【难点解析】2022年北京市房山区中考数学第二次模拟试题（含答案详解）

2022年北京市房山区中考数学第二次模拟试题

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、将抛物线y＝2x2向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（    ）

A．y＝2（x﹣3）2 B．y＝2（x＋3）2 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2＋3

2、如图，OM平分，，，则（    ）．

A．96° B．108° C．120° D．144°

3、观察下列图形：它们都是由同样大小的圆圈按一定的规律组成，其中第1个图形有5个圆圈，第2个图形有9个圆圈，第3个图形有13个圆圈，……，按此规律，第7个图形中圆圈的个数为（    ）

A．21 B．25 C．28 D．29

4、如图，在中，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

5、在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）与点B（0，1）关于某条直线成轴对称，这条直线是（　　）

A．轴 B．轴

C．直线（直线上各点横坐标均为1） D．直线（直线上各点纵坐标均为1）

6、已知点A（m，2）与点B（1，n）关于y轴对称，那么m+n的值等于（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2

7、如图，点C、D分别是线段AB上两点（，），用圆规在线段CD上截取，，若点E与点F恰好重合，，则（    ）

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5

8、如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕着点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论：①连接AM，则AM∥FB；②连接FE，当F，E，M共线时，AE＝4﹣4；③连接EF，EC，FC，若△FEC是等腰三角形，则AE＝4﹣4，其中正确的个数有（　　）个．

A．3 B．2 C．1 D．0

9、下列四个实数中，无理数是（　　）

A． B．0.131313… C． D．

10、若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax﹣2b＝0的解，则4b﹣2a的值为（    ）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则a的值为______．

2、深圳某商场为吸引顾客，设置了一种游戏，其规则如下：在一个不透明的纸箱中装有红球和白球共10个，这些球除颜色外都相同．凡参与游戏的顾客从纸箱中随机摸出一个球，如果摸到红球就可免费得到一个吉祥物，摸到白球没有吉祥物．据统计，参与这种游戏的顾客共有5000人，商场共发放了吉祥物1500个．则该纸箱中红球的数量约有 _____个．

3、一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y＝的图象交点的纵坐标为2，当﹣3＜x＜﹣1时，反比例函数y＝中y的取值范围是 _____．

4、已知是二元一次方程的一个解，那么_______．

5、中午放学后，有a个同学在学校一食堂门口等侯进食堂就餐，由于二食堂面积较大，所以配餐前二食堂等待就餐的学生人数是一食堂的2倍，开始配餐后，仍有学生续前来排队等候就餐，设一食堂排队的学生人数按固定的速度增加，且二食堂学生人数增加的速度是一食堂的2倍，两个食堂每个窗口阿姨配餐的速度是一样的，一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放2个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；若需要在15分钟内配餐完毕，则两个食堂至少需要同时一共开放___个配餐窗口．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在平面直角坐标系中，顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到，其中A、B、C分别和D、E、F对应．

（1）请通过画图找出旋转中心M，点M的坐标为______．

（2）直接写出点A经过的路径长为______．

2、在ABC中，，，AD为ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作，射线EM与射线BA交于点F．

（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；

（2）如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，

①依题意，补全图形；

②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．

（3）当点E在线段AD的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．

3、如图，抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，﹣3)．

（1）求AB的长．

（2）将点A向上平移n个单位至点E，过点E作DFx轴，交抛物线与点D，F．当DF＝6时，求n的值．

4、如图，一次函数与反比例函数（k≠0）交于点A、B两点，且点A的坐标为（1，3），一次函数与轴交于点C，连接OA、OB．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求点B的坐标及的面积；

（3）过点A作轴的垂线，垂足为点D．点M是反比例函数第一象限内图像上的一个动点，过点M作轴的垂线交轴于点N，连接CM．当与Rt△CNM相似时求M点的坐标．

5、计算：

（1）（2a﹣b）2﹣b（2a＋b）；

（2）（﹣a﹣1）÷．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

根据“上加下减”的原则进行解答即可．

【详解】

解：将抛物线y=2x2向下平移3个单位后的新抛物线解析式为：y=2x2-3．

故选：C．

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．

2、B

【分析】

设，利用关系式，，以及图中角的和差关系，得到、，再利用OM平分，列方程得到，即可求出的值．

【详解】

解：设，

∵，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

∵OM平分，

∴，

∴，解得．

．

故选：B．

【点睛】

本题通过图形中的角的和差关系，利用方程的思想求解角的度数．其中涉及角的平分线的理解：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．

