考查了邻补角，角平分线的定义，余角的性质，数形结合是解决本题的关键．
10、B
【分析】
根据两直线平行，内错角相等可求∠ABC=54°，再根据角平分线的性质可求∠EBC=27°，再根据两直线平行，内错角相等可求∠E．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠ABC=∠DAB=54°，∠EBC=∠E，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABC=27°，
∴∠E=27°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线，关键是求出∠EBC=27°．
二、填空题
1、130°
【分析】
根据对顶角性质可得∠BOD=∠AOC=40°．根据OD平分∠BOF，可得∠DOF=∠BOD=40°，根据OE⊥CD，得出∠EOD=90°，利用两角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°即可．
【详解】
解：∵AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=40°．
∵OD平分∠BOF，
∴∠DOF=∠BOD=40°，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°．
故答案为130°．
【点睛】
本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．
2、0或1或2或3个
【分析】
分类讨论画出图形，①当三条直线平行时，没有交点；②三条直线交于一点时，有一个交点；③两条平行线与一条直线相交时，有两个交点；④三条直线两两相交时有三个交点吗，即可得出答案．
【详解】
解：如图，

由图可知：同一平面内的三条直线，其交点个数为：0个；1个；2个；3个．
故答案是：0个或1个或2个或3个
【点睛】
本题主要考查了相交线和平行线．正确画出图形，即可得到正确结果．
3、30
【分析】
先证明再证明再利用平行线的性质与对顶角的性质可得答案.
【详解】
解：如图，记交于点
由题意得：







故答案为：
【点睛】
本题考查的是平行线的判定与性质，掌握“两直线平行，同位角相等与同旁内角互补，两直线平行”是解本题的关键.
4、30°
【分析】
先根据对顶角得到∠BOD=40°，再根据垂直的定义得到∠EOG=∠FOG=90°，求出∠DOF，最后根据对顶角求出∠COE．
【详解】
解：∵∠AOC=40°，
∴∠BOD=40°，
∵OG⊥EF，
∴∠EOG=∠FOG=90°，
∵∠GOB=20°，
∴∠BOF=70°，
∴∠COE=∠DOF=70°-40°=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，对顶角的性质；弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
5、50°
【分析】
根据平行线的性质计算即可；
【详解】
解：如图所示，由折叠可得，∠3＝∠1＝65°，
∴∠CEG＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝180°﹣∠CEG＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50°．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质应用，准确计算是解题的关键．
三、解答题
1、
（1）∠BOC＝60°
（2）见解析
【分析】
（1）根据∠AOB是平角，∠BOC：∠AOC＝1：2即可求解；
（2）由角平分线的定义和相加等于90°的两个角互余、等角的余角相等来分析即可．
【详解】
（1）∵∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝180°，
又∠BOC：∠AOC＝1：2，
∴∠AOC＝2∠BOC，
∴∠BOC+2∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝60°；
（2）∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠DOC，
∵∠DOC+∠COE＝90°，∠AOB是平角，
∴∠AOE+∠BOD＝90°，
∴∠AOE＝∠COE
即OE平分∠AOC．
【点睛】
本题考查了角的计算和角平分线的定义，垂直的定义，正确理解角平分线的定义，余角的性质以及平角的定义是解题的关键．
2、∠AOD=110°，∠AOB=20°
【分析】
根据OB⊥OD，先可求出∠COD，再根据角平分线的性质求出∠AOD，利用角度的关系即可求出∠AOB．
【详解】
解：∵OB⊥OD
∴∠BOD=90°
∵∠BOC＝35°，
∴∠COD=90°-∠BOC＝55°
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠COD=110°
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=110°-90°=20°．
【点睛】
此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知角平分线的性质、垂直的定义．
3、【感知】ECD；ECD；内错角相等，两直线平行；【探究】见解析；【应用】40°
【分析】
感知：读懂每一步证明过程及证明的依据，即可完成解答；
探究：利用角平分线的性质得∠2=∠DCE，由平行线性质可得∠DCE=∠1，等量代换即可解决；
应用：利用角平分线的性质得∠ABE=∠CBE，由平行线性质可得∠CBE=∠E，等量代换得∠E=∠ABE，由即可求得∠ABC的度数，从而可求得∠E的度数．
【详解】
感知
∵CE平分（已知），
∴ECD（角平分线的定义），
∵（已知），
∴ECD（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：ECD；ECD；内错角相等，两直线平行
探究
∵CE平分，
∴，
∵，
∴，
∵.
应用
∵BE平分∠DBC，
∴，
∵AE∥BC，
∴∠CBE=∠E，∠BAE+∠ABC=180゜，
∴∠E=∠ABE，
∵，
∴∠ABC=80゜
∴
∴
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质与判定是关键．
4、（1）55°；（2）当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD；
【分析】
（1）过点P作PG∥l1，可得∠APG=∠PAC=15°，由l1∥l2，可得PG∥l2，则∠BPG=∠PBD=40°，即可得到∠APB=∠APG+∠BPG=55°；
（2）分当P在线段CD上时；当P在DC延长线上时；当P在CD延长线上时，三种情况讨论求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，过点P作PG∥l1，
∴∠APG=∠PAC=15°，
∵l1∥l2，
∴PG∥l2，
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠APG+∠BPG=55°；

