高考数学(理数)二轮复习高考大题专项练04《统计概率》AB卷（教师版）

四　统计概率(A)

1.某人租用一块土地种植一种瓜类作物,根据以往的年产量数据,得到年产量频率分布直方图如图所示,以各区间中点值作为该区间的年产量,得到平均年产量为455 kg.已知当年产量低于450 kg时,单位售价为12元/kg,当年产量不低于450 kg时,单位售价为10元/kg.

(1)求图中a,b的值;

(2)估计年销售额大于3 600元小于6 000元的概率.

2.某地区高考实行新方案,规定:除必考语文、数学和英语外,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目,若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.假如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.

某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:

(1)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人?

(2)假设男生、女生选择选考科目是相互独立的,从选考方案确定的8位男生中随机选出1人,从选考方案确定的10位女生中随机选出1人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率;

(3)从选考方案确定的8名男生中随机选出2名,设随机变量ξ=

求ξ的分布列及数学期望E(ξ).

3.在一次全国高中五省大联考中,有90万名学生参加,考后对所有学生成绩统计发现,英语成绩服从正态分布N(μ, σ2).用茎叶图列举了20名学生的英语成绩,巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9,且这20个数据的方差为49.9.

(1)求μ,σ.

(2)给出正态分布的数据:

P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7,

P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5.

①若从这90万名学生中随机抽取1名,求该生英语成绩在(82.1, 103.1)的概率;

②若从这90万名学生中随机抽取1万名,记X为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数,求X的数学期望.

4.近年来,微信越来越受欢迎,许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息,微信是现代生活中进行信息交流的重要工具,而微信支付为用户带来了全新的支付体验,支付环节因此变得简便而快捷,某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计,其中40岁以下占,采用微信支付的占,40岁以上采用微信支付的占.

(1)请完成下面2×2列联表:

并由列联表中所得数据判断在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”?

(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,从“40岁以上”的人中抽取1人,了解使用微信支付的情况,问至少有一人使用微信支付的概率为多少?

参考公式:K2=,

n=a+b+c+d.

参考数据:

四　统计概率(B)

1.第23届冬奥会在韩国平昌举行,4年后,第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行,为了宣传冬奥会,某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天,从全校学生中随机抽取了120名学生,对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查,统计数据如下:

(1)根据上表说明,能否有99%的把握认为,收看开幕式与性别有关?

(2)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中,采用按性别分层抽样的方法选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.

①问男、女学生各选取了多少人?

②若从这12人中随机选取3人到校广播站作冬奥会及冰雪项目的宣传介绍,设选取的3人中女生人数为X,写出X的分布列,并求E(X).

2.观察研究某种植物的生长速度与温度的关系,经过统计,得到生长速度(单位:毫米/月)与月平均气温的对比表如下:

(1)求生长速度y关于温度t的线性回归方程(斜率和截距均保留三位有效数字).

(2)利用(1)中的线性回归方程,分析气温从-5 ℃至 20 ℃ 时生长速度的变化情况,如果某月的平均气温是2 ℃时,预测这月大约能生长多少.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

==,=-.

3.为了了解市民对开设传统文化课的态度,教育机构随机抽取了200位市民进行了解,发现支持开展的占75%,在抽取的男性市民120人中持支持态度的为80人.

(1)完成2×2列联表,并判断是否有99.9%的把握认为性别与支持与否有关?

(2)为了进一步征求对开展传统文化的意见和建议,从抽取的200位市民中对不支持的按照分层抽样的方法抽取5位市民,并从抽取的5人中再随机选取2人进行座谈,求选取的2人恰好为1男1女的概率.

附:K2=.

4.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如图频率分布直方图,

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);

②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求E(X).

附:≈12.2.若Z～N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 7,则P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 5.

参考答案A卷

1.解:(1)由频率分布直方图的性质得100(a+0.001 5+b+0.004)=1,

得100(a+b)=0.45,

由300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15=455,

得300a+500b=2.05,

解方程组

得a=0.001 0,b=0.003 5.

(2)由(1)结合频率分布直方图知,

当年产量为300 kg时,其年销售额为3 600元,

当年产量为400 kg时,其年销售额为4 800元,

当年产量为500 kg时,其年销售额为5 000元,

当年产量为600 kg时,其年销售额为6 000元,

因为年产量为400 kg的频率为0.4,即年销售额为4 800元的频率为0.4,

而年产量为500 kg的频率为0.35,即年销售额为5 000元的频率为0.35,

故估计年销售额大于3 600元小于6 000元的概率为0.05+0.4+0.35+0.075=0.875.

2.解:(1)由题意可知,选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人,选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人,

该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有××420=140人,

(2)由数据可知,选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为=;选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为.所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为×=.

(3)由数据可知,选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物;有2人选择物理、化学和历史 ;有1人选择物理、化学和地理;有1人选择物理、化学和政治.

由已知得ξ的取值为1,2.

P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,(或P(ξ=2)=1-P(ξ=1)=).

所以ξ的分布列为

所以E(ξ)=1×+2×=.

3.解:(1)因为通过计算可得这20个数据的平均数为=90,所以由题可得μ=90- 0.9=89.1,σ==7.

(2)①因为μ=89.1,σ=7,所以(82.1,103.1)=(μ-σ,μ+2σ),

所以该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率为

=0.818 6.

②由题可得X服从二项分布B(10 000,0.818 6),

所以E(X)=10 000×0.818 6=8 186.

4.解:(1)由已知可得,40岁以下的有100×=60人,

使用微信支付的有60×=40人,40岁以上使用微信支付的有40×=10人.

所以2×2列联表为

由列联表中的数据计算可得K2的观测值为k==,由于>10.828,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”.

(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,这两人使用微信支付分别记为A,B,则P(A)=P(B)=,从“40岁以上”的人中抽取1人,这个人使用微信支付记为C,则P(C)=,显然A,B,C相互独立,则至少有一人使用微信支付的概率为1-P( )=1-××=,故至少有一人使用微信支付的概率   为.

参考答案B卷

1.解:(1)因为K2==7.5>6.635,所以有99%的把握认为收看开幕式与性别有关.

(2)①根据分层抽样方法抽得男生×12=9人,女生×12=3人,

所以选取的12人中,男生有9人,女生有3人.

②由题意可知,X的可能取值有0,1,2,3.

P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,

所以X的分布列如下

所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.

2.解:(1)由题可知

==8,==6,

tiyi=-10+0+30+48+84+120+200=472,=25+0+36+64+144+225+400=894,

则==≈0.305,=- ≈6-0.305×8=3.56,

于是生长速度y关于温度t的线性回归方程为y=0.305t+3.56.

(2)利用(1)的线性回归方程可以发现,月平均气温从-5 ℃至20 ℃时该植物生长速度逐渐增加,如果某月的平均气温是2 ℃时,预测这月大约能生长3.56+0.305×2=4.17毫米.

3.解:(1)抽取的男性市民为120人,持支持态度的为200×75%=150人,

男性公民中持支持态度的为80人,列出2×2列联表如下:

所以K2==≈11.11>10.828,

所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,可以认为性别与支持与否有关.

(2)抽取的5人中抽到的男性的人数为5×=4,

女性的人数为5×=1.

则从5人中随机选取2人,其中恰好为1男1女的概率为P==.

4.解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=170× 0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230× 0.02=200,

s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.

(2)①由(1)知,Z～N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+ 12.2)=0.682 7.

②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 7,

依题意知X～B(100,0.682 7),

所以E(X)=100×0.682 7=68.27.