湖南省湘潭市湘潭县2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案）

这是一份湖南省湘潭市湘潭县2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案），共18页。试卷主要包含了选择，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．使分式有意义的条件是（ ）
A．x≠1B．x≠﹣1C．x＞1D．x＞﹣1
2．下列分式为最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算结果正确的有（ ）
①a5÷a＝a5；②＝﹣x4y4；③；④（a﹣3）﹣2＝a6；⑤a0＝1；⑥．
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．下列各数中，3.14159，﹣，0.131131113…，﹣π，，，无理数有（ ）
A．1​个B．2​个C．3​个D．4​个
5．将0.00000562用科学记数法表示为（ ）
A．5.62×106B．5.62×10﹣5C．5.62×10﹣6D．5.62×105
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（ ）
A．20°B．30°C．45°D．60°
7．一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（ ）
A．13B．17C．22D．17或22
8．△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
9．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的一个外角等于两内角的和
B．一个数a的算术平方根是
C．由a＞b，可以得到ac2＞bc2
D．一个正数先开方再平方等于它本身
10．西宁市天然气公司在一些居民小区安装天然气与管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法，若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元．某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（ ）
A．至少20户B．至多20户C．至少21户D．至多21户
二、填空（3×8＝24分）
11．写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ．
12．若关于x的方程＝有增根，则x＝ ．
13．使二次根式有意义的条件是 ．
14．计算：﹣＝ ．
15．已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是 ．
16．若+（b﹣2）2＝0，则a+b＝ ．
17．如图，工人师傅制作了一个长方形窗架ABCD，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，钉这两块木条的原理是 ．
18．若记[x]表示任意实数的整数部分例如：，⋯，则（其中“+”“﹣”依次相间）的值为 ．
三、解答题（66分）
19．计算及解方程：
（1）；
（2）（）（1）；
（3）．
20．先化简，再求值：÷（2+），其中x＝﹣1．
21．解不等式（组）并在数轴上表示出解集．
（1）4x﹣3＞x+6；
（2）．
22．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．求证：△ABC≌△DEF．
23．某服装厂接到制作480件服装的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．求∠DAE的度数．
25．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p＝．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦﹣秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，CA＝7，求△ABC的面积；
（2）计算（1）中△ABC的BC边上的高．
26．已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．
（1）如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数．
（2）如图1，求证：EF＝2AD．
（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
一、选择（3×10＝30分）
1．使分式有意义的条件是（ ）
A．x≠1B．x≠﹣1C．x＞1D．x＞﹣1
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．
解：由题意可得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1，
故选：B．
2．下列分式为最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可．
解：A．该分式的分子、分母中含有公因式（x+2），不是最简分式，不符合题意；
B．该分式符合最简分式的定义，符合题意；
C．该分式的分子、分母中含有公因式（x﹣y），不是最简分式，不符合题意；
D．该分式的分子、分母中含有公因式x，不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
3．下列计算结果正确的有（ ）
①a5÷a＝a5；②＝﹣x4y4；③；④（a﹣3）﹣2＝a6；⑤a0＝1；⑥．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则、幂的乘方运算法则、零指数幂的定义、二次根式的性质、二次根式的加减运算法则分别判断得出答案．
解：①a5÷a＝a4，故此选项不合题意；
②＝x4y4，故此选项不合题意；
③+无法合并，故此选项不合题意；
④（a﹣3）﹣2＝a6，故此选项符合题意；
⑤a0＝1（a≠0），故此选项不合题意；
⑥，故此选项符合题意．
故选：A．
4．下列各数中，3.14159，﹣，0.131131113…，﹣π，，，无理数有（ ）
A．1​个B．2​个C．3​个D．4​个
【分析】根据无理数的定义求解即可．
解：在3.14159，﹣，0.131131113…，﹣π，，这些数中，
无理数有﹣，0.131131113…，﹣π这3个数，
故选：C．
5．将0.00000562用科学记数法表示为（ ）
