湖南省湘西自治州2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份湖南省湘西自治州2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了数学等内容，欢迎下载使用。

高一 数学
注意事项：
1．答卷前，考生先将自己的姓名填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在草稿纸、试卷上无效。
3．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
4．本试卷共4页，22小题，考试时量120分钟，满分150分。考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（i为虚数单位）的虚部是
A．B．C．D．
2．设为所在平面内一点，且，则
A．B．
C．D．
3．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高. 现随机抽取20位某地的村民，他们的幸福感指数为
则这组数据的上四分位数是
A．7.8B．9.5C．7.7D．9.4
4．某学校为加强学生新冠肺炎防控意识，组织防控知识问卷测试，共50道题. 已知甲，乙，丙，丁，戊五位同学在这次测试中答对的题数分别是48，50，50，48，49，则这五位同学答对题数的标准差是
A．1B． C．D．
5．已知，，，则与的夹角为
A．B． C．D．
6．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个半圆，则与该圆锥同底等高的圆柱的侧面积为
A． B．C．D．
7．某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是

A． B． C． D．
8．从1，2，3，4中取随机选出一个数字，记事件“取出的数字是1或2”，“取出的数字是1或3”， “取出的数字是1或4”，则命题“①与相互独立； ② 与相互独立；③与相互独立中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．0
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的是
A．若∥，∥，则∥
B．两个非零向量，，若，则与共线且反向
C．若∥，则存在唯一实数使得
D．若是三角形的重心，则
10．为了测量之间的距离，在河的南岸处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示. 下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有
A．c与 B．c与b
C．b,c与D．b, 与
11．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.则
A. 与互为对立 B.与互斥
C. 与互斥 D.与不互斥
12．在直三棱柱中，是的中点. .则下列结论正确的是
A．点到平面的距离是
B．异面直线与的角的余弦值是
C．若P为侧面 (含边界)上一点，满足∥平面，则线段长的最小值是5.
D．过的截面是钝角三角形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知（是虚数单位），在复平面上，对应的点在第 象限.
14．已知△ABC的外接圆圆心为，半径为1，且向量，则向量在向量方向上的投影长度是 .
15．在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间（包括1和5）的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．当出现随机数4和5时，表示一局比赛乙获胜，其概率为0.4.由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
543 443 512 541 125 342 334 151 314 354
相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为 (精确到0.01)．
16．正方形ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，现将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于一点. 若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
平面向量
（Ⅰ）若且，求的坐标；
（Ⅱ）若满足（Ⅰ）且的横坐标为正，试求使成立的实数的值．
18．（本题满分12分）
若△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c、，且.
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=6，求b、c的值.
19．（本小题满分12分）
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若PA=2，AD=4，求直线CE与平面ABCD所成的角正切值.
20．(本小题满分12分)
矮寨大桥飞越在湘西德夯峡谷之巅，是世界跨峡谷跨径最大的钢桁梁悬牵索桥，是连接湘渝的重要交通设施、更是湘西的标志性景点。大桥跨径1176米，桥面距离谷底355米，2012年3月建成通车。为了解矮寨大桥所在地的实际通行所需时间，随机抽取了台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[35，50]内，按通行时间分为[35，38），[38，41），[41，44），[44，47），[47，50]五组，其中通行时间在[38，47）的车辆有315台，频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）求实数、的值，并估计样本数据的平均数；
（Ⅱ）为了进一步了解车辆的通行状况，按第一组和第五组进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5辆汽车，再从这5辆汽车中随机抽取2辆汽车（司机）进行问卷调查，求抽取的这2辆汽车（司机）恰好来自同一组的的概率.
21．(本小题满分12分)
已知是实数，是虚数单位.
（Ⅰ）若求的模.
（Ⅱ）若， 且，试求的取值范围．
22．(本小题满分12分)
如图， 在三棱锥A-BCD中， 平面平面，为BD的中点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若是边长为3的等边三角形，点E在棱AD上, 且三棱锥A-BCD的体积是，试求二面角E-BC-D的大小.
湘西自治州2020-2021学年第二学期期末质量检测
高一数学参考答案
一、单选题: 1．D 2．A 3．B 4．B 5．D 6．A 7．D 8．C
二、多选题： 9．BD 10．ABC 11．AD 12．AD
三、填空题：13．一；14．；15．；16．
四、解答题：
17． 解：（Ⅰ）设 则
， ，即 ①……2分
又由 得 ②…………3分
联立①②，解之得或
故或
注：只得一个答案扣1分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知……7分
，，
解之得：．………………10分
18．解：（Ⅰ）由题设条件知…………2分

（Ⅱ）由得：…………8分
…………11分
……12分
19．解：（Ⅰ）证明： 连接BD与AC相交于点O，
则O为BD的中点，又E是PD的中点， …………2分
又平面，平面…4分
平面…………5分
（Ⅱ）设AD的中点为F，连接EF，则，且 又PA⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD……7分
所以CF是CE在平面ABCD上的射影…………8分
故就是直线CE与平面ABCD所成的角…9分
在正方形ABCD中，F是AD的中点，
在中，，，…11分
故直线CE与平面ABCD所成的角正切值是……12分
20．解：（Ⅰ）因为通行时间在[38，47）对
应的频率为，……1分
由得：…………2分
故所求样本数据的平均数的估计值是：
m…………5分
（Ⅱ）通行时间在第一组的车辆有辆通行时间在第五组的车辆有辆…………7分
由于，所以在第一组、第二组中抽取的样本数是分别是2和3…8分
记从第一组的抽到的两个样本为，从第五组的抽到的三个样本为，用表示样本点（视为有序，即分别表示第一、第二次抽取的样本），则样本空间为
共20个样本点…………10分
记事件A：两位样本来自同一组，则共8个样本点………11分
∴………………12分
法2：前同法1，记从第一组的抽到的两个样本为，从第五组的抽到的三个样本为，用表示样本点（视为无序），则样本空间为
共10个样本点………………10分
记事件A=“两位样本来自同一组”，
则共4个样本点…………11分
∴.…………12分
21．解：(Ⅰ)因为，
………………3分
………………5分
（Ⅱ）由题意得： …………7分 消去并整理得：
…………10分
因，当时， …………11分
当时，
故的取值范围是………………12分
22．解：（Ⅰ）在中，，为的中点，
……1分
又平面平面，而平面平
面，平面……3分
平面 ……5分
（Ⅱ）在中，由是中点及是边长为3的等边三角形知，，， 即 ………………6分
过点E作交于，由(Ⅰ)知平面,
平面，而平面，……7分
过点作交于，由得……8分
所以是二面角E-BC-D的平面角……9分
从而由及得：
因从而由 及 平面 得：
……10分
在中，由与知，
在中，由知，又，
在中，由知
故所求二面角E-BC-D的平面角为……12分