人教版 (2019)必修 第二册1 功与功率学案及答案

第八章　机械能守恒定律

本章素养概述

〔情 境 导 入〕

自然界存在各种不同形式的能量——机械能、内能、电能、化学能、核能等等，各种不同形式的能量可以相互转化，外力做功对能量的变化有什么影响？不同形式的能量如何转化？能量在转化过程中又遵守怎样的规律？这一章我们就来探究这些问题。

〔内 容 提 要〕

本章在牛顿运动定律的基础上，通过引入功和能的概念，得出动能定理和机械能守恒定律，故本章可以视为牛顿力学的进一步拓展与延伸。

本章可以分为三个单元：

第一单元(第1节)：主要学习功和功率。

第二单元(第2节～第3节)：主要学习重力做功与重力势能变化的关系、学习应用动能定理分析解决问题。

第三单元(第4节～第5节)：主要学习机械能守恒定律、做实验验证机械能守恒定律。

本章的重点是功、功率、动能、势能的概念及其动能定理、机械能守恒定律两个重要规律；难点是动能定理和机械能守恒定律在各种不同情况下的具体应用。

〔学 法 指 导〕

1．在学习功、功率时，要在复习初中知识和联系生活实际的基础上展开。对于功，先复习公式W＝Fl，然后扩展为W＝Flcos θ。对于功率，先复习初中的P＝，然后，分析汽车等交通工具运动问题，展开为P＝Fvcos α。

2．在学习动能和动能定理时，要紧抓功能关系这一线索，从动能的决定因素及动能发生变化时对应哪些因素变化和相应的外部原因上进行分析、讨论，不要将动能和动能定理分开学习。在学习时特别要注意解题的方法，注意总结解题中的注意事项。如：正确对物体进行受力分析，正确判断每一个力是否做功，掌握求合外力的功的方法，然后进行适量的训练。这样，既关注了知识的内在联系，又提高了学习效率。

3．在学习重力势能、机械能守恒定律时，要通过身边的事例，充分认识动能、势能之间可以相互转化，进而得出机械能守恒定律。而讨论守恒条件应该成为学习的重点，也是能否正确理解和使用该定律的关键。

4．解决力学问题，同学们往往习惯于应用牛顿运动定律和运动学知识解决，以为这样具体可信，而不习惯于从能量的观点和守恒的思想来分析，但是学习了本章之后同学们会发现从能量的观点来分析，往往会给力学问题的解决带来很大的方便，因此在今后的学习中同学们应注意培养自己从能量的观点分析、解决问题的能力。

1．功与功率

目标体系构建

明确目标·梳理脉络

【学习目标】

1．理解功的概念，掌握功的计算式。

2．知道功是标量，理解正功、负功的含义。知道几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体做功的代数和。

3．理解功率的概念，能分析交通工具发动机功率一定时，牵引力与速度之间的关系，能分析、解释生活中的现象。

【思维脉络】

课前预习反馈

教材梳理·落实新知

知识点 1　功

1．功的公式：W＝__Flcos α__。

2．公式描述：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的__乘积__。

3．功是标量。

4．功的单位：在国际单位制中，功的单位是__焦耳__，简称__焦__符号是__J__。

5．功的正负判断

6．合力对物体所做的功：当一个物体在几个力共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的__代数和__。

知识点 2　功率

1．物理意义：表示力对物体做功的__快慢__。

2．定义：功与完成这些功所用时间之__比__。

3．定义式：P＝____。

4．单位：在国际单位制中，功率的单位是__瓦特__，简称__瓦__，符号是__W__。

5．功率与速度的关系

P＝Fv，其中F沿物体的__速度__方向

①当v为平均速度时，P为平均功率。

②当v为瞬时速度时，P为瞬时功率。

③应用：由功率速度关系式知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成__反比__。

思考辨析

『判一判』

(1)公式W＝Flcos α中的l是物体运动的路程。(×)

(2)物体只要受力且运动，该力就一定做功。(×)

(3)功有正负之分，所以功是矢量。(×)

(4)若力不对物体做功，则力一定不会改变物体的运动状态。(×)

(5)力对物体做功越快，力的功率一定越大。(√)

(6)汽车爬坡时常常需要换高速挡。(×)

(7)沿水平方向运动的物体，速度越大，重力做功的功率越大。(×)

『选一选』

(2021·江苏南通市高一月考)甲、乙两位同学玩跷跷板，当乙离开地面缓慢上升的过程中，跷跷板对乙的作用力(　A　)

