2023届高考一轮复习讲义（文科）第二章　函数概念与基本初等函数 第9讲　高效演练 分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第二章　函数概念与基本初等函数 第9讲　高效演练 分层突破学案，共6页。

1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100lg2x＋100
解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C.
2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
解析：选D.依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当43．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
解析：选A.设仓库应建在离车站x千米处．因为仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，所以令反比例系数为m(m>0)，则y1＝eq \f(m,x).当x＝10时，y1＝eq \f(m,10)＝2，所以m＝20.因为每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n(n>0)，则y2＝nx.当x＝10时，y2＝10n＝8，所以n＝eq \f(4,5).所以两项费用之和为y＝y1＋y2＝eq \f(20,x)＋eq \f(4x,5)≥2eq \r(\f(20,x)·\f(4x,5))＝8，当且仅当eq \f(20,x)＝eq \f(4x,5)，即x＝5时取等号．所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处．故选A.
4．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
解析：选B.若2018年是第一年，则第n年科研费为1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2 000万元．故选B.
5．(2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lgeq \f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A. 1010.1 B. 10.1
C. lg 10.1 D. 10－10.1
解析：选A.根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2与E2，则由已知条件可知m1＝－26.7，m2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，把m1与m2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝eq \f(5,2)lgeq \f(E1,E2)，得lg eq \f(E1,E2)＝10.1，所以eq \f(E1,E2)＝1010.1，故选A.
6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．
解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．
答案：8
7．李冶(1192－1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是 步、 步．(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)
解析：设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意，得(2r＋40)2－3r2＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．
答案：20 60
8．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．
解析：当0故y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋32x－100，0当0答案：y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋32x－100，09.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)作PQ⊥AF于点Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，eq \f(EQ,PQ)＝eq \f(EF,FD)，所以eq \f(x－4,8－y)＝eq \f(4,2)，所以y＝－eq \f(1,2)x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(x,2)))
＝－eq \f(1,2)(x－10)2＋50，所以S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4，8]时，S(x)单调递增，所以当x＝8时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米．
10．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(单位：万元)在8万元以下，没有奖金；
②年销售额x(单位：万元)，x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝lgax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；
③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)若某营销人员争取奖金y∈[4，10](单位：万元)，则年销售额x(单位：万元)在什么范围内？
解：(1)依题意，y＝lgax在x∈[8，64]上为增函数，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lga8＝3，,lga64＝6，))解得a＝2，所以y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0，0≤x<8，,lg2x，8≤x≤64，,\f(1,10)x，x>64.))
(2)易知x≥8，当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]，则4≤lg2x≤10，解得16≤x≤1 024，所以16≤x≤64；当x>64时，要使y∈[4，10]，则40≤x≤100，所以64[综合题组练]
1．(创新型)我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)( )
A．2[x＋1] B．2([x]＋1)
C．2{x} D．{2x}
解析：选C.如x＝1时，应付费2元，
此时2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除A，B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1，排除D，故选C.
2．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
解析：当t＝0时，y＝a；
当t＝8时，y＝ae－8b＝eq \f(1,2)a，故e－8b＝eq \f(1,2).
当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝eq \f(1,8)a，e－bt＝eq \f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案：16
3．某旅游景点预计2019年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似为p(x)＝eq \f(1,2)x(x＋1)·(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(35－2x，x∈N*，且1≤x≤6，,\f(160,x)，x∈N* 且7≤x≤12.))
(1)写出2019年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；
(2)试问2019年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？
解：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝eq \f(1,2)x(x＋1)(39－2x)－eq \f(1,2)x(x－1)(41－2x)＝－3x2＋40x，经验证x＝1时也满足此式．
所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)第x(x∈N*)个月的旅游消费总额为g(x)＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（－3x2＋40x）（35－2x），x∈N*，且1≤x≤6，,－480x＋6 400，x∈N*，且7≤x≤12.))
①当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，
令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝eq \f(140,9)(舍去)．
当1≤x≤5时，g′(x)≥0，当5②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6 400是减函数，所以g(x)max＝g(7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3 125万元．
4．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；
(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y＝eq \f(1,20)x＋1；
(ⅱ)y＝lg2x－2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．
解：(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，
则该函数模型满足的条件是：
①当x∈[10，100]时，f(x)是增函数；
②当x∈[10，100]时，f(x)≤5恒成立；
③当x∈[10，100]时，f(x)≤eq \f(x,5)恒成立．
(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y＝eq \f(1,20)x＋1，
它在[10，100]上是增函数，满足条件①；
但当x＝80时，y＝5，因此，当x>80时，y>5，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求．
(b)对于函数模型(ⅱ)y＝lg2x－2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，
x＝100时，ymax＝lg2100－2＝2lg25<5，即f(x)≤5恒成立．满足条件②，
设h(x)＝lg2x－2－eq \f(1,5)x，则h′(x)＝eq \f(lg2e,x)－eq \f(1,5)，
又x∈[10，100]，所以eq \f(1,100)≤eq \f(1,x)≤eq \f(1,10)，
所以h′(x)≤eq \f(lg2e,10)－eq \f(1,5)所以h(x)在[10，100]上是递减的，因此h(x)≤h(10)＝lg210－4<0，即f(x)≤eq \f(x),\s\d15(5))恒成立，满足条件③，
故该函数模型符合公司要求．
综上所述，函数模型(ⅱ)y＝lg2x－2符合公司要求．
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2019年5月1日
12
35 000
2019年5月15日
48
35 600