【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：点面距离（线面距离、点线距离、面面距离），共16页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共24小题；共120分）
1. 在 △ABC 中，AB=15，∠BCA=120∘，若 △ABC 所在平面 α 外一点 P 到 A，B，C 的距离都是 14，则点 P 到平面 α 的距离是
A. 13B. 11C. 9D. 7

2. 已知四棱锥 P−ABCD 中，AB=4,−2,3，AD=−4,1,0，AP=−6,2,−8，则点 P 到底面 ABCD 的距离为
A. 2613B. 2626C. 1D. 2

3. 若平面 α 的一个法向量为 n=1,2,1，A1,0,−1，B0,−1,1，A∉α，B∈α，则点 A 到平面 α 的距离为
A. 1B. 66C. 33D. 13

4. 已知平面 α 的一个法向量 n=−1,2,2，点 A0,−1,3 在平面 α 内，则点 P4,−2,1 到平面 α 的距离为
A. 10B. 3C. 83D. 103

5. 已知直二面角 α−l−β，点 A∈α，AC⊥l，C 为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离等于
A. 23B. 33C. 63D. 1

6. 已知 a⊂α，A∉α，点 A 到平面 α 的距离为 m，点 A 到直线 a 的距离为 n，则
A. m≥nB. m>nC. m≤nD. m
7. 已知线段 AB 在平面 α 外，A 、 B 两点到平面 α 的距离分别为 1 和 3，则线段 AB 的中点到平面 α 的距离为
A. 1B. 2C. 1 或 2D. 0 或 1

8. 如图，用一边长为 2 的正方形硬纸，沿各边中点连线所在直线垂直折起 4 个小直角三角形，做成一个蛋巢，将体积为 4π3 的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为
A. 62+32B. 32C. 22+32D. 32+32

9. △ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则点 P 到 BC 的距离是
A. 45B. 35C. 25D. 5

10. 四棱锥 P−ABCD 中，AB=2,−1,3，AD=−2,1,0，AP=3,−1,4，则这个四棱锥的高为
A. 55B. 15C. 25D. 255

11. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 6，P 是 AA1 的中点，Q 是 △BDC1 内的动点，若 PQ⊥BC1，则点 Q 到平面 A1B1C1D1 的距离的取值范围是
A. 3,5B. 92,6C. 4,5D. 23,6

12. 已知三棱锥 P−ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA=1，PB=2，PC=3，则点 P 到平面 ABC 的距离为
A. 13B. 23C. 144D. 67

13. 已知在三棱锥 P−ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，且长度相等．若点 P，A，B，C 都在半径为 1 的球面上，则球心到平面 ABC 的距离为
A. 36B. 12C. 13D. 32

14. 设正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2，则点 D1 到平面 A1BD 的距离是
A. 32B. 22C. 33D. 233

15. 在空间直角坐标系 O­−xyz 中，平面 OAB 的一个法向量为 n=2,−2,1，已知点 P−1,3,2，则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于
A. 4B. 2C. 3D. 1

16. 对于已知直线 a，如果直线 b 同时满足下列三个条件：①与 a 是异面直线；②与 a 所成的角为定值 θ；③与 a 距离为定值 d．那么这样的直线 b 有
A. 1 条或 2 条B. 2 条或 4 条
C. 1 条或 2 条或 4 条D. 无数条

17. 三棱锥 S−ABC 的底面各棱长均为 3，其外接球半径为 2，则三棱锥 S−ABC 的体积最大时，点 S 到平面 ABC 的距离为
A. 2+3B. 2−3C. 3D. 2

18. 设正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2，则点 D1 到平面 A1BD 的距离是
A. 32B. 22C. 223D. 233

19. 在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中，若底面边长与侧棱长均等于 2，且 E 为 CC1 的中点，则点 C1 到平面 AB1E 的距离为
A. 3B. 2C. 32D. 22

20. 把边长为 2 的正三角形 ABC 沿 BC 边上的中线 AD 折成 60∘ 的二面角 B−AD−C 后，点 D 到平面 ABC 的距离为
A. 32B. 1C. 155D. 3

21. 在边长为 2 的正方形 ABCD 中，沿对角线 BD 把 △ABD 折起，使 平面ABD⊥平面BCD，则折起后，点 B 到平面 ACD 的距离为
A. 263B. 3C. 233D. 326

22. 已知 ABCD 是边长为 4 的正方形，E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，GC 垂直于 ABCD 所在的平面，且 GC=2，点 B 到平面 EFG 的距离为
A. 11B. 21111C. 1111D. 211