A．5.62×106B．5.62×10﹣5C．5.62×10﹣6D．5.62×105
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000562＝5.62×10﹣6，
故选：C．
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（ ）
A．20°B．30°C．45°D．60°
【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案．
解：在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，
故选：B．
7．一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（ ）
A．13B．17C．22D．17或22
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：①若4为腰长，9为底边长，
由于4+4＜9，则三角形不存在；
②9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为9+9+4＝22．
故选：C．
8．△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【分析】据在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可求出∠C的度数，进而得出结论．
解：∵在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
9．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的一个外角等于两内角的和
B．一个数a的算术平方根是
C．由a＞b，可以得到ac2＞bc2
D．一个正数先开方再平方等于它本身
【分析】利用三角形的外角性质，实数，不等式的性质，对各项进行分析即可．
解：A、三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和，则A说法错误，故不符合题意；
B、一个非负数的a的算术平方根是，则B说法错误，故不符合题意；
C、由a＞b，当c≠0时，可以得到ac2＞bc2，则C说法错误，故不符合题意；
D、一个正数先开方再平方等于它本身，则D说法正确，故符合题意，
故选：D．
10．西宁市天然气公司在一些居民小区安装天然气与管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法，若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元．某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（ ）
A．至少20户B．至多20户C．至少21户D．至多21户
【分析】根据“x户居民按1000元计算总费用＞整体初装费+500x”列不等式求解即可．
解：设这个小区的住户数为x户．
则1000x＞10000+500x，
解得x＞20．
∵x是整数，
∴这个小区的住户数至少21户．
故选：C．
二、填空（3×8＝24分）
11．写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： 两个锐角互余的三角形是直角三角形 ．
【分析】把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．
解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
12．若关于x的方程＝有增根，则x＝ 1 ．
【分析】根据分式方程的增根的意义解答即可．
解：∵关于x的方程＝有增根，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1，
故答案为：1．
13．使二次根式有意义的条件是 ．
【分析】根据二次根式（a≥0）进行计算即可．
解：由题意可得：
3x﹣1≥0，
∴x≥，
故答案为：x≥．
14．计算：﹣＝ ．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
解：原式＝3﹣2
＝．
故答案为：．
15．已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是 9≤a＜12 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
解：∵解不等式3x﹣a≤0得：x≤a，
解不等式1﹣x≤0得：x≥1，
∴不等式组的解集为1≤x≤a，
∵关于x的不等式组有且只有3个整数解，
∴3≤a＜4，
∴9≤a＜12，
故答案为：9≤a＜12．
16．若+（b﹣2）2＝0，则a+b＝ 1 ．
【分析】根据算术平方根和偶次方的非负数性质可得a、b的值，相加即可．
解：∵+（b﹣2）2＝0，而≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣1，b＝2，
∴a+b＝﹣1+2＝1．
故答案为：1．
17．如图，工人师傅制作了一个长方形窗架ABCD，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，钉这两块木条的原理是 三角形的稳定性 ．
【分析】根据三角形的稳定性解释即可．
解：因为三角形具有稳定性，钉上木条形成了两个三角形，
所以钉上木条是为了使窗架稳定不变形，
故答案为：三角形的稳定性．
18．若记[x]表示任意实数的整数部分例如：，⋯，则（其中“+”“﹣”依次相间）的值为 ﹣22 ．
【分析】根据[x]表示任意实数的整数部分，求出各个式子的值，然后进行计算即可．
解：∵442＝1936，452＝2025，
∴[2020]＝44，[2021]＝44，[2022]＝44，[2023]＝44，[2024]＝44，
∴+[2021]﹣[2022]+[2023]﹣[2024]
＝+44﹣44+44﹣44
＝0，
∴
＝1﹣1+1﹣2+2﹣2+2﹣2+3﹣3+3﹣3+3﹣3+3﹣4+...+44﹣44
＝1﹣2+3﹣4+...﹣44
＝﹣1﹣1﹣...﹣1
＝﹣22，
故答案为：﹣22．
三、解答题（66分）
19．计算及解方程：
（1）；
（2）（）（1）；
（3）．
【分析】（1）直接利用分式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用平方差公式计算得出答案；
（3）直接去分母，进而解分式方程得出答案．
解：（1）原式＝
＝
＝a﹣1；
（2）原式＝（）2﹣1
＝2﹣1
＝1；
（3）方程两边同乘以x﹣2得：
x﹣（3﹣x）＝x﹣2，
