2023届高考一轮复习讲义（理科）第九章　平面解析几何 第5讲　第1课时　椭圆及其性质学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第九章　平面解析几何 第5讲　第1课时　椭圆及其性质学案，共20页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若a2．椭圆的标准方程和几何性质
3.点与椭圆的位置关系
已知点P(x0，y0)，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)>1.
常用结论
(1)焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
①eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
②eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
(2)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：
①当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
②S＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq \f(2b2,a).
(4)AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
①弦长l＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；
②直线AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
二、习题改编
1．(选修2­1P40例1改编)若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1 D．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1
解析：选A.设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝eq \r(a2－c2)＝4，故点P的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.故选A.
2．(选修2­1P49A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2)－1,2)
C．2－eq \r(2) D．eq \r(2)－1
解析：选D.设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，则eq \f(b2,a)＝2c，即eq \f(a2－c2,a)＝2c，即e2＋2e－1＝0，又0一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(5)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)忽视椭圆定义中的限制条件；
(2)忽视椭圆标准方程中焦点位置的讨论；
(3)忽视点P坐标的限制条件．
1．平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是________．
解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段．
答案：线段F1F2
2．椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的焦距为4，则m＝________．
解析：当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，所以m＝4.当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，所以m＝8.所以m＝4或8.
答案：4或8
3．已知点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1，得x＝±eq \f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq \f(\r(15),2)，所以P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1))
第1课时 椭圆及其性质
椭圆的定义及应用(多维探究)
角度一 利用定义求轨迹方程
(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B．eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D．eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
【解析】 (1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．故选A.
(2)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
故所求的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
【答案】 (1)A (2)D
角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题
已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且eq \(PF,\s\up6(→))1⊥eq \(PF,\s\up6(→))2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
【解析】 通解：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r1＋r2＝2a，,req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＝4c2，))
所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2，
又因为S△PF1F2＝eq \f(1,2)r1r2＝b2＝9，所以b＝3.
优解：由eq \(PF1,\s\up6(→))⊥eq \(PF2,\s\up6(→))，可得S△PF1F2＝b2＝9，所以b＝3.
【答案】 3
【迁移探究1】 (变条件)若本例中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．
解：由本例得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，
故椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
【迁移探究2】 (变条件)将本例中的条件“eq \(PF1,\s\up6(→))⊥eq \(PF2,\s\up6(→))”“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“S△PF1F2＝3eq \r(3)”，结果如何？
解：|PF1|＋|PF2|＝2a，
又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝eq \f(4,3)b2，
又因为S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin 60°
＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)b2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3)b2＝3eq \r(3)，
所以b＝3.
角度三 利用定义求最值
设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值和最大值分别为( )
A．9，12 B．8，11
C．8，12 D．10，12
【解析】 如图，
由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
【答案】 C
eq \a\vs4\al()
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是明确平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
1．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,3)＋y2＝1
C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 D．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选A.由题意及椭圆的定义知4a＝4eq \r(3)，则a＝eq \r(3)，
又eq \f(c,a)＝eq \f(c,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，所以c＝1，所以b2＝2，
所以C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，选A.
2．(2020·惠州调研)设F1，F2为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则eq \f(|PF2|,|PF1|)的值为( )
A.eq \f(5,14) B．eq \f(5,9)
C.eq \f(4,9) D．eq \f(5,13)
解析：选D.如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，可求得|PF2|＝eq \f(5,3)，|PF1|＝2a－|PF2|＝eq \f(13,3)，eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(5,13).故选D.
3．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点．则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
解析：如图所示，
设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6.
所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.
利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)．
所以|PA|＋|PF|≤6＋eq \r(2)，|PA|＋|PF|≥6－eq \r(2).
故|PA|＋|PF|的最大值为6＋eq \r(2)，最小值为6－eq \r(2).
答案：6＋eq \r(2) 6－eq \r(2)
椭圆的标准方程(师生共研)
(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
(2)(一题多解)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
【解析】 (1)由题意设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq \f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝eq \f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cs 2θ＝eq \f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq \f(1,3)，所以eq \f(1,3)＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(2)，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.故选B.
(2)法一(定义法)：椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝eq \r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)＋4）2)＋eq \r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)－4）2)，
解得a＝2eq \r(5).
