人教版 (2019)必修 第二册2 运动的合成与分解学案

运动的合成与分解

目标体系构建

明确目标·梳理脉络　

【学习目标】

1．会根据研究问题的需要建立合适的平面直角坐标系，并用函数描述直线运动。

2．理解合运动与分运动的概念，能对简单平面运动进行合成与分解。

3．通过运动的合成与分解，初步体会把复杂运动分解为简单运动的物理思想。

【思维脉络】

课前预习反馈

教材梳理·落实新知　

知识点 1　一个平面运动的实例

1．实验观察蜡块的运动

蜡块在竖直玻璃管内向上匀速运动的同时，将玻璃管沿水平方向向右做匀速运动，观察到蜡块向__右上方__运动。

2．蜡块的位置：蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx。从蜡块开始运动的时刻计时，于是，在时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示x＝__vxt__，y＝__vyt__。

3．蜡块运动的轨迹

由以上两式消去t，得y＝__x__，由于vx和vy均是常量，所以蜡块运动的轨迹是一条过原点的直线。y＝__x__为轨迹方程。

4．蜡块的速度

由勾股定理可得：v＝____，v与x轴正方向间夹角的正切为tan θ＝____。

知识点 2　运动的合成与分解

1．合运动与分运动：一个物体同时参与几个运动，那么物体实际发生的运动叫作__合运动__，参与的那几个运动叫作__分运动__。

2．运动的合成与分解

(1)运动的合成：由已知的分运动求__合运动__的过程。

(2)运动的分解：由已知的合运动求__分运动__的过程。

(3)运算法则：运动的合成与分解遵从__矢量__运算法则。

思考辨析

『判一判』

(1)合运动与分运动是同时进行的，时间相等。(√)

(2)合运动一定是实际发生的运动。(√)

(3)合速度就是两个分速度的代数和。(×)

(4)合运动的速度一定比分运动的速度大。(×)

(5)两个夹角为90°的匀速直线运动的合运动，一定也是匀速直线运动。(√)

(6)无论在竖直方向和水平方向怎样运动，红蜡块的轨迹都是直线。(×)

『选一选』

(2021·辽宁高一月考)下列对运动的合成与分解的理解正确的是(　D　)

A．质点的合位移一定大于两分位移

B．质点运动时，合运动的时间等于两分运动所需时间之和

C．质点的合速度等于两分速度的代数和

D．质点的合速度应为两分速度的矢量和

解析：位移是矢量，位移的合成遵循平行四边形定则，合运动的位移为分运动位移的矢量和，根据平行四边形定则知，合位移可能比分位移大，也可能比分位移小，也可能与分位移相等，故A错误D正确；根据平行四边形定则，合速度可能比分速度大，可能比分速度小，也可能与分速度相等，故C错误；合运动与分运动具有等时性，合运动的时间等于分运动的时间，故B错误。

『想一想』

如图所示，在军事演习中，飞机常常一边匀加速收拢绳索提升战士，一边沿着水平方向匀速飞行， 请思考：

(1)战士在水平方向和竖直方向分别做什么运动？

(2)如何判断战士做的是直线运动还是曲线运动？做的是匀变速运动还是非匀变速运动？

解析：(1)战士在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动；

(2)战士受的合力沿竖直方向，与其合速度不在一条直线上，所以做曲线运动。因其加速度恒定，故其运动为匀变速运动。

课内互动探究

细研深究·破疑解难

探究　运动的合成与分解

┃┃情境导入__■

跳伞是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，当跳伞员在某高度从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响。试问跳伞员同时参与了哪两个方向上的运动？

提示：跳伞员同时参与了竖直向下和水平方向上的直线运动。

┃┃要点提炼__■

1．合运动与分运动

如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的那几个运动就是分运动。

2．合运动与分运动的关系

3．合运动与分运动的求法

(1)运动合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解。

(2)运动合成与分解的法测：合成和分解的内容是位移、速度、加速度的合成与分解，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形定则。

(3)运动合成与分解的方法：在遵循平行四边形定则的前提下，处理合运动和分运动关系时要灵活采用方法，或用作图法、或用解析法，依情况而定，可以借鉴力的合成和分解的知识，具体问题具体分析。