23. 正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 a，则平面 AB1D1 与平面 BDC1 的距离为
A. 2aB. 3aC. 23aD. 33a

24. 已知棱长为 6 的正四面体 ABCD，在侧棱 AB 上任取一点 E（与 A，B 不重合），若点 E 到平面 ACD 与平面 BCD 的距离分别为 a，b，则 43a+1b 的最小值为
A. 72B. 7+336C. 7+436D. 76

二、选择题（共6小题；共30分）
25. 在三棱堆 P−ABC 中，PA=PB=PC=6，AB=BC=AC=62，E 为 PA 的中点，D，F 分别在 AC，PB 上，且 AD:CD=PF:BF=2:1，则
A. PA⊥BC
B. AB∥平面DEF
C. 点 C 到平面 DEF 的距离是 32613
D. 平面 DEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 47839

26. 如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，AB⊥BC，AB=2，BC=4，BB1=5，D 是 A1C1 的中点，点 E 在棱 AA1 上且靠近 A1，当 CE⊥B1E 时，则
A. BE=22
B. DE=6
C. S△ACE=35
D. 二面角 A1−B1E−D 的余弦值为 2121

27. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F，G 分别为 BC，CC1，BB1 的中点，则
A. 直线 D1D 与直线 AF 垂直
B. 直线 A1G 与平面 AEF 平行
C. 平面 AEF 截正方体所得的截面面积为 92
D. 点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等

28. 如图，正方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 的棱长为 1，则下列四个命题正确的是
A. 若点 M，N 分别是线段 AʹA，AʹDʹ 的中点，则 MN∥BCʹ
B. 点 C 到平面 ABCʹDʹ 的距离为 2
C. 直线 BC 与平面 ABCʹDʹ 所成的角等于 π4
D. 三棱柱 AAʹDʹ−BBʹCʹ 的外接球的表面积为 3π

29. 如图，在三棱锥 P−ABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90∘，AB=PA=6，BC=8，则
A. 三棱锥 D−BEF 的体积为 18
B. 平面 DEF 截三棱锥 P−ABC 所得的截面面积为 12
C. 点 P 与点 A 到平面 BDE 的距离相等
D. 直线 PB 与直线 DF 垂直