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
法二(待定系数法)：因为所求椭圆与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点相同，
所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(eq \r(3)，－eq \r(5))在所求椭圆上，
所以eq \f(（－\r(5)）2,a2)＋eq \f(（\r(3)）2,b2)＝1，
即eq \f(5,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
【答案】 (1)B (2)eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1
eq \a\vs4\al()
求椭圆标准方程的2种常用方法

1.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1
B.eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1
C.eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1
D.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
解析：选C.由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′，在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq \r(|FF′|2－|PF|2)＝eq \r(102－62)＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1，故选C.
2．(2020·湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2eq \r(2)－2，离心率为eq \f(\r(2),2)，则椭圆E的方程为________．
解析：因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，
所以a－c＝2eq \r(2)－2，因为离心率e＝eq \f(\r(2),2)，所以eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，
解得a＝2eq \r(2)，c＝2，则b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆E的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
答案：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
椭圆的几何性质(多维探究)
角度一 椭圆的长轴、短轴、焦距
(2020·河南洛阳一模)已知椭圆eq \f(x2,11－m)＋eq \f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于( )
A．5 B．6
C．9 D．10
【解析】 由椭圆eq \f(x2,11－m)＋eq \f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，焦距为4，可得eq \r(m－3－11＋m)＝2，解得m＝9.故选C.
【答案】 C
角度二 求椭圆的离心率
过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．
【解析】 由题设知，直线l：eq \f(x,－c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c，0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±eq \f(b2,a)，即圆的半径r＝eq \f(b2,a).又圆与直线l有公共点，所以eq \f(2bc,\r(b2＋c2))≤eq \f(b2,a)，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝eq \f(c,a)≤eq \f(\r(5),5).又0【答案】 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5)))
角度三 根据椭圆的性质求参数
(1)设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3)]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3)]∪[4，＋∞)
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值为________．
【解析】 (1)依题意得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),\r(m))≥tan \f(∠AMB,2),0eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(\r(m),\r(3))≥tan \f(∠AMB,2),m>3))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),\r(m))≥tan 60°,0或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(\r(m),\r(3))≥tan 60°,m>3))，解得0(2)设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，
因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.
故椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
所以－2≤x0≤2，－eq \r(3)≤y0≤eq \r(3).
因为F(－1，0)，A(2，0)，
eq \(PF,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，
所以eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝xeq \\al(2,0)－x0－2＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2.即当x0＝－2时，eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))取得最大值4.
【答案】 (1)A (2)4
eq \a\vs4\al()
(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．
1．(2020·江西吉安一模)如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(1,3)
解析：选A.设圆柱的底面圆的直径为R，则椭圆的短轴长为R.
因为截面与底面成45°角，所以椭圆的长轴长为eq \r(2)R，
所以椭圆的半焦距为 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)R))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2)))\s\up12(2))＝eq \f(R,2)，
则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\f(R,2),\f(\r(2),2)R)＝eq \f(\r(2),2).
2．P为椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,15)＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[0，15] B．[5，15]
C．[5，21] D．(5，21)
解析：选C.eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝(eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(NE,\s\up6(→)))·(eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(NF,\s\up6(→)))＝(eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(NE,\s\up6(→)))·(eq \(PN,\s\up6(→))－eq \(NE,\s\up6(→)))＝eq \(PN,\s\up6(→))2－eq \(NE,\s\up6(→))2＝|eq \(PN,\s\up6(→))|2－4，因为a－c≤|eq \(PN,\s\up6(→))|≤a＋c，即3≤|eq \(PN,\s\up6(→))|≤5，所以eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的取值范围是[5，21]．
3．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于eq \f(\r(3),2)(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
解析：因为|PT|＝eq \r(|PF2|2－（b－c）2)(b>c)，
而|PF2|的最小值为a－c，
所以|PT|的最小值为eq \r(（a－c）2－（b－c）2).
依题意，有eq \r(（a－c）2－（b－c）2)≥eq \f(\r(3),2)(a－c)，
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，
所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，
所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.①
又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，
所以2e2<1.②
联立①②，得eq \f(3,5)≤e＜eq \f(\r(2),2).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(\r(2),2)))
[基础题组练]
1．(2020·河北衡水二模)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,3)，则eq \f(a,b)＝( )
A.eq \f(9,8) B．eq \f(3\r(2),2)
C.eq \f(4,3) D．eq \f(3\r(2),4)
解析：选D.因为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \f(1,3)，所以8a2＝9b2，所以eq \f(a,b)＝eq \f(3\r(2),4).故选D.