特别提醒

(1)合运动一定是物体的实际运动，在运动的合成与分解时所做的平行四边形中合运动是平行四边形的对角线。

(2)运动的合成与分解与力的合成与分解方法完全相同，之前所学的力的合成与分解的规律及方法可以直接应用到运动的合成与分解。

┃┃典例剖析__■

典题1 (2021·贵溪市实验中学高一月考)质量m＝2 kg的物体在光滑平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图像如图所示。求：

(1)物体受到的合力和初速度；

(2)t＝8 s时物体的速度；

(3)t＝4 s时物体的位移；

(4)物体的运动轨迹方程。

思路引导：已知分运动求合运动，要注意各分运动的等时性和矢量(速度、位移、加速度等)合成的平行四边形定则的应用。

解析：(1)物体在x轴方向有ax＝0，y轴方向有ay＝m/s2

由牛顿第二定律得F合＝may＝1 N，方向沿y轴正方向；

由图知v0x＝3 m/s，v0y＝0，所以物体的初速度

v0＝3 m/s，方向沿x轴正方向。

(2)当t＝8 s时，vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，所以v＝＝5 m/s

设速度与x轴的夹角为θ，则tan θ＝＝。

(3)当t＝4 s时，x＝v0xt＝12 m，y＝ayt2＝4 m，

物体的位移l＝＝4 m

设位移与x轴的夹角为α，则tan α＝＝。

(4)由x＝v0xt＝3t，y＝ayt2＝t2，消去t得y＝。

┃┃对点训练__■

1．(2021·江苏省天一中学高一期末)如图所示，某人站在一个旋转较快的大平台边缘上，向大平台圆心处的球筐内投篮球。如果人相对平台静止，则下面各俯视图中哪幅图中的篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)(　D　)

解析：当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿篮筐方向，球就会被投入篮筐。故选D。

探究　合运动性质的判断

┃┃情境导入__■

如图所示 ，旋臂式起重机的旋臂保持不动，可沿旋臂“行走”的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿旋臂水平方向运动。现天车吊着货物正在沿水平方向向右匀速行驶，同时又使货物沿竖直方向做向上的匀减速运动。货物做直线运动还是曲线运动？在地面上观察到货物运动的轨迹是怎样的？

提示：货物做曲线运动；轨迹如图所示

┃┃要点提炼__■

1．分析两个互成角度的直线运动的合运动的性质时，应先求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断。

(1)曲、直判断：

加速度或合力与速度方向

(2)是否为匀变速的判断：

加速度或合力

2．两个互成角度的直线运动的合运动轨迹的判断：

轨迹在合初速度v0与合加速度a之间，且向合加速度一侧弯曲。

┃┃典例剖析__■

典题2 (多选)在马戏表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为0、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示。关于猴子的运动情况，下列说法正确的是(　BD　)

A．相对地面的运动轨迹为直线

B．相对地面做匀变速曲线运动

C．t时刻猴子对地速度的大小为v0＋at

D．t时间内猴子对地的位移大小为

解析：猴子在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做初速度为0的匀加速直线运动，根据运动的合成，知合速度与合加速度不在同一条直线上，所以猴子运动的轨迹为曲线，A错误；猴子在水平方向上的加速度为0，在竖直方向上有恒定的加速度，根据运动的合成，知猴子做曲线运动的加速度不变，做匀变速曲线运动，B正确；t时刻猴子在水平方向上的速度为v0，竖直方向上的分速度为at，所以合速度v＝，C错误；在t时间内猴子在水平方向和竖直方向上的位移分别为x和h，根据运动的合成，知合位移s＝，D正确。

规律总结：不在一条直线上的两个直线运动的合运动的几种可能情况

┃┃对点训练__■

2．(多选)(2021·河南高一月考)下列关于不在一条直线上的两个分运动与其合运动，说法正确的是(　AD　)

