北师大版必修27.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积教学演示课件ppt

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§7　简单几何体的再认识
7.2　柱、锥、台的体积
被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的4000多年的漫长岁月中，一直是世界上最高的建筑物．在4000多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成宏伟的大金字塔的，这真是一个十分难解的谜．胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑物，塔底边长230m，塔高146.5m，你能收集数据并计算建此金字塔用了多少石块吗？
1．棱柱和圆柱的体积柱体(棱柱和圆柱)的体积公式：V柱体＝________，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．特别地，圆柱的体积公式可表示为：V圆柱＝Sh＝πr2h，其中r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．
[解析]　设正方体的棱长为a，则6a2＝96，所以a＝4，于是正方体的体积为a3＝64．
2．已知直角三角形两直角边长分别为a、b，分别以这两个直角边为轴，旋转所形成的几何体的体积比为(　　)A．a∶bB．b∶a C．a3∶b3D．b3∶a3
3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)A．20πB．24π C．28πD．32π
4．正方体的棱长都增加1cm，它的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长是____cm．[解析]　设正方体的棱长为xcm，则(x＋1)3＝8x3，解得x＝1．
5．设正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为_____．
命题方向1　⇨求柱体的体积
『规律总结』　求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形，进而求解．
〔跟踪练习1〕如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图②．求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
命题方向2　⇨锥体的体积
[思路分析]　对于棱锥Q－ABCD，其底面为正方形ABCD，高即为QA，易求体积；对于三棱锥P－DCQ，若以△DCQ为底面，则应证明PQ是其高，然后再计算，也可将三角形CDP作为底面，这时其高易证即为AD，从而可求体积．
命题方向3　⇨求台体的体积
　　　　　　已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积．[思路分析]　可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而解出体积．
[解析]　如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．
『规律总结』　求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．
命题方向4　⇨组合体的体积
　　　　　如图是一个物体的三视图(单位：cm)，试画出它的直观图，并计算此物体的体积(精确到0.01cm3)．
[思路分析]　由三视图还原物体，并根据三视图给出的数据求出原物体的有关数据．
『规律总结』　此类问题的解决关键是利用三视图获取体积公式中所涉及的基本量的有关信息，这要依靠对三视图的理解和把握．注意，计算组合体的体积时，应考虑将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几何体的体积．
1．等积变换(1)直线a∥b(如图(1))，c是a上一点，则对于a上任一点D，有S△ABC＝S△ABD．(2)若平面α∥平面ABC，且平面α经过点D，则对于平面α内任一点P，有VD－ABC＝VP－ABC．
转化思想在立体几何中的应用——割与补、等积变换　
(3)对于三棱锥A－BCD，有VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC．
2．割与补当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补法．
　　　　　　如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求多面体的体积．
〔跟踪练习5〕三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为(　　)A．1∶1∶1　　　　B．1∶1∶2C．1∶2∶4D．1∶4∶4
　　　　　正四棱台的斜高是10cm，两底面边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的体积．
[辨析]　台体的体积公式中的h是指台体的高，本题错解将高与斜高混淆．
课 时 作 业 学 案