2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是eq \f(3,4)，则此椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1
B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1或eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1
D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1或eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
解析：选B.因为a＝4，e＝eq \f(3,4)，
所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.
因为焦点的位置不确定，
所以椭圆的标准方程是eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1或eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,16)＝1.
3．已知点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：选A.由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A.
4．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A.eq \r(2)－1 B．eq \f(\r(5)－1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D．eq \r(2)＋1
解析：选A.不妨设椭圆E的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如图所示，因为△PF1F2为直角三角形，所以PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2eq \r(2)c，所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq \r(2)c＝2a，所以椭圆E的离心率e＝eq \r(2)－1.故选A.
5．(2020·江西赣州模拟)已知A，B是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若△ABF面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.如图所示，
设直线AB的方程为ty＝x，F(c，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ty＝x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))可得y2＝eq \f(a2b2,b2t2＋a2)＝－y1y2，
所以△ABF的面积S＝eq \f(1,2)c|y1－y2|＝
eq \f(1,2)ceq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝ceq \r(\f(a2b2,b2t2＋a2))≤cb，当t＝0时取等号．
所以bc＝2.所以a2＝b2＋c2≥2bc＝4，a≥2.所以椭圆E的长轴长的最小值为4.故选D.
6．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝eq \r(36－20)＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.
设M(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,|F1M|2＝（x＋4）2＋y2＝64，,x>0，,y>0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝\r(15)，))
所以M的坐标为(3，eq \r(15))．
答案：(3，eq \r(15))
7．(2020·河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米．
解析：设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米．
由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋c＝100＋r，,a－c＝15＋r，))解得2c＝85.
即椭圆形轨道的焦距为85千米．
答案：85
8．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是________．
解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.
又d＝eq \f(|3×0－4×b|,\r(32＋（－4）2))≥eq \f(4,5)，所以1≤b<2.又e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(b2,4))，所以0答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))
9．已知F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF2和BF2.
(1)求△ABF2的周长；
(2)若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．
解：(1)因为F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦点，
过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF2和BF2.
所以△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4eq \r(2).
(2)设直线l的方程为x＝my－1，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my－1,x2＋2y2＝2))，得(m2＋2)y2－2my－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝eq \f(2m,m2＋2)，y1y2＝－eq \f(1,m2＋2)，
因为AF2⊥BF2，所以eq \(F2A,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(F2A,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝(my1－2)(my2－2)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2－2m(y1＋y2)＋4
＝eq \f(－m2－1,m2＋2)－2m×eq \f(2m,m2＋2)＋4
＝eq \f(－m2＋7,m2＋2)＝0.
所以m2＝7.
所以△ABF2的面积S＝eq \f(1,2)×|F1F2|×eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq \f(8,9).
10．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.
(1)若e＝eq \f(\r(3),2)，求椭圆的方程；
(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且eq \f(\r(2),2)解：(1)由题意得c＝3，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，所以a＝2eq \r(3).又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以椭圆的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝kx))得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝eq \f(－a2b2,b2＋a2k2)，
依题意易知，OM⊥ON，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2.因为eq \(F2A,\s\up6(→))＝(x1－3，y1)，eq \(F2B,\s\up6(→))＝(x2－3，y2)，
所以eq \(F2A,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋9＝0.
即eq \f(－a2（a2－9）（1＋k2）,a2k2＋（a2－9）)＋9＝0，
将其整理为k2＝eq \f(a4－18a2＋81,－a4＋18a2)＝－1－eq \f(81,a4－18a2).
因为eq \f(\r(2),2)所以k2≥eq \f(1,8)，即k∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(2),4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，＋∞)).
[综合题组练]
1．设椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D．eq \f(1,5)
解析：选B.
如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且eq \f(|OF|,|FA|)＝eq \f(|OM|,|AB|)＝eq \f(1,2)，即eq \f(c,a－c)＝eq \f(1,2)，解得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3).故选B.