（2）由（1）可得当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；
如图1所示，当P在DC延长线上时，过点P作PG∥l1，
∴∠APG=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PG∥l2，
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠BPG-∠APG=∠PBD-∠PAC；

如图2所示，当P在CD延长线上时，过点P作PG∥l1，
∴∠APG=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PG∥l2，
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠APG-∠BPG=∠PAC-∠PBD；
∴综上所述，当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
5、（1）③；（2）见解析
【分析】
（1）点与直线的位置关系，直线的定义，两条直线的位置关系，逐项判断即可求解；
（2）根据点与直线的位置关系，两条直线的位置关系，画出图形，即可求解．
【详解】
解：（1）①直线EF经过点C，故本说法正确；
②点A在直线l外，故本说法正确；
③因为直线向两端无限延伸，所以长度无法测量，故本说法错误；
④两条线段m和n相交于点P，故本说法正确；
所以错误的语句为③；
（2）图形如图所示：

【点睛】
本题主要考查了点与直线的位置关系，直线的定义，两条直线的位置关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
6、（1）∠1与∠2是一对同位角；（2）∠3与∠4是一对内错角，∠2与∠4是一对同旁内角
【分析】
同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截直线之间的两角，叫做同旁内角；由以上概念进行判断即可．
【详解】
解：直线AB，EF被直线CD所截，
（1）∠1与∠2是一对同位角；
（2）∠3与∠4是一对内错角，∠2与∠4是一对同旁内角．
【点睛】
本题考查同位角、内错角以及同旁内角的识别，掌握这几种角的基本定义是解题关键．
7、∠CAD；两直线平行，内错角相等；∠CAD；等量代换；等式的性质；∠CAD；等量代换；同位角相等，两直线平行
【分析】
根据AD∥BC，可得∠3＝∠CAD，从而得到∠4＝∠CAD，再由∠1＝∠2，可得∠BAF＝∠CAD．从而得到∠4＝∠BAF．即可求证．
【详解】
证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠3＝∠CAD（两直线平行，内错角相等）．
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠4＝∠CAD（等量代换）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质）．
即∠BAF＝∠CAD．
∴∠4＝∠BAF．（等量代换）．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．
8、（1）40°；（2）见解析；（3）70°
【分析】
（1）过点F作FN∥AB，由∠FEB＝150°，可计算出∠EFN的度数，由∠EFG＝90°，可计算出∠NFG的度数，由平行线的性质即可得出答案；
（2）根据题目补充理由和相关结论即可；
（3）类似（2）中的方法求解即可．
【详解】
解：（1）过点F作FN∥AB，
∵FN∥AB，∠FEB＝130°，
∴∠EFN+∠FEB＝180°，
∴∠EFN＝180°﹣∠FEB＝180°﹣130°＝50°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠NFG＝∠EFG﹣∠EFN＝90°﹣50°＝40°，
∵AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠FGC＝∠NFG＝40°．
故答案为：40°；

（2）如图②，过点E作EM∥FG，交CD于点M．
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEM＝∠EMC（两直线平行，内错角相等）
又∵EM∥FG
∴∠FGC＝∠EMC（两直线平行，同位角相等）
∠EFG+∠FEM＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
即∠FGC＝（∠BEM）（等量代换）
∴∠FEB﹣∠FGC＝∠FEB﹣∠BEM＝（∠FEM）
又∵∠EFG＝90°
∴∠FEM＝90°
∴∠FEB﹣∠FGC＝90°
故答案为：两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，∠BEM，∠FEM，90°
（3）过点E作EH∥FG，交CD于点H．
∵AB∥CD
∴∠BEH＝∠EHC
又∵EM∥FG
∴∠FGC＝∠EHC
∠EFG+∠FEH＝180°
即∠FGC＝∠BEH
∴∠FEB﹣∠FGC＝∠FEB﹣∠BEH＝∠FEH
又∵∠EFG＝110°
∴∠FEH＝70°
∴∠FEB﹣∠FGC＝70°
故答案为：70°．

【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
9、（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30
【分析】
（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．
（2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可；
（3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间．
【详解】
解：（1）∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=α＝30°，
∴∠EOC=90°-30°=60°，
∠AOD=180°-30°=150°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；
故答案为：60，75；
（2）当，．
设当射线与射线重合时至少需要t秒，
可得，解得：；
答：当射线与射线重合时至少需要秒；
（3）设射线转动的时间为t秒，
由题意得：或或或，
解得：或12或21或30．
答：射线转动的时间为3或12或21或30秒．
【点睛】
本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论．
10、（1）见解析；（2）∠B＝38°．
【分析】
（1）由AB∥DG，得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可证明；
（2）先求出∠1＝38°，由DG是∠ADC的平分线，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由AB∥DG，即可得到∠B＝∠CDG＝38°．
【详解】
（1）∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD+∠2＝180°.
∵AD∥EF .
（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°，
∴∠1＝38°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG＝∠1＝38°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG＝38°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．