A．对乙做正功　　　 B．对乙不做功

C．大小逐渐增加 D．方向垂直于板面向上

解析：由于乙离开地面缓慢上升，则可认为匀速上升，动能不变，根据平衡条件可知，跷跷板对乙的作用力，方向竖直向上，大小等于重力，与乙运动方向相同，故对乙做正功。故选A。

『想一想』

下图为某品牌家用轿车中用于改变车速的排挡。手推变速杆到达不同挡位，可获得不同的运动速度，从“1～5”逐挡速度增大，R是倒车挡。试问轿车要以最大动力上坡，变速杆应推至哪一挡？为什么？

答案：1；一挡根据P＝Fv，要增大牵引力，就要减小速度。

课内互动探究

细研深究·破疑解难

探究

功的理解和正、负功的判断

┃┃情境导入__■

如图所示，马拉着小车(包括人)沿水平面匀速前进了一段距离。

(1)小车(包括人)受到几个力作用？每个力对小车做功吗？做正功还是负功？

(2)马对小车做的功是否等于马的拉力F(设F与水平方向的夹角为α)和小车的位移l的乘积？

提示：(1)小车(包括人)受4个力作用：重力、支持力、拉力、摩擦力，其中拉力做正功，摩擦力做负功，重力和支持力不做功；

(2)不等于。因为W＝Flcos α。

┃┃要点提炼__■

1．公式F＝Flcos α的理解与应用

(1)在使用公式W＝Flcos α计算功时，公式中各量W、F、l都要取国际单位制单位。

(2)功是一个标量，只有大小没有方向，因此合外力做的功等于各个力做功的代数和，或者等于合力所做的功。

(3)公式W＝Flcos α只适用于计算大小和方向均不变的恒力做的功，不适用于计算变力做的功。式中的l是力的作用点的位移，α是力F的方向与位移l的方向的夹角。

(4)公式W＝Flcos α，可以理解为力乘以在力的方向上的位移，即W＝F(lcos α)；也可以理解为位移乘以在位移方向上的分力，即W＝(Fcos α)l。

(5)力F对物体所做的功W，只与F、l、α三者有关，与物体的质量、运动状态、运动形式及是否受其他力等因素均无关。

(6)因为功是过程量，反映力在空间位移上的累积效果，对应一段位移或一段过程，所以用公式W＝Flcos α求力做的功时，一定要明确是哪个力在哪一段位移上(或在哪一个过程中)所做的功。

2．正功与负功

3．总功的计算

当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，计算这几个力对物体所做的总功，通常有以下两种方法。

(1)这几个力对物体所做的总功等于各个力分别对物体所做功的代数和。若以W1、W2、W3…分别表示力F1、F2、F3…所做的功，则这些力所做的总功为W总＝W1＋W2＋W3…(负功连同负号一起代入计算)。

(2)这几个力对物体所做的总功等于这几个力的合力对物体所做的功。若以F合表示这几个力的合力，则这些力所做的总功为W总＝F合lcos α。

特别提醒

 (1)某个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做了功(正值)。例如，滑动摩擦力对物体做功－5 J，也可以说成物体克服摩擦力做的功为5 J。

(2)功是标量，功的正负号不表示方向，也不表示功的多少，在比较功的多少时，只比较功的绝对值，不看功的正负号。例如－8 J的功要比7 J的功多。

┃┃典例剖析__■

典题1　

(多选)如图所示，在加速向左运动的车厢中，一人用力向前推车厢(人与车厢始终保持相对静止)，则下列说法正确的是(　CD　)

A．人对车厢做正功　　 B．车厢对人做负功

C．人对车厢做负功 D．车厢对人做正功

思路引导：本题涉及对功的概念的理解和做功正、负的判断问题，要认真分析题中给出的物理情境，搞清哪些力对物体做功，是做正功还是做负功，受力分析要全面。在解题中不要只分析人对车的推力做功，而漏掉了人对车厢底部摩擦力做功的分析。

解析：

先确定人对车的作用力方向和力的作用点的位移方向，这里人对车除有手对车的推力F1外，还有个容易被疏忽的力：脚对车厢地板的水平作用力F2，受力分析如图所示。其中F1做正功，F2做负功。由于车厢水平方向除这两个力外还受其他力的作用，因此这两个力的合力做功正负难以确定。于是将研究对象转换为受力情况简单的人，在水平方向上受到车厢壁给人向后的推力F1′和车厢地板对人向前的作用力F2′。这两个力的合力使人产生向左运动的加速度，合力对人做正功，表示车对人做正功，所以人对车做负功，故选项C、D正确。