即x﹣3+x＝x﹣2，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，
故x＝1是原方程的解．
20．先化简，再求值：÷（2+），其中x＝﹣1．
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解，约分后得到原式＝，再把x的值代入计算．
解：原式＝÷
＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
21．解不等式（组）并在数轴上表示出解集．
（1）4x﹣3＞x+6；
（2）．
【分析】（1）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
解：（1）4x﹣3＞x+6，
4x﹣x＞6+3，
3x＞9，
x＞3，
在数轴上表示为：
；
（2），
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥1，
所以不等式组的解集是1≤x＜2，
在数轴上表示为：
．
22．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】根据平行线的性质可知由∠B＝∠DEF．BE＝CF，∠ACB＝∠F，根据ASA定理可知△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
∴BC＝EF，
又∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
23．某服装厂接到制作480件服装的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？
【分析】设原来每天制作x件，根据原来用的时间﹣现在用的时间＝10，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．
解：设原来每天制作x件，根据题意得：
﹣＝10，
解得：x＝16，
经检验x＝16是原方程的解，
答：原来每天制作16件．
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．求∠DAE的度数．
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠B＝∠ACB＝45°，根据等边对等角的性质求出∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠DAE的度数．
解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE＝×45°＝22.5°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠E，
＝67.5°﹣22.5°，
＝45°．
25．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p＝．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦﹣秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，CA＝7，求△ABC的面积；
（2）计算（1）中△ABC的BC边上的高．
【分析】（1）由三角形的边角命名修改找出a、b、c的值，代入海伦公式即可得出结论；
（2）由三角形的面积S＝底×高÷2，代入数据，即可得出结论．
解：（1）∵AB＝5，BC＝6，CA＝7，
∴a＝6，b＝7，c＝5，p＝＝9，
∴△ABC的面积S＝＝6．
（2）设BC边上的高为h，
则×6×h＝6，
解得h＝2．
26．已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．
（1）如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数．
（2）如图1，求证：EF＝2AD．
（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根据∠EAF+∠BAC＝180°构建方程即可解决问题；
（2）延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，想办法证明△ABH≌△EAF即可解决问题；
（3）结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°．想办法证明△ACD≌△FAG，推出∠ACD＝∠FAG，再证明∠BCF＝150°即可；
【解答】（1）解：∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝65°，
∴∠EAB＝50°，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC＝75°，
∴∠CAF＝30°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，
∴50°+2∠BAC+30°＝180°，
∴∠BAC＝50°．
（2）证明：延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，
∵EF＝2AD，
∴AH＝EF，
在△BDH和△CDA中，
，
∴△BDH≌△CDA，
∴HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，
∴AC∥BH，
∴∠ABH+∠BAC＝180°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAF＝∠ABH，
在△ABH和△EAF中，
，
∴△ABH≌△EAF，
∴∠AEF＝∠ABH，EF＝AH＝2AD，
（3）结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°．
理由：由（1）得，AD＝EF，又点G为EF中点，
∴EG＝AD，
在△EAG和△ABD中，
，
∴△EAG≌△ABD，
∴∠EAG＝∠ABC＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∴∠CBM＝60°，
在△ACD和△FAG中，
，
∴△ACD≌△FAG，
∴∠ACD＝∠FAG，
∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，
在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°，
∴60°+2∠BCF＝360°，
∴∠BCF＝150°，
∴∠BCA+∠ACF＝150°，
∴∠GAF+（180°﹣∠CAF）＝150°，
∴∠GAF﹣∠CAF＝60°．