2022年高考二轮复习数学（文）专题检测10《直线与圆》（教师版）

这是一份2022年高考二轮复习数学（文）专题检测10《直线与圆》（教师版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 因为两直线平行，所以斜率相等，即－eq \f(2,a)＝－eq \f(b,2)，可得ab＝4，
又当a＝1，b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，故选C.
2．已知直线l1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为( )
A．(3，eq \r(3)) B．(2，eq \r(3))
C．(1，eq \r(3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))
解析：选C 直线l1的斜率k1＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率k2＝－eq \f(1,k1)＝－eq \r(3)，所以直线l1的方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x＋2)，直线l2的方程为y＝－eq \r(3)(x－2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(\r(3),3)x＋2，,y＝－\r(3)x－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝\r(3)，))即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，eq \r(3))．
3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B 圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化为x2＋(y－a)2＝a2，由题意，M(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝eq \f(a,\r(2))，所以a2＝eq \f(a2,2)＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以两圆的圆心距为eq \r(2)，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．
4．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[eq \r(2)，3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]
解析：选A 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
则圆心C(2,0)，r＝eq \r(2)，
所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为eq \f(|2＋2|,\r(2))＝2eq \r(2)，
可得dmax＝2eq \r(2)＋r＝3eq \r(2)，dmin＝2eq \r(2)－r＝eq \r(2).
由已知条件可得|AB|＝2eq \r(2)，所以△ABP面积的最大值为eq \f(1,2)|AB|·dmax＝6，
△ABP面积的最小值为eq \f(1,2)|AB|·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
5．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为( )
A．(－3eq \r(2)，3eq \r(2))
B．(－∞，－3eq \r(2))∪(3eq \r(2)，＋∞)
C．(－2eq \r(2)，2eq \r(2))
D．[－3eq \r(2)，3eq \r(2) ]
解析：选A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d0，即12a2－5a>0，解得a>eq \f(5,12)或a0，b>0)，即bx＋ay－ab＝0，
由直线l与圆O相切，得eq \f(|－ab|,\r(b2＋a2))＝eq \r(2)，即eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＝eq \f(1,2)，
则|DE|2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))＝4＋eq \f(2b2,a2)＋eq \f(2a2,b2)≥8，
当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
B组——大题专攻补短练
1．已知点M(－1,0)，N(1,0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的eq \r(3)倍．
(1)求曲线E的方程；
(2)已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．当CD的斜率为－1时，求直线CD的方程．
解：(1)设曲线E上任意一点的坐标为(x，y)，
由题意得 eq \r(x＋12＋y2)＝eq \r(3)·eq \r(x－12＋y2)，
整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3为所求．
(2)由题意知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N(1，0)．
设曲线E的圆心为E，则E(2,0)，设线段CD的中点为P，连接EP，ED，NP，
则直线EP：y＝x－2.
设直线CD：y＝－x＋t，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－2，,y＝－x＋t，))解得点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t＋2,2)，\f(t－2,2)))，
由圆的几何性质，知|NP|＝eq \f(1,2)|CD|＝ eq \r(|ED|2－|EP|2)，
而|NP|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t＋2,2)－1))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t－2,2)))2，|ED|2＝3，|EP|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|2－t|,\r(2))))2，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t－2,2)))2＝3－eq \f(t－22,2)，整理得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3，
所以直线CD的方程为y＝－x或y＝－x＋3.
2．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心 在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解：(1)因为圆心在直线l：y＝2x－4上，也在直线y＝x－1上，
所以解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－4，,y＝x－1，))得圆心C(3,2)，
又因为圆的半径为1，
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，
又因为点A(0,3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，
设所求的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，
所以eq \f(|3k－2＋3|,\r(k2＋12))＝1，解得k＝0或k＝－eq \f(3,4)，
所以所求切线方程为y＝3或y＝－eq \f(3,4)x＋3，
即y－3＝0或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，
所以设圆心C为(a,2a－4)，
又因为圆C的半径为1，
则圆C的方程为(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1.
设M(x，y)，又因为|MA|＝2|MO|，则有
eq \r(x2＋y－32)＝2eq \r(x2＋y2)，
整理得x2＋(y＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D，
所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，
所以2－1≤ eq \r(a2＋2a－4＋12)≤2＋1，解得0≤a≤eq \f(12,5)，
所以圆心C的横坐标a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(12,5))).
3．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0,1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为eq \f(－1,x1)·eq \f(－1,x2)＝－eq \f(1,2)，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)，\f(1,2)))，
可得BC的中垂线方程为y－eq \f(1,2)＝x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(x2,2))).
由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－eq \f(m,2).
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(m,2)，,y－\f(1,2)＝x2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(x2,2)))，,x\\al(2,2)＋mx2－2＝0))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(m,2)，,y＝－\f(1,2).))
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,2)，－\f(1,2)))，半径r＝eq \f(\r(m2＋9),2).
故圆在y轴上截得的弦长为2eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)))2)＝3，
即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
4．已知定点M(1,0)和N(2,0)，动点P满足|PN|＝eq \r(2)|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B为(1)中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k.当k1k2＝3时，求k的取值范围．
解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，
因为M(1,0)，N(2,0)，|PN|＝eq \r(2)|PM|，
所以 eq \r(x－22＋y2)＝eq \r(2)·eq \r(x－12＋y2).
整理得，x2＋y2＝2.
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝2，,y＝kx＋b))消去y，整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2＝0.(*)
由Δ＝(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)>0，得b2