A．若两个分运动都是初速度为零的匀加速直线运动，合运动一定是匀加速直线运动

B．若两个分运动都是匀速直线运动，则合运动可能是匀变速直线运动

C．若两个分运动都是初速度不为零的匀加速直线运动，则合运动一定是匀加速直线运动

D．若一个分运动是初速度为零的匀加速直线运动，一个分运动是初速度不为零的匀加速直线运动，则合运动是匀变速曲线运动

解析：两个分运动都是初速度为0的匀加速直线运动，其合加速度恒定，初速度为0，合运动为初速度为0的匀加速直线运动，故A正确；两个分运动都是匀速直线运动，则合外力为0、初速度为某一定值，所以合运动一定为匀速运动，故B错误；两个分运动都是初速度不为0的匀加速直线运动，只有当两分运动的初速度之比等于分加速度之比时，才做直线运动，否则做曲线运动，故C错误；分运动1是初速度为0的匀加速直线运动，分运动2是初速度不为0的匀加速直线运动，则初速度沿2方向、加速度沿两个分运动的合加速方向(与分运动2成某一夹角)，即速度与加速度成一定夹角，做曲线运动，故D正确。

探究　小船渡河问题

┃┃情境导入__■

一条宽阔的大河上有两个码头A、B隔河正面相对。小明驾着小船从码头A出发，将一批货物运送到对岸的码头B。他驾船时始终保持船头指向与河岸垂直，但小明发现小船行驶的路线并不与河岸垂直，而是朝河的下游方向偏移到C位置，这是为什么呢？怎样来研究这种运动呢？

提示：小船渡河同时参与了两个运动，一是小船沿与河岸垂直的方向运动；二是小船沿河岸顺流而下。

┃┃要点提炼__■

小船在有一定流速的水中渡河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动速度v水)和船相对水的运动(即船在静水中的速度v船)，船的实际运动是合运动(v合)。

┃┃典例剖析__■

典题3　如图所示，小船在静水中的速度为v1＝4 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行。

(1)欲使船以最短时间渡河，航向怎样？最短时间是多少？船发生的位移有多大？

(2)欲使船以最小位移渡河，航向又怎样？渡河所用时间是多少？

思路引导：(1)小船渡河用时最短与位移最小是两种不同的运动情景，时间最短时，位移不是最小。

(2)求渡河的最小位移时，要先弄清船速与水速的大小关系，不要盲目地认为最小渡河位移一定等于河的宽度。

(3)渡河时间与水流速度的大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河时间即为最短。

解析：(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用的时间最短，

河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸向对岸渡河时，所用时间最短，则最短时间为t＝＝s＝25s。如图所示，当船到达对岸时，船沿河流方向也发生了位移，由直角三角形的几何知识可得，船的位移为l＝，由题意可得x＝v2t＝3×25 m＝75 m, 代入得l＝125 m。

(2)分析可知，当船的实际移动速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝4 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸。如图所示，设船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cos θ＝v2，cos θ＝＝，故船头斜指向上游河对岸 ，且与河岸所成的夹角为θ满足cos θ＝，所用的时间为t＝＝s＝s。

答案：见解析

┃┃对点训练__■

3．(2021·广东广州市第二中学高一月考)一条笔直的江河，宽为200 m，河水以3 m/s沿河岸匀速流动。一艘小船匀速渡河，刚好能够正对河岸行驶到对岸，其渡河时间为50 s，设船速方向与河岸上游成θ角，下列说法正确的是(　C　)

A．小船正对河岸行驶时，θ为90°

B．小船在静水中的速度大小为4 m/s

C．小船在静水中的速度大小为5 m/s

D．若水速增大，船速大小不变，要使小船仍能垂直过河，则应增大θ

解析：小船能够正对河岸行驶到对岸，即用最短航程渡河，故需要船速大于水速，且船速方向为斜向上，即船速方向与河岸上游所夹θ角小于90°，故A错误；最短航程渡河时，水速与合速度垂直，而合速度为v＝＝4 m/s，由合成的平行四边形定则有v船＝＝ m/s＝5 m/s，故B错误，C正确；若水速增大，船速大小不变，要使小船仍能垂直过河，需要沿着河岸方向的速度抵消，有v船cos θ＝v水，则cos θ应增大，即减小θ，故D错误。