典题2　一人用平行于斜面的推力把重G＝500 N的货物从斜面底端推到斜面顶端。已知斜面的倾角α＝37°，斜面长L＝5 m，斜面与货物间的动摩擦因数μ＝0.2，推力F＝400 N。求货物从斜面底端运动到顶端的过程中，所受各力分别对其做的功，以及所有外力对其做的总功。(货物可视为质点，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

解析：将货物视为质点，则其位移L＝5 m

根据功的定义，推力F对货物做功W1＝FL＝400×5 J＝2 000 J；

重力G对货物做功W2＝GLcos (90°＋α)＝－GLsin α＝－500×5×0.6 J＝－1500 J；

支持力FN对货物做功W3＝NLcos 90°＝0；

摩擦力f对货物做功W4＝fLcos 180°＝(μGcos α)Lcos 180°＝－0.2×500×0.8×5 J＝－400 J；

所有外力对货物做的总功W总＝W1＋W2＋W3＋W4＝(2 000－1 500＋0－400)J＝100 J。

答案：推力做功2 000 J，重力做功－1 500 J，支持力做功0，摩擦力做功－400 J，合力做功100 J

┃┃对点训练__■

1．(2021·浙江高一月考)某一天老师走进电梯，从一楼一直上升到六楼，在此过程中，以下说法中正确的是(　D　)

A．支持力对他先做正功后做负功

B．他一直处于超重状态

C．合力对他一直做正功

D．他对电梯地板的压力与电梯地板对他的支持力大小相等

解析：电梯对老师的支持力方向始终向上，老师的位移方向向上，则支持力对他始终做正功，故A错误；老师从一楼到六楼应该是先加速后减速，加速度则先向上再向下，即先处于超重后失重，故B错误；老师从一楼到六楼应该是先加速后减速，根据动能定理可知合力先做正功再做负功，故C错误；由牛顿第三定律可知，他对电梯地板的压力与电梯地板对他的支持力大小相等，故D正确。

探究

功率的理解与计算

┃┃情境导入__■

如图所示某部队正用吊车将一台坦克车从码头上吊起装上舰船。

(1)将质量为m的坦克车以速度v匀速吊起，坦克车在t时间内匀速上升h高度。怎样计算吊车的功率？其瞬时功率是多少？

(2)若坦克车在相同的时间t内，从静止开始以加速度a匀加速上升高度h时，该过程中吊车的平均功率是多少？其瞬时功率是多少？

提示：(1)吊车对坦克车做的功W＝mgh。功率P＝＝；P瞬＝Fv＝mgv。

(2)该过程中吊车的平均功率为P＝＝＝，

其瞬时功率为P瞬＝Fv＝(mg＋ma)at。

┃┃要点提炼__■

1．平均功率的计算

(1)利用＝；

(2)利用＝Fcos α，其中F为恒力，为物体运动的平均速度。

2．瞬时功率的计算

(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为瞬时速度；

(2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度；

(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力在速度v方向上的分力。

3．公式P＝和P＝Fv的比较

特别提醒

求功率时要先分清是平均功率还是瞬时功率，然后选用合适公式。

┃┃典例剖析__■

典题3　如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。求：

(1)前2 s内重力做的功。

(2)前2 s内重力的平均功率。

(3)2 s未重力的瞬时功率。

思路引导：(1)求前2 s重力做的功，关键是计算物体的位移，确定重力与位移的夹角。

(2)前2 s内重力的平均功率用公式＝求解。

(3)2 s末重力的瞬时功率用公式P＝Fv·cos α求解。

解析：(1)木块所受的合外力

F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝mg(sin θ－μcos θ)＝2×10×(0.6－0.5×0.8)N＝4 N

木块的加速度a＝＝m/s2＝2 m/s2，前2 s内木块的位移

l＝at2＝×2×22 m＝4 m

所以，重力在前2 s内做的功为W＝mglsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J。

(2)重力在前2 s内的平均功率为P＝＝ W＝24 W。

(3)木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s

2 s末重力的瞬时功率P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W。

┃┃对点训练__■

2．如图所示，光滑水平面上有一个固定的四分之一光滑圆弧轨道，一小球在水平恒力F作用下，沿着圆弧轨道从A点由静止运动到B点，在此过程中F的瞬时功率变化情况是(　C　)

