2023届高考一轮复习讲义（理科）第三章　导数及其应用 第3讲　高效演练分层突破学案

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1．定积分eq \i\in(0,1,)(3x＋ex)dx的值为( )
A．e＋1 B．e
C．e－eq \f(1,2) D．e＋eq \f(1,2)
解析：选D.eq \i\in(0,1,)(3x＋ex)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x2＋ex))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,0))＝eq \f(3,2)＋e－1＝eq \f(1,2)＋e.
2．若f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg x，x＞0，,x＋\a\vs4\al(\i\in(0,a,)3t2dt，x≤0，)))f(f(1))＝1，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：选A.因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝eq \i\in(0,a,)3t2dt＝t3eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a,0))＝a3，所以由f(f(1))＝1得a3＝1，所以a＝1.
3．若f(x)＝x2＋2eq \i\in(0,1,)f(x)dx，则eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝( )
A．－1 B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(1,3) D．1
解析：选B.因为f(x)＝x2＋2eq \i\in(0,1,)f(x)dx，
所以eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3＋2x\a\vs4\al(\i\in(0,1,)f（x）dx)))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,0))
＝eq \f(1,3)＋2eq \i\in(0,1,)f(x)dx，所以eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝－eq \f(1,3).
4．设f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(1－x2)，x∈[－1，1]，,x2－1，x∈（1，2]，))则eq \i\in(－1,2,)f(x)dx的值为( )
A.eq \f(π,2)＋eq \f(4,3) B．eq \f(π,2)＋3
C.eq \f(π,4)＋eq \f(4,3) D．eq \f(π,4)＋3
解析：选A.eq \i\in(－1,2,)f(x)dx＝eq \i\in(－1,1,)eq \r(1－x2)dx＋eq \i\in(1,2,)(x2－1)dx＝eq \f(1,2)π×12＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－x))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2,1))＝eq \f(π,2)＋eq \f(4,3)，故选A.
5.由曲线y＝x2和曲线y＝eq \r(x)围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(3,10)
C.eq \f(1,4) D．eq \f(1,5)
解析：选A.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y＝\r(x)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))所以阴影部分的面积为eq \i\in(0,1,)(eq \r(x)－x2)dx＝eq \f(1,3).故选A.
6．定积分eq \i\in(－1,1,)(x2＋sin x)dx＝________．
解析：eq \i\in(－1,1,)(x2＋sin x)dx
＝eq \i\in(－1,1,)x2dx＋eq \i\in(－1,1,)sin xdx
＝2eq \i\in(0,1,)x2dx＝2·eq \f(x3,3)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,0))＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
7.eq \i\in(－1,1,)(x2tan x＋x3＋1)dx＝________．
解析：因为x2tan x＋x3是奇函数．
所以eq \i\in(－1,1,)(x2tan x＋x3＋1)dx＝eq \i\in(－1,1,)1dx＝x|eq \\al(1,－1)＝2.
答案：2
8．一物体受到与它运动方向相反的力：F(x)＝eq \f(1,10)ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时F(x)所做的功等于________．
解析：由题意知W＝－eq \i\in(0,1,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)ex＋x))dx
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)ex＋\f(1,2)x2))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,0))＝－eq \f(e,10)－eq \f(2,5).
答案：－eq \f(e,10)－eq \f(2,5)
9．求下列定积分：
(1)eq \i\in(1,2,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－x2＋\f(1,x)))dx；
(2)eq \i\in(－π,0,)(cs x＋ex)dx.
解：(1)eq \i\in(1,2,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－x2＋\f(1,x)))dx＝eq \i\in(1,2,)xdx－eq \i\in(1,2,)x2dx＋eq \i\in(1,2,)eq \f(1,x)dx
＝eq \f(x2,2)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2,1))－eq \f(x3,3)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2,1))＋ln xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2,1))＝eq \f(3,2)－eq \f(7,3)＋ln 2＝ln 2－eq \f(5,6).
(2)eq \i\in(－π,0,)(cs x＋ex)dx＝eq \i\in(－π,0,)cs xdx＋eq \i\in(－π,0,)exdx
＝sin xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(0,－π))＋exeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(0,－π))＝1－eq \f(1,eπ).
10．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．
解：因为(1，2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，
设过点(1，2)处的切线的斜率为k，
则k＝f′(1)
＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2，
所以过点(1，2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图中阴影部分所示，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y＝2x))可得交点A(2，4)，O(0，0)，故y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积
S＝eq \i\in(0,2,)(2x－x2)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,3)x3))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2,0))＝4－eq \f(8,3)＝eq \f(4,3).
[综合题组练]
1．由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭平面图形的面积为( )
A.eq \f(32,9) B．4－ln 3
C．4＋ln 3 D．2－ln 3
解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xy＝1，,y＝x，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1.（舍）))
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＝3，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝3.))
故阴影部分的面积为eq \i\in(1,3,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))dx＝
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2－ln x))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(3,,1))＝4－ln 3.
2．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
解析：eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝eq \i\in(0,1,)(ax2＋c)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)ax3＋cx))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,,0))＝eq \f(1,3)a＋c＝f(x0)＝axeq \\al(2,0)＋c，
所以xeq \\al(2,0)＝eq \f(1,3)，x0＝±eq \f(\r(3),3).
又因为0≤x0≤1，所以x0＝eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3)
3.eq \i\in(－1,1,)(eq \r(1－x2)＋ex－1)dx＝________．
解析：eq \i\in(－1,1,)(eq \r(1－x2)＋ex－1)dx
＝eq \i\in(－1,1,)eq \r(1－x2)dx＋eq \i\in(－1,1,)(ex－1)dx.
因为eq \i\in(－1,1,)eq \r(1－x2)dx表示单位圆的上半部分的面积，
所以eq \i\in(－1,1,)eq \r(1－x2)dx＝eq \f(π,2).
而eq \i\in(－1,1,)(ex－1)dx＝(ex－x)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,－1))
＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－eq \f(1,e)－2，
所以eq \i\in(－1,1,)(eq \r(1－x2)＋ex－1)dx＝eq \f(π,2)＋e－eq \f(1,e)－2.
答案：eq \f(π,2)＋e－eq \f(1,e)－2
4．若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则eq \i\in(0,2,)f(x)dx＝________．
解析：因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，
所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)．
所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3.
所以f(x)＝x3－3x2.
故eq \i\in(0,2,)f(x)dx＝eq \i\in(0,2,)(x3－3x2)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x4,4)－x3))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2,0))＝－4.
答案：－4
5．如图，在曲线C：y＝x2，x∈[0，1]上取点P(t，t2)，过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x＝0，x＝1及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S1，S2.当S1＝S2时，求t的值．
解：根据题意，直线l的方程是y＝t2，且0＜t＜1.
结合题图，得交点坐标分别是
A(0，0)，P(t，t2)，B(1，1)．
所以S1＝eq \i\in(0,t,)(t2－x2)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t2x－\f(1,3)x3))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(t,0))
＝t3－eq \f(1,3)t3＝eq \f(2,3)t3，0＜t＜1.
S2＝eq \i\in(t,1,)(x2－t2)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－t2x))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,t))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－t2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)t3－t3))
＝eq \f(2,3)t3－t2＋eq \f(1,3)，0＜t＜1.
由S1＝S2，
得eq \f(2,3)t3＝eq \f(2,3)t3－t2＋eq \f(1,3)，
所以t2＝eq \f(1,3).又0＜t＜1，所以t＝eq \f(\r(3),3).
所以当S1＝S2时，t＝eq \f(\r(3),3).