核心素养提升

以题说法·启智培优　

应用“图解法”理解小船渡河问题

案例 (多选)2021年暑假期间，几位同学相约去划船，碰到一条宽90 m的小河，他们在静水中划船的速度为3 m/s，现在他们观察到河水的流速为5 m/s，关于渡河的运动，他们有各自的看法，其中正确的是(　BC　)

A．甲同学说：要想到达正对岸就得船头正对河岸划船

B．乙同学说：不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸

C．丙同学说：渡过这条河的最短距离是150 m

D．丁同学说：以最短位移渡河时，需要用时30 s

思维建构：

动态图解法：

类比于只有一个力方向发生变化的动态平衡问题，可应用动态矢量三角形解决问题。

1．固定水速矢量箭头不动，将船速矢量箭头绕水速矢量箭头的末端转动，如图所示，则船速矢量箭头的末端在一个圆周上移动，根据三角形定则，合速度矢量的末端也就在这个圆周上移动。

2．当合速度v⊥v船时，合速度v与河岸夹角最大，位移最小。

规范分析：

如图(1)所示，船头正对对岸划船，合速度方向倾斜，无法到达正对岸，选项A错误；如图(2)若要垂直到达正对岸，需要满足v船>v水，该题中v水≥v船，所以不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸，选项B正确；如图(3)所示，当v⊥v船时，合速度v与河岸夹角最大，位移最小。根据三角形相似＝，解得s＝150 m，选项C正确；以最短位移渡河时，所需时间t＝＝37.5 s，选项D错误。

方法感悟：

所有矢量运算都满足平行四边形定则和三角形定则。当碰到一个矢量大小方向不变，另一个矢量要么大小不变，要么方向不变，求解第三个矢量时，我们就可以大胆尝试用这种动态图解法画图，往往垂直“出”最小。

课堂达标检测

沙场点兵·名校真题　

1．(2021·浙江衢州市高一月考)如图所示，一重物在塔吊机的作用下运动，某时刻重物相对地面的速度大小为3 m/s，水平速度大小为2 m/s，则此刻重物竖直方向上的速度大小为(　B　)

A．1 m/s　　 B． m/s

C．5 m/s　 D． m/s

解析：由平行四边形定则可知，此刻重物竖直方向上的速度大小为vy＝＝ m/s，故选B。

2．如图所示，某河流中水流速度大小恒为v1，A处的下游C处是个旋涡，A点和旋涡的连线与河岸的最大夹角为θ。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为(　A　)

A．v1sin θ　 B．v1cos θ

C．v1tan θ　 D．

解析：如图所示，设小船航行时在静水中速度为v2，当v2垂直AB时速度最小，由三角函数关系可知v2＝v1sin θ，故A正确，B、C、D错误；故选A。

3．(2021·四川省南充高级中学高一月考)物体在xOy平面内从坐标原点开始运动，沿x轴和y轴方向运动的速度分量随时间t变化的图像分别如图甲、乙所示，则物体在0～t0时间内(　A　)

A．做匀变速运动

B．做非匀变速运动

C．运动的轨迹不可能如图丙所示

D．运动的轨迹可能如图丁所示

解析：由图知：物体在x轴方向做匀速直线运动，加速度为零，合力为零；在y轴方向做匀减速直线运动，加速度恒定，合力恒定，所以物体所受的合力恒定，一定做匀变速运动。故A正确，B错误；曲线运动中合外力方向与速度方向不在同一直线上，而且指向轨迹弯曲的内侧。由上分析可知，物体的合力沿－y轴方向，而与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，根据合力指向轨迹的内侧可知，丙图是可能的。故C、D错误。

4．(多选)(2021·深州长江中学高一期末)在河道宽度为d的河中，水流速度为v2，船在静水中速度为v1(且v1＞v2)，方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船(　BD　)

A．可能的最短渡河时间为

B．可能的最短渡河位移为d

C．只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水流速度无关

D．不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水流速度均无关

解析：当船头指向河正对岸时，渡河时间最短，最短渡河时间为tmin＝，A错误；因船静水速大于河水流速，则船能垂直河岸渡河，则最短渡河位移为d，B正确；渡河时间取决于v1在垂直河岸方向的分量，无论船头与河岸夹角是多少渡河时间均与水流速度无关，C错误，D正确。