2023届高考一轮复习讲义（文科）第二章　函数概念与基本初等函数 第2讲　第2课时　函数的奇偶性及周期性学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第二章　函数概念与基本初等函数 第2讲　第2课时　函数的奇偶性及周期性学案，共10页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．函数的奇偶性
[注意] 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
[注意] 不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.
常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．
二、习题改编
1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cs x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.
2．(必修4P46A组T10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝ ．
解析：由题意得，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋2＝1.
答案：1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( )
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)(1)利用奇偶性求解析式忽视定义域；
(2)周期不能正确求出从而求不出结果．
1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝ ．
解析：当x<0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．
答案：x(1－x)
2．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝－eq \f(1,f（x）).当1≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105)＝ ．
解析：因为f(x＋2)＝－eq \f(1,f（x）)，所以f(x＋4)＝f(x)，故4为函数f(x)的一个周期．f(105)＝f(4×26＋1)＝f(1)＝1.
答案：1
判断函数的奇偶性(师生共研)
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3－eq \f(1,x)；
(2)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)；
(3)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2，x＞0，,0，x＝0，,－x2－2，x<0.))
【解】 (1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
并且对于定义域内的任意一个x都有
f(－x)＝(－x)3－eq \f(1,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x)))＝－f(x)，
从而函数f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
eq \a\vs4\al()
判定函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
[提醒] 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．
已知函数f(x)＝eq \f(x,2x－1)，g(x)＝eq \f(x,2)，则下列结论正确的是( )
A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数
B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数
C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数
D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数
解析：选A.易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．因为f(－x)＋g(－x)＝eq \f(－x,2－x－1)＋eq \f(－x,2)＝－eq \f(x·2x,1－2x)－eq \f(x,2)＝eq \f(x（1－2x）－x,1－2x)－eq \f(x,2)＝eq \f(x,2x－1)＋eq \f(x,2)＝f(x)＋g(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．故选A.
函数奇偶性的应用(师生共研)
(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
【解析】 通解：依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D.
优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D.
【答案】 D
eq \a\vs4\al()
已知函数奇偶性可以解决的3个问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．
(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为 ．
解析：法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.
又因为函数f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)，
所以当x<0时，函数f(x)的最大值为eq \f(1,4).
法二：当x>0时，f(x)＝x2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，最小值为－eq \f(1,4)，
因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
函数的周期性(师生共研)
(1)(2020·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋a，－1≤x<0,|2－x|，0≤x<1，))其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝( )
A．0.5 B．1.5
C．2.5 D．3.5
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 (1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C.
(2)当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.
当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．
【答案】 (1)C (2)D
eq \a\vs4\al()
函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－eq \f(1,f（x）)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝ ，f(20)＝ ．
解析： 因为f(x＋2)＝－eq \f(1,f（x）)，
所以f(x＋4)＝－eq \f(1,f（x＋2）)＝f(x)，
所以函数y＝f(x)的周期T＝4.
f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.
f(20)＝f(4×4＋4)＝f(4)＝f(2＋2)＝－eq \f(1,f（2）)＝－eq \f(1,2×2－1)＝－eq \f(1,3).
答案：1 －eq \f(1,3)
[基础题组练]
1．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )
A．y＝－eq \f(1,x) B．y＝lg2|x|
C．y＝1－x2 D．y＝x3－1
解析：选C.函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C符合要求．
2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝( )
A．－3 B．－eq \f(5,4)
C.eq \f(5,4) D．3
解析：选A.由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
3．已知定义域为R的奇函数f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))，且当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝( )
A．－eq \f(27,8) B．－eq \f(1,8)
C.eq \f(1,8) D.eq \f(27,8)
解析：选B.因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，又因为函数为奇函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝－eq \f(1,8).
4．已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2 018x3－sin x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．不能确定
解析：选A.依题意得a－4＋2a－2＝0，所以a＝2.又f(x)为奇函数，故b＋2＝0，
所以b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝0.
5．已知函数f(x)＝eq \f(2|x|＋x3＋1,2|x|＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析：选B.f(x)＝eq \f(2|x|＋x3＋1,2|x|＋1)＝1＋eq \f(x3,2|x|＋1).设g(x)＝eq \f(x3,2|x|＋1)，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝1＋g(x)max，m＝f(x)min＝1＋g(x)min，所以M＋m＝1＋g(x)max＋1＋g(x)min＝2.
6．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于 ．
解析：f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，
f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，
由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.
答案：3
7．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝ ．
解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，
则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg3（x＋1），x≥0，,g（x），x<0，))则g(f(－8))＝ ．
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－8)＝－f(8)＝－lg39＝－2，
所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－lg33＝－1.
答案：－1
9．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，
所以f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x，x∈[－1，0]，,x，x∈（0，1），,－x＋2，x∈[1，2].))
10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×1))＝4.
[综合题组练]
1．(2020·福建龙岩期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)>1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：选A.由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)>1，所以f(1)<－1，所以a2－2a－4<－1，解得－12．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是 ．
解析：在f(x)－g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.联立方程组解得f(x)＝eq \f(2－x－2x,2)，g(x)＝－eq \f(2－x＋2x,2)，于是f(1)＝－eq \f(3,4)，g(0)＝－1，g(－1)＝－eq \f(5,4)，故f(1)>g(0)>g(－1)．
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1故实数a的取值范围是(1，3]．
4．(应用型)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
解：(1)由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))，
且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋3)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))))＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，
又T＝3是y＝f(x)的一个周期，
所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称