3、D

【分析】

根据已知图形得出第n个图形中圆圈数量为1+4×n=4n+1，再将n=7代入即可得．

【详解】

解：∵第1个图形中圆圈数量5=1+4×1，

第2个图形中圆圈数量9=1+4×2，

第3个图形中圆圈数量13=1+4×3，

……

∴第n个图形中圆圈数量为1+4×n=4n+1，

当n=7时，圆圈的数量为29，

故选：D．

【点睛】

本题考查规律型-图形变化类问题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题．

4、C

【分析】

由三角函数的定义可知sinA=，可设a=5k，c=13k，由勾股定理可求得b，再利用余弦的定义代入计算即可．

【详解】

解：在直角三角形ABC中，∠C=90°

∵sinA=，

∴可设a=5k，c=13k，由勾股定理可求得b=12k，

∴cosA=，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键．

5、C

【分析】

利用成轴对称的两个点的坐标的特征，即可解题．

【详解】

根据A点和B点的纵坐标相等，即可知它们的对称轴为．

故选：C．

【点睛】

本题考查坐标与图形变化—轴对称，掌握成轴对称的两个点的坐标的特点是解答本题的关键．

6、B

【分析】

关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此先求出m，n的值，然后代入代数式求解即可得．

【详解】

解：∵与点关于y轴对称，

∴，，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查点关于坐标轴对称的特点，求代数式的值，理解题意，熟练掌握点关于坐标轴对称的特点是解题关键．

7、A

【分析】

根据题意可得，，再由即可得到答案．

【详解】

解：CE=AC，DF=BD，点E与点F恰好重合，

∴CE=AC，DE=BD，

∴，，

∴，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了与线段中点有关的计算，解题的关键在于能够根据题意得到，．

8、A

【分析】

①正确，如图1中，连接AM，延长DE交BF于J，想办法证明BF⊥DJ，AM⊥DJ即可；

②正确，如图2中，当F、E、M共线时，易证∠DEA=∠DEM=67.5°，在MD上取一点J，使得ME=MJ，连接EJ，设AE=EM=MJ=x，则EJ=JD=x，构建方程即可解决问题；

③正确，如图3中，连接EC，CF，当EF=CE时，设AE=AF=m，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

【详解】

解：①如下图，连接AM，延长DE交BF于J，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠DAE=∠BAF=90°，

由题意可得AE=AF，

∴△BAF≌△DAE(SAS)，

∴∠ABF=∠ADE，

∵∠ADE+∠AED=90°，∠AED=∠BEJ，

∴∠BEJ+∠EBJ=90°，

∴∠BJE=90°，

∴DJ⊥BF，

由翻折可知：EA=EM，DM=DA，

∴DE垂直平分线段AM，

∴BF∥AM，故①正确；

②如下图，当F、E、M共线时，易证∠DEA=∠DEM=67.5°，

在MD上取一点J，使得ME=MJ，连接EJ，

则由题意可得∠M=90°，

∴∠MEJ=∠MJE=45°，

∴∠JED=∠JDE=22.5°，

∴EJ=JD，

设AE=EM=MJ=x,则EJ=JD=x，

则有x+x =4，

∴x=4﹣4，

∴AE=4﹣4，故②正确；

③如下图，连接CF，

当EF=CE时，设AE=AF=m，

则在△BCE中，有2m²=4²+(4-m)2，

∴m=4﹣4或-4﹣4 (舍弃)，

∴AE=4﹣4，故③正确；

故选A．

【点睛】

本题考查旋转变换，翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

9、D

【分析】

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．无理数包括无线不循环小数和开方不能开尽的数，由此即可判定选择项．

【详解】

解：A．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

B．0.131313…是无限循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；

C．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；

D．是无理数，故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

题目主要考查立方根，无理数，有理数，理解无理数的定义是解题关键．

10、D

【分析】

将x=1代入原方程即可求出答案．

【详解】

解：将x=1代入原方程可得：1+a-2b=0，

∴a-2b=-1，

∴原式=-2（a-2b）

=2，

故选：D．

【点睛】

本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．

二、填空题

1、-3

【分析】

两个方程相加得出3x+3y=3a+9，根据已知条件x，y互为相反数知x+y=0，得出关于a的方程，解方程即可．

【详解】

解：两个方程相加得：3x+3y=3a+9，

∵x、y互为相反数，

∴x+y=0，

∴3x+3y=0，

∴3a+9=0，

解得：a=-3，

故答案为：-3．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解、互为相反数的性质；根据题意得出关于a的方程是解决问题的关键．

