山东省日照市五莲县2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

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五莲县2020-2021学年高二下学期期中考试         数学试题             2021.04考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列可作为数列1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是A．                      B．C．                      D．2．在等差数列中，，是方程的两根，则A． B． C．            D． 3．函数的单调递减区间为A．[－1,1]        B．(0,1]           C． [1,+)    D．(0,+)4．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是  A．  B．  C．  D． 5．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（参考数据：，）A．4 B．5 C．6 D．76．已知，为自然对数的底数，则A.              B.                C.            D. 7．已知，若数列是递增数列，则实数的取值范围为A． B． C．        D．8．设函数，则满足的取值范围是A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示．现有下列四种说法正确的有A．前四年该产品产量增长速度越来越快 B．前四年该产品产量增长速度越来越慢C．第四年后该产品停止生产 D．第四年后该产品年产量保持不变．  10．数列是首项为1的正项数列，，是数列的前项和，则下列结论正确的是A． B．数列是等比数列C． D．11．对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”，在数列中，若，则数列的“谷值点”为A． B． C． D．12．已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线，切点为.则下列结论正确的是A．数列的通项为            B．数列的通项为C．当时， D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数在点处的切线斜率为________.14．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个整数中能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为_________.15．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是__________.16．已知函数若时，恒成立，则实数的最小值为__________.四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一种情况解答给分）已知等比数列的各项均为正数，且，________．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前项和.18．（12分）设与是函数的两个极值点.（1）试确定常数和的值；（2）设，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.19．（12分） 为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．（1）求，，；（2）求数列的前项和．20．（12分） 在数列中，， ．（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）已知数列的前项和为，且数列满足，若不等式对一切 恒成立，求的取值范围. 21．（12分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地米， 米，以为直径的半圆和半圆（半圆在矩形内部）为两个半圆形水上主题乐园，都建有围墙，游客只能从线段处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着修建不锈钢护栏，沿着线段修建该主题乐园大门并设置检票口，其中分别为上的动点，//，且线段与线段在圆心和连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为元/米，直线部分的平均修建费用为元/米.（1）若米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米（2）试确定点的位置，使得修建费用最低. 22．（12分）    已知．（1）设曲线在点处的切线为，若，求直线斜率的取值范围；（2）设① 讨论的极值点个数；② 若有个极值点（其中）证明：． 
五莲县2020-2021学年高二下学期期中考试              数学参考答案                      2021.04一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。答案  BCBD,  CABA二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．【答案】BD，10．【答案】．AB，11．【答案】AD，12． 【答案】．ABD， 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．【答案】；   14．【答案】135；   15．【答案】；    16．【答案】；四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）解：（1）设等比数列的公比为，则．若选择条件①，则， 即是：                                  解得，                                          …………….. 4分；                            …………….. 6分若选择条件②，由题意得， 解得，                                      …………….. 4分因此，；                      …………….. 6分（2），                          …………….. 8分所以，所以，数列是等差数列，首项为，                 设数列前项和为，则。                   …………….. 10分18．（12分）【答案】（1） ，        由题意可知：;   .                              ……………6分（2）,   所以：，，，            …………….8分从而切线方程是 ，                      ……………10分在轴上的截距是，在轴上的截距是；     所以：三角形面积是：.                   ……………….12分19．（12分）【解析】（1）设的公差为，，∴，∴，∴．       ……………2分  ∴，                              ……………3分，                              ……………4分．                           ……………5分（2）记的前项和为，则．当时，；               ……………6分当时，；             ……………7分当时，；           ……………8分当时，．                         ……………9分∴．            ……………12分20．（12分） 解：（1）因为…2分  所以数列是公差为1，                                       …3分首项为的等差数列，                                        …4分所以．                                       …………………..5分所以数列的通项公式为.                 …………………..6分   （2）由题干知：，令               ①则             ②      ① -②得       所以                        ∴，                …….10分若为偶数，则，∴；        若为奇数，则，∴，∴.综上，.                                     …………….12分21．（12分）【答案】（1）；（2）当为时，修建费用最低.(1)    如图，设直线矩形交于两点，连，因为米，则米，米．    ………..2分 梯形的面积为平方米， ………..3分矩形的面积为平方米，           由，得扇形和扇形的面积均为：平方米，                              故阴影部分面积为平方米．            ………..6分(2) 设，则，所以，修建费用，所以，令,得，                          ……….10分当变化时,的变化情况如下表：0极小值由上表可得当时，即，有极小值,也为最小值．故当为时,修建费用最低．                …………….12分22．（12分）（1）解：当时，    又 时，时，   即是：在单调递减，在单调递增，所以：即斜率的取值范围是；            ……………………………..4分（2） 所以：，即：不是的零点。，     的极值点的个数即为函数的变号零点个数，令，，故在上单调递减，上单调递增，在上单调递减，且当x＜0时，m（x）＜0．即，  根据与的交点个数可得：     1)        当时，有2个极值点，2)        当时，只有1个极值点，3)        当时，有3个极值点．                       …………8分②证明：因为有3个极值点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），此时，，x1，x2，x3的位置如右图所示：所以，且x2＝1，即得，   要证，即          由，得，设，k＞1， 则，所以x3﹣x1＝lnk，                   联立，得，所以，所以要证x1x3＜1，只需，k＞1，                ……………….10分则有，即，则需证明．令，t＞1，即需证明．因为恒成立，所以h（t）在t∈（1，+∞）上是单调递减函数，则有，即成立，所以x1x3＜1，即得以证明． ………12分