A．逐渐增大

B．逐渐减小

C．先增大再减小

D．先减小再增大

解析：在A点，小球速度为零，根据P＝Fv可知F的功率为零；在B点，小球速度方向沿切线方向，与F垂直，则F的功率为零；中间运动过程中P＝Fvcos θ可知F的功率不为零，所以F的瞬时功率先增大再减小。故C正确，A、B、D错误。

易错辨析警示

以题说法·释疑解惑

对公式W＝Flcos α中l把握不准而致错

案例　如图所示，A为静止在水平桌面上的物体，其右侧固定着一个轻质滑轮O，跨过滑轮的细绳的P端固定在墙壁上，细绳的另一端Q用水平恒力F向右拉，则在物体向右滑动l的过程中，力F对物体做了多少功？ (上、下两段绳均保持水平)

易错分析：当力的作用点不在物体上或力的作用点与物体间有相对运动时，l应是力的作用点的位移。

答案：2Fl

正确解答：研究受力物体，将轻质滑轮视为物体的一部分，则物体(包含滑轮)受到两段绳的拉力，每段绳的拉力都为F，如图所示，合力为2F，因而F对物体所做的功为W＝2Fl。或研究绳子的Q端，即力F的作用点，则可知物体向右发生位移l的过程中，作用点Q的位移为2l，因而力F拉绳所做的功W＝2Fl。

素养警示

解答本题的关键是计算功时对力和位移这两个要素的分析，当力的作用点相对物体没有移动时，物体的位移就等于力的作用点的位移；当力的作用点相对物体有位移时，就应通过物体的位移并借助几何关系找到力的作用点的位移，或者利用等效方法求功，分析出与哪些力所做的功具有等效关系。

课堂达标检测

沙场点兵·名校真题

1．(2021·江苏南通市高一月考)关于某力做功的功率，下列说法正确的是(　B　)

A．该力越大，其功率就越大

B．该力在单位时间内做的功越多，其功率就越大

C．功率越大，说明该力做的功越多

D．功率越小，说明该力做功的时间越少

解析：根据P＝Fv可知，力越大，功率不一定大，故A错误；功率等于单位时间内做功的多少，该力在单位时间内做功越多，功率越大，故B正确；功率是反应做功快慢的物理量，功率大，做功快，功率小，做功慢，功率大小不能说明做功的多少，故C、D错误。

2．(2021·福建省福州格致中学高一月考)两个相互垂直的共点力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动一段位移。如果F1对物体做功4 J，F2对物体做功5 J，则F1和F2的合力对物体做功为(　C　)

A．4 J　　 B．1 J

C．9 J　 D．10 J

解析：当有多个力对物体做功的时候，总功的大小就等于各个力对物体做功的和，由于力F1对物体做功4 J，力F2对物体做功5 J，所以F1与F2的合力对物体做的总功就为W＝5 J＋4 J＝9 J，故选C。

3．(2021·嘉兴市第五高级中学高一月考)某人用手将1 kg物体由静止竖直向上提起1 m，物体运动的加速度大小为2 m/s2，则下列说法正确的是(　B　)

A．手对物体做功10 J

B．合外力对物体做功2 J

C．人对物体做功的平均功率为2 W

D．重力对物体做功10 J

解析：由牛顿第二定律可得F－mg＝ma，

得F＝m(g＋a)＝1×(10＋2) N＝12 N，手对物体做功为W＝Fl＝12×1 J＝12 J，A错误；合外力对物体做功

W合＝mah＝1×2×1 J＝2 J，B正确；根据h＝at2，

解得物体运动时间为t＝1 s，人对物体做功的平均功率为P＝＝12 W，C错误；物体重力做功WG＝－mgh＝－1×10×1 J＝－10 J，D错误。

4．(多选)(2021·重庆市第三十七中学校高一月考)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速送到皮带顶端，在这个过程中，下列说法中正确的是(　AC　)

A．摩擦力对物体P做正功

B．物体P克服摩擦力做功

C．皮带克服摩擦力做功

D．摩擦力对皮带不做功

解析：物体相对于传送带有向下运动的趋势，则受斜向上的静摩擦力，摩擦力的方向与物体运动方向相同，故摩擦力对P做正功，故A正确，B错误；物体受斜向上的静摩擦力，根据牛顿第三定律，物体对传送带的摩擦力斜向下，而传送带向上运动，故摩擦力对传送带做负功，故C正确，D错误。