2、3

【分析】

先求出得到吉祥物的频率，再设纸箱中红球的数量为x个，根据题意列出方程，解之即可．

【详解】

解：由题意可得：

参与该游戏可免费得到吉祥物的频率为=，

设纸箱中红球的数量为x个，

则，

解得：x=3，

所以估计纸箱中红球的数量约为3个，

故答案为：3．

【点睛】

本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

3、＜y＜2

【分析】

把一个交点的纵坐标是2代入y=-x+1求出横坐标为-1，把（-1，2）代入y＝求出k，令-3＜x＜-1，求出y＝的取值范围，即可求出y的取值范围．

【详解】

解：令y=2，则2=-x+1，

∴x=-1，

把（-1，2）代入y＝，

解得：k=-2，

∴反比例函数为y＝，

当x=-3时，代入y＝得y=，

∴x=-3时反比例函数的值为：，

当x=-1时，代入y=得y=2，

又知反比例函数y=在-3＜x＜-1时，y随x的增大而增大，

即当-3＜x＜-1时反比例函数y的取值范围为：＜y＜2．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点及正比例函数与反比例函数的性质，难度不大，关键是掌握用待定系数法求解函数的解析式．

4、##

【分析】

把代入，即可求出a的值．

【详解】

解：由题意可得：，

，

解得：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．

5、29

【分析】

设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，根据“一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放20个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕”，即可得出关于x，y，a的三元一次方程组，解之即可用含y的代数式表示出a，x，设设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，根据需要在15分钟内配餐完毕，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．

【详解】

解：设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，

依题意得：，

∴，

设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，

依题意得：15my≥a+2a+15×（x+2x），

解得：m≥29．

故答案为：29．

【点睛】

本题考查了三元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．

三、解答题

1、

（1）

（2）

【分析】

（1）根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论．

（2）根据经过的路径长为以为圆心，3为半径的圆周长的即可求解．

（1）

解：连接，分别作的垂直平分线交点即为所求，如下图：

，

故答案是：；

（2）

解：由题意及下图，

知点经过的路径长为以为圆心，3为半径的圆周长的，

点经过的路径长为：，

故答案是：．

【点睛】

本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解旋转中心是对应点连线段的垂直平分线的交点．

2、（1）见解析；（2），证明见解析；（3）当时，,当时，

【分析】

（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，，从而可得在中，，进而即可求解；

（2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论；

（3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论．

【详解】

（1）∵，

∴是等腰三角形，

∵，

∴,，

∵AD为ABC的中线，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴；

（2），证明如下：

如图2，在线段AB上取点G，使，

∵，

∴是等边三角形，

∴，，

∵是等腰三角形，AD为ABC的中线，

∴，，

∴，即，

∵，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

∴；

（3）当时，如图3所示：

与（2）同理：在线段AB上取点H，使，

∵，

∴是等边三角形，

∴，，

∵是等腰三角形，AD为的中线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

当时，如图4所示：

在线段AB的延长线上取点N，使，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∵

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

∴， 

∴，

∴．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．

3、（1）AB的长为4；（2）n的值为5．

【分析】

（1）利用二次函数表达式，求出其与x轴的交点、的坐标，其横坐标之差的绝对值即为AB的长．

（2）利用二次函数的对称性，求出F点的横坐标，代入二次函数表达式，求出纵坐标，最后求得n的值．

【详解】

（1）解：把（0，-3）代入y=x2-2x-c

得c=-3，

令y=x2-2x-3=0，

解得x1=3，x2=-1，

∴A（-1，0），B（3，0），

∴AB=3-(-1)=4．

（2）解：作对称轴x=1交DF于点G，G点横坐标为1，如图所示：

由题意可设：点F坐标为（，），

、关于二次函数的对称轴．

DG=GF==3，

∴，

∴n=5．

【点睛】

本题主要是考查了二次函数与x轴交点坐标以及二次函数的对称性，熟练应用二次函数的对称性进行解题，是求解这类二次函数题目的关键．

4、（1）一次函数表达式为，反比例函数表达式为；（2），；（3）或

【分析】

（1）把分别代入一次函数与反比例函数，解出，即可得出答案；

（2）把一次函数和反比例函数联立求解即可求出点B坐标，令代入一次函数解出点C坐标，由即可；

（3）根据相似三角形的判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，找出对应边成比例求解即可．

【详解】

（1）把代入一次函数得：，

解得：，

∴一次函数表达式为，

把代入反比例函数得：，即，

∴反比例函数表达式为；

（2），

解得：或，

∴，

令代入得：，

∴，

∴；

（3）

①当时，，

，，，，

∴，即，

解得：，，

∵M在第一象限，

∴，，

∴，

②当时，，

∴，即，

解得：，，

∵M在第一象限，

∴，，

∴，

综上，当与相似时，M点的坐标为或．

【点睛】

本题考查反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质，掌握相关知识点的应用是解题的关键．

5、

（1）4a2-6ab

（2）

【分析】

（1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后再算加减；

（2）先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的．

【小题1】

解：原式=4a2-4ab+b2-2ab-b2

=4a2-6ab；

【小题2】

原式=

=

=

【点睛】

本题考查整式的混合运算，分式的混合运算，掌握完全平方公式的结构及通分和约分的技巧是解题关键．