30. 如图，矩形 ABCD 中，AB=2AD=2，点 E 为边 AB 的中点，将 △ADE 沿直线 DE 翻折成 △A1DE（A1∉平面ABCD），若 M 为线段 A1C 的中点，则在 △ADE 的翻折过程中，下列结论正确的是
A. 恒有 BM∥平面A1DE
B. B 与 M 两点间的距离恒为定值
C. 三棱锥 A1−DEM 的体积的最大值为 212
D. 存在某个位置，使得 平面A1DE⊥平面A1CD
答案
第一部分
1. B【解析】作 PO⊥α 于点 O，连接 OA，OB，OC．
因为 PA=PB=PC，
所以 OA=OB=OC，
所以 O 是 △ABC 的外心．
所以 OA=AB2sin∠BCA=152sin120∘=53，
所以点 P 到平面 α 的距离 PO=PA2−OA2=11．
2. D【解析】设平面 ABCD 的法向量为 n=x,y,z，
因为 AB⊥n，AD⊥n，
所以 AB⋅n=4x−2y+3z=0，AD⋅n=−4x+y=0，
令 x=3，可得 n=3,12,4，
所以点 P 到底面 ABCD 的距离为 AP⋅nn=−6×3+2×12−8×413=2．
3. B【解析】易知 AB=−1,−1,2，
根据点到平面的距离公式可得点 A 到平面 α 的距离为：
∣AB⋅n∣∣n∣=∣−1×1+−1×2+2×1∣12+22+12=66.
4. D【解析】易知 AP=4,−1,−2，
则点 P 到平面 α 的距离 d=AP⋅nn=4×−1+−1×2+−2×2−12+22+22=103．
5. C
【解析】如图，过 D 作 DE⊥BC，垂足为 E，
因为 α−l−β 是直二面角，
AC⊥l，∴ AC⊥ 平面 β，
∴ AC⊥DE，BC⊥DE，AC∩BC=C，
∴ DE⊥ 平面 ABC，故 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离．
在 Rt△BCD 中，由等面积法得 DE=BD×CDBC，
又 BC=AB2−AC2=3，CD=BC2−BD2=2，
∴ DE=1×23=63．
6. C
7. C【解析】提示：分线段 AB 两端点在平面 α 同侧和异侧两种情况解决．
8. D【解析】由题意，可得蛋巢的底面是边长为 1 的正方形，则经过 4 个小直角三角形的顶点截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为 1．因为鸡蛋的体积为 4π3，所以鸡蛋的半径为 1，所以球心到截面圆的距离为 1−122=32，因为垂直折起的 4 个小直角三角形的高为 12，所以鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 32+1+12=32+32．
9. A【解析】过 A 作 AD⊥BC 于 D，连接 PD，
因为 AB=AC=5，BC=6，
所以 BD=DC=3，
又因为 PA⊥平面ABC，PA∩AD=A，
所以 BC⊥PD，
所以点 P 到 BC 的距离是 PD，
在 △ADC 中，AC=5，DC=3，
所以 AD=4，
在 Rt△PAD 中，PD=PA2+AD2=82+42=80=45．
10. A
【解析】设平面 ABCD 的法向量为 n=x,y,z，
则 n⋅AB=0,n⋅AD=0, 即 2x−y+3z=0,−2x+y=0,
令 x=1，可得 y=2，z=0，即 n=1,2,0，
所以 cs⟨n,AP⟩=n⋅AP∣n∣∣AP∣=15×26，
于是点 P 到平面 ABCD 的距离为 ∣AP∣⋅cs⟨n,AP⟩=55，
即四棱锥 P−ABCD 的高为 55．
11. B【解析】如图，在正方体中取 BB1，BD 中点 P1，O，及 BC1 的四等分点 M，
因为 PP1⊥BC1，P1M⊥BC1，P1M∩PP1=P1，P1M,PP1⊂平面PP1M，
所以 BC1⊥平面PP1M，则 BC1⊥PM．
又 OM⊥BC1，OM∩PM=M，
故 BC1⊥平面POM，
所以当点 Q 在线段 OM 上时，PQ⊥BC1，
则点 Q 到平面 A1B1C1D1 的距离最大为 6，最小为 6×34=92，
所以点 Q 到平面 A1B1C1D1 的距离的取值范围为 92,6．
故选B．
12. D【解析】因为三棱锥 P−ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，所以以 P 为原点，PA，PB，PC 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．
因为 PA=1，PB=2，PC=3，
所以 P0,0,0，A1,0,0，B0,2,0，C0,0,3，
所以 CP=0,0,−3，CA=1,0,−3，CB=0,2,−3．
设平面 ABC 的一个法向量为 n=x,y,z，
则 CA⋅n=0,CB⋅n=0,
即 x−3z=0,2y−3z=0,
取 z=2，则 x=6，y=3，所以 n=6,3,2，
所以点 P 到平面 ABC 的距离为 CP⋅nn=∣−6∣62+32+22=67．
13. C【解析】因为在三棱锥 P−ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，且长度相等，