2．(2020·福建福州一模)已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是△F1PF2内切圆的圆心，过F1作F1M⊥PK于点M，O是坐标原点，则|OM|的取值范围为( )
A．(0，1) B．(0，eq \r(2))
C．(0，eq \r(3)) D．(0，2eq \r(3))
解析：选C.如图，延长PF2，F1M相交于N点，
因为K点是△F1PF2内切圆的圆心，所以PK平分∠F1PF2，
因为F1M⊥PK，
所以|PN|＝|PF1|，M为F1N的中点，
因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，
所以|OM|＝eq \f(1,2)|F2N|＝eq \f(1,2)||PN|－|PF2||＝eq \f(1,2)||PF1|－|PF2||所以|OM|的取值范围是(0，eq \r(3))．
故选C.
3．已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为________．
解析：因为点A在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，对其平方，得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|＝4a2，又AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，则2|AF1||AF2|＝4a2－4c2＝4b2，即|AF1||AF2|＝2b2，所以S△AF1F2＝eq \f(1,2)|AF1||AF2|＝b2＝2.又△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2＝90°，且O为F1F2的中点，所以|OA|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝c，由已知不妨设A在第一象限，则∠AOF2＝30°，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)c，\f(1,2)c))，则S△AF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·eq \f(1,2)c＝eq \f(1,2)c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所以椭圆方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1.
答案：eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1
4．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：设正方形的边长为2m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，所以eq \f(m2,a2)＋eq \f(m2,b2)＝1>eq \f(c2,a2)＋eq \f(c2,b2)＝e2＋eq \f(e2,1－e2)，整理得e4－3e2＋1>0，e2答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2)))
5．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝eq \r(2).故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0，
因为OA⊥OB，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，
即tx0＋2y0＝0，解得t＝－eq \f(2y0,x0).
又xeq \\al(2,0)＋2yeq \\al(2,0)＝4，
所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(2y0,x0)))eq \s\up12(2)＋(y0－2)2
＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋eq \f(4yeq \\al(2,0),xeq \\al(2,0))＋4＝xeq \\al(2,0)＋eq \f(4－xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(2（4－xeq \\al(2,0)）,xeq \\al(2,0))＋4
＝eq \f(xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(8,xeq \\al(2,0))＋4(0因为eq \f(xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(8,xeq \\al(2,0))≥4(0当且仅当xeq \\al(2,0)＝4时等号成立，
所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2eq \r(2).
6．(2020·江西八校联考)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B1F2B2的面积为2，点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O.
(1)求椭圆E的长轴A1A2的长的最小值，并确定此时椭圆E的方程；
(2)对于(1)中确定的椭圆E，若给定圆F1：(x＋1)2＋y2＝3，则圆P和圆F1的公共弦MN的长是不是定值？如果是，求|MN|的值；如果不是，请说明理由．
解：(1)依题意四边形F1B1F2B2的面积为2bc，
所以2bc＝2.
因为|A1A2|＝2a＝2eq \r(b2＋c2)≥2eq \r(2bc)＝2eq \r(2)，当且仅当b＝c＝1时取“＝”，此时a＝eq \r(2)，
所以长轴A1A2的长的最小值为2eq \r(2)，此时椭圆E的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)是定值．设点P(x0，y0)，则eq \f(xeq \\al(2,0),2)＋yeq \\al(2,0)＝1⇒yeq \\al(2,0)＝1－eq \f(xeq \\al(2,0),2).
圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)，即x2＋y2－2x0x－2y0y＝0，①
圆F1的方程为(x＋1)2＋y2＝3，即x2＋y2＋2x－2＝0，②
①－②得公共弦MN所在直线的方程为(x0＋1)x＋y0y－1＝0，
所以点F1到公共弦MN所在直线的距离d＝eq \f(|x0＋2|,\r(（x0＋1）2＋yeq \\al(2,0)))＝eq \f(|x0＋2|,\r(（x0＋1）2＋1－\f(1,2)xeq \\al(2,0)))＝eq \f(|x0＋2|,\r(\f(1,2)xeq \\al(2,0)＋2x0＋2))＝eq \r(2)，
则|MN|＝2eq \r(3－d2)＝2，所以圆P和圆F1的公共弦MN的长为定值2.
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：(0，0)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)