第八章 第五节第二课时 直线与椭圆的位置关系课件PPT

课时跟踪检测（五十二）  直线与椭圆的位置关系

[素养落实练]

1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)

A．至多为1　　　　　　　 B．2

C．1  D．0

解析：选B　由题意知＞2，即＜2，

∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.

2．已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)

A.  B．－

C．2  D．－2

解析：选B　设弦所在直线的斜率为k，弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，由

两式相减，得＋＝0，

所以＝－，所以k＝＝－.

经检验，k＝－满足题意．

故弦所在直线的斜率为－.

3．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点坐标为(0，－2)，，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，则S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝.故选B.

4．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)

A．－3  B．－

C．－或－3  D．±

解析：选B　依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，

所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，所以·＝－.

同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.

5．(多选)已知点P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，点M，则(　　)

A．椭圆C的离心率为

B．椭圆C中以M为中点的弦所在直线方程为6x＋24y－11＝0

C．圆D在椭圆C的内部

D．PQ的最小值为

解析：选ABC　对于A，由椭圆C：＋y2＝1得a＝，b＝1，c＝＝，则离心率为＝＝，故A正确；

对于B，设以M为中点的弦交椭圆于点(x1，y1)，(x2，y2)，则＝，＝，＋y＝1，＋y＝1，两式相减得＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，则可得＝－，即斜率为－，则直线方程为y－＝－，整理得6x＋24y－11＝0，故B正确；

对于C，设P(x，y)(－≤x≤)，则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝2＋>，所以圆D在椭圆C的内部，故C正确；

对于D，由C选项可得|PQ|的最小值为 － ＝，故D错误．

6．过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．

解析：过点M(－2,0)的直线m的方程为y－0＝k1(x＋2)，代入椭圆方程化简得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－2＝0，所以x1＋x2＝，所以点P，直线OP的斜率k2＝－，所以k1k2＝－.

答案：－

7.如图，点A，B分别是椭圆＋＝1(0＜b＜5)的长轴的左、右端点，F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为x＋y－4＝0，且·＝0，设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，则椭圆上的点到点M的距离d的最小值为________．

解析：依题意得直线AP的方程为x－y＋5＝0，直线PF与x轴的交点为(4,0)，即F(4,0)，∴b2＝25－16＝9，即椭圆方程为＋＝1.设M(m,0)(－5≤m≤5)，则M到直线AP的距离为，又|MB|＝|5－m|，∴＝|5－m|，∵－5≤m≤5，∴＝5－m，解得m＝3，∴M(3,0)．设椭圆上的点(x，y)(x∈[－5,5])到M(3,0)的距离为d，则d2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋9＝x2－6x＋18＝2＋，∵x∈[－5,5]，∴当x＝时，d2最小，此时dmin＝.

答案：

8．已知椭圆C：＋＝1，过椭圆C上一点P(1，)作倾斜角互补的两条直线PA，PB，分别交椭圆C于A，B两点，则直线AB的斜率为________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设PA的方程为y－＝k(x－1)，

代入椭圆方程化简，得(k2＋2)x2－2k(k－)x＋k2－2k－2＝0，

显然1和x1是这个方程的两解，

因此x1＝，y1＝.

由－k代替x1和y1中的k，

得x2＝，y2＝，

所以＝.故直线AB的斜率为.

答案：

9．(2021·湖南名校一联)顺次连接椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为2的菱形．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点Q(0，－2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，kOA·kOB＝－1，其中O为坐标原点，求|AB|.

解：(1)由题可知，2ab＝2，a2＋b2＝3，解得a＝，b＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

当直线l斜率不存在时，明显不符合题意，故设l的方程为y＝kx－2，

将其代入方程＋y2＝1 ，整理得

(1＋2k2)x2－8kx＋6＝0.

由Δ＝64k2－24(2k2＋1)＞0，解得k2＞，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

则kOA·kOB＝＝＝－1，解得k2＝5.

所以|AB|＝＝.

10．(2021·张家口模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(2,1)，且离心率e＝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．

解：(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2.

又椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(2,1)，

∴＋＝1，∴a2＝8，b2＝2.

故所求椭圆方程为＋＝1.

(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0.

∵Δ＝4m2－8m2＋16＞0，解得|m|＜2.

∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.

则|AB|＝ ×＝.

又点P到直线l的距离d＝＝，

∴S△PAB＝d|AB|＝××＝≤＝2.

当且仅当m2＝2，即m＝±时等号成立，此时S△PAB取得最大值．

∴△PAB面积的最大值为2.

[梯度拔高练]

1.如图，过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若<k<，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　由题意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝，

于是k＝.又<k<，所以<<，

化简可得<<，解得<e<，故选C.

2．(多选)已知F1，F2是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M，N是左、右顶点，e为椭圆C的离心率，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，若·＝0，3＝2，|AF1|＝2|AF2|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k1，k2，直线BM和直线BN的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是(　　)

A．e＝  B．k＝

C．k1·k2＝－  D．k3·k4＝

解析：选AC　∵·＝0，∴AF1⊥BF1，过点F2作F1B的平行线，交AF1于点E，

∴AF1⊥EF2.设|F2A|＝2t，

|F1A|＝4t，又3＝2，

∴|AB|＝5t，

∵AF1⊥BF1，∴|F1B|＝3t，

∴12t＝4a，∴a＝3t.∴|BF1|＝|BF2|＝3t＝a，∴B(0，b)．

在△EF1F2中，|EF1|＝|AF1|＝，|EF2|＝|BF1|＝，|F1F2|＝2c，

∵|EF1|2＋|EF2|2＝|F1F2|2，∴c＝，b＝＝，椭圆离心率e＝＝，故A正确；k＝＝2，故B错误；设A(x，y)，易得M(－a,0)，N(a,0)，

则k1·k2＝·＝＝＝－＝－，故C正确；

同理k3·k4＝－＝－，故D错误．

3．(2020·广东七校联考)已知椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为________．

解析：设直线l与椭圆C在第一象限内的交点为A(x1，y1)，则y1＝x1，由|AB|＝2c，可知|OA|＝＝c(O为坐标原点)，即＝c，所以x1＝c，所以A.把点A的坐标代入椭圆方程得＋＝1，又a2＝b2＋c2，整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，又0＜e＜1，所以e＝.

答案：

4．已知直线l经过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点(1,0)，交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，|MN|2＝4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．

解：(1)由已知，得∴∴b2＝3，

∴椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)证明：若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾，∴直线l的斜率存在．

设l：y＝k(x－1)(k≠0)，m：y＝－k(x＋t)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，N(xN，yN)．

将直线m的方程代入椭圆方程得，(3＋4k2)x2＋8k2tx＋4(k2t2－3)＝0，

∴xM＋xN＝－，xMxN＝，

∴|MN|2＝(1＋k2)·.

同理，|AB|＝·＝.

由|MN|2＝4|AB|得t＝0，

此时，Δ＝64k4t2－16(3＋4k2)(k2t2－3)＞0，

∴直线m：y＝－kx，

∴P，即点P在定直线x＝上．