所以此三棱锥的外接球即以 PA，PB，PC 为三边的正方体的外接球 O，
因为球 O 的半径为 1，
所以正方体的边长为 233，
即 PA=PB=PC=233，
球心到截面 ABC 的距离即正方体中心到截面 ABC 的距离，
设 P 到截面 ABC 的距高为 h，则正三棱锥 P−ABC 的体积 V=13S△ABC×h=13S△PAB×PC=13×12×2333，
因为 △ABC 为边长为 263 的正三角形，
S△ABC=233，
所以 h=23，
所以球心（即正方体中心）O 到截面 ABC 的距离为 13．
14. D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则 D0,0,0，D10,0,2，A12,0,2，B2,2,0，
所以 D1A1=2,0,0，DA1=2,0,2，DB=2,2,0．
设平面 A1BD 的法向量为 n=x,y,z，
则 n⋅DA1=2x+2z=0,n⋅DB=2x+2y=0.
令 x=1，则 n=1,−1,−1．
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离 d=∣D1A1⋅n∣∣n∣=23=233．
15. B
【解析】由已知平面 OAB 的一条斜线的方向向量 OP=−1,3,2，所以点 P 到平面 OAB 的距离 d=∣OP∣⋅∣cs⟨OP,n⟩∣=∣OP⋅n∣∣n∣=∣−2−6+2∣22+−22+1=2．
16. D
17. C【解析】设点 S 到底面的距离为 h，则 VS−ABC=13S△ABCh，
当三棱锥 S−ABC 的体积最大时，即 h 最大．
由题可知：△ABC 为边长为 3 的等边三角形，
则点 S 在底面的投影为 △ABC 的中心 M，且 OS⊥底面ABC．
如图所示：
又 AB=3，
所以 AM=23⋅AB⋅sin60∘=3，
又 OA=OS=2，
所以 OM=OA2−AM2=1，
所以 SM=OM+OS=3．
18. D【解析】设 D1 到平面 A1BD 的距离为 h，B 到平面 A1DD1 的距离为 hʹ=2．
因为 VB−A1DD1=VD1−A1DB，所以 13×S△A1DD1×hʹ=13×S△A1DB×h，即 13×12×2×2×2=13×34×222×h，解得 h=233．
其他方法：
如图建立空间直角坐标系，
则 D10,0,2，A12,0,2，D0,0,0，B2,2,0，可求得 DA1=2,0,2，DB=2,2,0，A1D1=−2,0,0，设 平面DBA1 的法向量 n=x,y,z，因为 n⋅DA1=0，n⋅DB=0，可得 n=1,−1,−1，所以 D1 到 平面A1BD 的距离 d=A1D1⋅nn=233．
19. D【解析】因为 B1E=AE=5，AB1=22，
所以 S△AB1E=6，
设点 C1 到平面 AB1E 的距离为 h，
则 VC1−AB1E=13×3×1=13×6h，
所以 h=22．
20. C
21. A
22. B【解析】提示：计算出 EF=22，GF=GE=26，利用 VG−BEF=VB−EGF，得到点 B 到平面 EFG 的距离．
23. D【解析】建立空间直角坐标系如图．
则 Aa,0,0，Ba,a,0，D0,0,0，C10,a,a，D10,0,a，B1a,a,a，
∴AB1=0,a,a，AD1=−a,0,a，BC1=−a,0,a，DC1=0,a,a．
设 n=x,y,z 为平面 AB1D1 的法向量，则 n⋅AB1=ay+z=0,n⋅AD1=a−x+z=0, 得 y=−z,x=z.
取 z=1，则 n=1,−1,1．
∵AD1∥BC1，AB1∥DC1，AD1∩AB1=A，DC1∩BC1=C1，
∴平面AB1D1∥平面BDC1．
∴ 平面 AB1D1 与平面 BDC1 的距离可转化为点 C1 到平面 AB1D1 的距离 d．
∵C1B1=a,0,0，平面 AB1D1 的法向量为 n=1,−1,1，
∴d=C1B1⋅nn=a3=33a．
24. C【解析】如图，连接 CE，DE，设 O 为底面三角形 BCD 的中心，连接 OA，
则正四面体的高 OA=2．
因为 VA−BCD=VE−BCD+VE−ACD，所以 a+b=2，所以
43a+1b=1243a+1ba+b=1273+4b3a+ab≥1273+24b3a⋅ab=7+436,
当且仅当 4b3a=ab，即 b=32a 时取等号．
第二部分
25. A， C， D
26. B， D
【解析】易知 BA⊥BC，BB1⊥BA，BB1⊥BC，以 B 为原点，BA，BC，BB1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设 AE=t，52所以 CE=2,−4,t，B1E=2,0,t−5，
因为 CE⊥B1E，
所以 CE⋅B1E=2×2−4×0+tt−5=0，即 t2−5t+4=0，
解得 t=4 或 t=1（舍），
所以 E2,0,4，DE=1−22+2−02+5−42=6，故选项B正确；
BE=2−02+0−02+4−02=25，故选项A不正确；
因为 AC=AB2+BC2=22+42=25，
