吉林省长春市“BEST合作体”2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理） 试题（含答案）

长春市“BEST合作体”2020-2021学年度下学期期中考试

高二数学（理科）试题

   2021年5月

本试卷分主观题和客观题两部分共22题，共150分，共4页。考试时间为120分钟。考试结束后，只交答题卡。

第Ⅰ卷  选择题

1.下列求导运算正确的是（    ）           

A.         B.      C.     D.

  2.已知是虚数单位，则  =（   ）           

A.                    B.                         C.                 D. 

3.若曲线的切线方程为y=kx+2，则k=（     ）           

A. ﹣1                                     B. 1                                         C. ﹣3                                         D. 3

4.从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（    ）           

A. 210                                     B. 420                                     C. 630                                     D. 840

5.抛物线和直线所围成的封闭图形的面积是（    ）           

A. 16                                       B. 18                                        C. 20                                        D. 22

6．函数f（x）＝的图象大致为（　　）

A． B． 

C． D．

7.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为（    ）           

A.                                    B.                                     C.                                     D. 

8.以下说法中正确个数是（    ） 

①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；②欲证不等式  成立，只需证  ；③用数学归纳法证明，在验证  成立时，左边所得项为  ；④“凡是自然数都是整数，0是自然数，所以0是整数.”以上三段论推理完全正确.

A. 1                                        B. 2                                        C. 3                                        D. 4

9.若函数  有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（     ）           

A.                            B.                            C.                            D. 

10.已知  ， 则等于（     ）           

A. 29                                         B. 49                                          C. 39                                          D. 1

11.已知函数   ( 为自然对数的底数)，若  在 上恒成立，则实数  的取值范围是（   ）           

A.                      B.                        C.                   D. 

12.一个五位自然数  ，当且仅当    时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（   ）           

A. 110                                      B. 137                                      C. 145                                      D. 146

第Ⅱ卷  共10题

二、填空题（共4题；共20分）

13．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝____________

14.的展开式中x2的系数为____________

15. 已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________．

16. 已知函数 的定义域为  ，且满足  （  是 的导函数），则不等式  的解集为________．              

三、解答题（共6题；共70分）

17.设函数  ，其中  ,已知  在  处取得极值．   

（1）求  的解析式；   

（2）求 在点  处的切线方程．   

18如图，从左到右有5个空格. 

（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？   

（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？   

（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？   

19.已知二项式 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：   

（1）求  的值；   

（2）求展开式中常数项；   

（3）计算式子 的值.   

20.已知函数    

（1）讨论  的单调性；   

（2）若函数   在区间   内恰有两个零点，求   的取值范围．   

21.北京市政府为做好 APEC 会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知该海产品第一轮检测不合格的概率为  ，第二轮检测不合格的概率为  ，两轮检测是否合格相互没有影响.   

（1）求该海产品不能销售的概率.   

（2）如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利 元，求 的分布列.  

22已知函数  （ 为自然对数的底数）， 是 的导函数. 

（Ⅰ）当  时，求证  ；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得  对一切  恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.

长春市“BEST合作体”2020-2021学年度下学期期中考试

高二数学（理科）试题答案

 2021年5月

一、选择题

二、填空题

13.   1+或-1-2      14. 30   15.       16.  （1，2）  

三、解答题

17.【答案】 （1）解： .  

因为 在 处取得极值，所以 ，

解得 ，所以

（2）解： 点在 上，由（1）可知 ，  

，所以切线方程为

18 【答案】 （1）解：利用排除法： 种.
（2）解：根据乘法原理得到：共有 种涂法.
（3）解：若分成 的 组，则共有 种分法；  

若分成 的 组，则共有 种分法，

故共有 种放法.

19.【答案】 （1）解：依题意， ，即 ，解得 ；
（2）解：由（1）知 ，∴ ，  

，

由 ，得 ， 展开式中常数项 ．

（3）解：令 得   ．

20.    【答案】 （1）解：     

①当   时，   ，故   在   单调递增；

②当   时，由   得   （舍去负值）

当   时，   ，故 在   上单调递减；

当   时， ，故 在   单调递增.

综上：当 时， 在 单调递增；

当   时， 在 上单调递减，在 单调递增.

（2）解：当 时，由（1）知 在 上单调递增，故 在区间   内至多有一个零点，  

当   时，由（1）知 在 上的最小值为  

若 在区间 内恰有两个零点，则需满足

即 整理的 所以

故 的取值范围为

21.【答案】 （1）解：记“该产品不能销售”为事件 ，  

则 （A） ，所以，该产品不能销售的概率为  ；

（2）解：由已知， 的可能取值为 ， ， ，40，160  

计算 ， ，

， ，

；

所以 的分布列为

22【答案】 解：（Ⅰ）当 时， ，则   ，  

令 ，则   ，

令 ，得 ，故 在 时取得最小值，

在 上为增函数，

 ，

（Ⅱ）   ，

由 ，得 对一切 恒成立，

当 时，可得 ，所以若存在，则正整数 的值只能取1,2.

下面证明当 时，不等式恒成立，

设   ，则   ，

由（Ⅰ）   ，   ，

当 时，   ；当 时，   ，

即 在 上是减函数，在 上是增函数，

 ,

当 时，不等式恒成立

所以a的最大值是2.