所以 S△ACE=12AC×AE=12×25×4=45，故C不正确；
易知平面 A1B1E 的一个法向量为 B1C1=0,4,0，
设平面 DB1E 的法向量为 n=x,y,z，
B1D=1,2,0，DE=1,−2,−1，
由 B1D⋅n=0,DE⋅n=0, 得 x+2y=0,x−2y−z=0,
取 y=1，则 x=−2，z=−4，
所以 n=−2,1,−4，
显然二面角 A1−B1E−D 为锐角，
所以二面角 A1−B1E−D 的余弦值为 B1C1⋅nB1C1n=44×4+1+16=2121，故选项D正确．
27. B， C
【解析】若 D1D⊥AF，
又因为 D1D⊥AE 且 AE∩AF=A，
所以 D1D⊥平面AEF，
所以 D1D⊥EF，
所以 CC1⊥EF，显然不成立，故A错误；
如图①所示，取 B1C1 的中点 Q，连接 A1Q，GQ，
可知 GQ∥EF，A1Q∥AE，且 GQ∩A1Q=Q，EF∩AE=E，
所以 平面A1GQ∥平面AEF．
又因为 A1G⊂平面A1GQ，
所以 A1G∥平面AEF，故B正确；
如图②所示，连接 D1F，D1A，延长 D1F，AE，DC 交于点 S．
因为 E，F 分别为 BC，CC1 的中点，
所以 EF∥AD1，
所以 A，E，F，D1 四点共面，
所以截面即为梯形 AEFD1．
又因为 D1S=AS=42+22=25，AD1=22，
所以 S△AD1S=12×22×252−22=6，
所以 S梯形AEFD1=6×34=92，故C正确；
记点 C 与点 G 到面 AEF 的距离分别为 h1，h2，
因为 VC−AEF=13⋅S△AEF⋅h1=VA−CEF=13×12×1×1×2=13，VG−AEF=13⋅S△AEF⋅h2=VA−GEF=13×12×2×1×2=23，
所以 h1≠h2，故D错误．
28. A， C， D
【解析】对于A，若点 M，N 分别是线段 AʹA，AʹDʹ 的中点，则 MN∥ADʹ，又 BCʹ∥ADʹ，故 MN∥BCʹ，故A正确；
对于B，因为 BʹC⊥平面ABCʹDʹ，所以点 C 到平面 ABCʹDʹ 的距离为 BʹC 长度的一半，即为 22，故B错误；
对于C，直线 BC 与平面 ABCʹDʹ 所成的角为 ∠CBCʹ=π4，故C正确；
对于D，因为 AʹA，AʹBʹ，AʹDʹ 两两垂直，所以三棱柱 AAʹDʹ−BBʹCʹ 外接球也是正方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 的外接球，所以外接球半径为 12+12+122=32，故三棱柱 AAʹDʹ−BBʹCʹ 的外接球的表面积为 4π×322=3π，故D正确．
29. B， C
【解析】因为 D，E 分别是 PC，AC 的中点，
所以 PA∥DE，DE=12PA=3，
因为 PA⊥平面ABC，所以 DE⊥平面ABC，
易知 EF=4，BF=3，
所以 VD−BEF=13S△BEF×DE=13×12×3×4×3=6．
故A错误．
取 PB 中点 M，连接 DM，FM，则平面 DEF 截三棱锥 P−ABC 所得的截面为四边形 DEFM．
易证得四边形 DEFM 是矩形，且 S△DEF=12×3×4=6，
所以 S四边形DEFM=2S△DEF=12．
故B正确．
因为 PA∥DE，DE 在平面 BDE 内，PA 不在平面 BDE 内，
所以 PA∥平面BDE，
所以点 P 与点 A 到平面 BDE 的距离相等．
故C正确．
假设直线 PB 与直线 DF 垂直，
因为 PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以 PA⊥BC．
又 BC⊥AB，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，
所以 BC⊥平面PAB．
所以 BC⊥PB．
易知 EF∥BC，所以 EF⊥PB．
又 PB⊥DF，EF∩DF=F，EF,DF⊂平面DEF，
所以 PB⊥平面DEF．
易知 AB⊥平面DEF，与 PB⊥平面DEF 矛盾，故D错误．
30. A， B， C
【解析】对于A，取 CD 的中点 F，连接 MF，BF，
则 MF∥A1D 且 MF=12A1D，FB∥ED 且 FB=ED，
由 MF∥A1D，FB∥ED，A1D∩DE=D，FB∩MF=F，
可得 平面MBF∥平面A1DE，
所以恒有 BM∥平面A1DE，
故A正确；
对于B，在矩形 ABCD 中，AB=2AD=2，E 为 AB 中点，
所以 ED2=12+12=2=CE2，CD2=22=4，
所以 CE2+ED2=CD2，
所以 ∠CED=90∘，CE⊥ED．
取 CD 的中点 F，连接 MF，BF，
则 MF∥A1D，且 MF=12A1D，BF∥DE，BF=DE，∠A1DE=∠A1ED=∠MFB=45∘，
由余弦定理，得 MB=BF2+MF2−2BF⋅MFcs∠MFB=52，
故B正确；
对于C，当 平面A1DE⊥平面ABCD 时，
三棱锥 A1−DEM 的体积取得最大值，且最大值为 12VA1−DEC=12×13×22×1=212，
故C正确；
对于D，因为不存在某个位置，使得 平面A1DE⊥平面A1CD，故D错误．