高频考点小题组合练(三)

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这是一份高频考点小题组合练(三)，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2021·成都第七中学模拟)函数f(x)＝eq \f(4x,x2－1)的图象大致为( )
解析：D ∵x2－1≠0，∴x≠±1，即该函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，排除选项B；当01时，x2－1>0，∴f(x)>0，排除选项A．故选D．
2．(2021·长郡中学模拟)将函数f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,12)))－1的图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度后，所得图象对应的函数g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,4)))上的值域为( )
A．[0，1] B．[－1，3]
C．[－1，2eq \r(2)－1] D．[1，3]
解析：B 由题意可得g(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))－1，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,4)))时，2x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))∈[0，1]，所以函数g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,4)))上的值域为[－1，3]．故选B．
3．(2021·山东省实验中学模拟)已知等边△ABC的边长为2eq \r(3)，P为它所在平面内一点，且|eq \(AP,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→))|＝1，则|eq \(AP,\s\up6(―→))|的最大值为( )
A．4eq \r(3)＋1 B．7
C．5 D．2eq \r(3)－1
解析：B 如图，取BC的中点D，连接AD，并延长到E，使AD＝DE，因为△ABC为等边三角形，所以AD⊥BC，BD＝CD，所以eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AC,\s\up6(―→))＝2eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(AE,\s\up6(―→))，因为|eq \(AP,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→))|＝1，所以|eq \(AP,\s\up6(―→))－2eq \(AD,\s\up6(―→))|＝1，因为等边△ABC的边长为2eq \r(3)，所以|eq \(AD,\s\up6(―→))|＝|eq \(AB,\s\up6(―→))|sin 60°＝2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝3，要使|eq \(AP,\s\up6(―→))|取得最大值，则eq \(AP,\s\up6(―→))与eq \(AD,\s\up6(―→))共线且同向，所以|eq \(AP,\s\up6(―→))|的最大值为2×3＋1＝7.故选B．
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4asin B＝eq \r(3)bcs A＋bsin A，则A＝( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3) D．eq \f(2π,3)
解析：A 因为4asin B＝eq \r(3)bcs A＋bsin A，所以由正弦定理可得4sin Asin B＝eq \r(3)sin Bcs A＋sin Bsin A，因为B为三角形内角，所以sin B≠0，所以4sin A＝eq \r(3)cs A＋sin A，即3sin A＝eq \r(3)cs A，可得tan A＝eq \f(\r(3),3)，因为05．(2021·衡水中学模拟)在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB＝AB＝2eq \r(3)，∠BAC＝90°，AC＝4，则三棱锥PABC的外接球的表面积为( )
A．20π B．eq \f(64π,3)
C．32π D．80π
解析：C 如图，取AB的中点E，BC的中点D，连接PE，由题意知△PAB是等边三角形，则PE⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABC，又ED⊂平面ABC，所以PE⊥ED，过D作OD⊥平面ABC，则OD∥PE，因为∠CAB＝90°，所以三棱锥PABC的外接球的球心在DO上，设球心为O，连接OB，OP，设外接球半径为R，由已知得PE＝eq \f(\r(3),2)×2eq \r(3)＝3，BC＝eq \r(42＋（2\r(3)）2)＝2eq \r(7)，BD＝eq \r(7)，OD＝eq \r(R2－7)，在直角梯形PEDO中，ED＝eq \f(1,2)AC＝2，R2＝22＋(3－eq \r(R2－7))2，解得R＝2eq \r(2)，所以球表面积为S＝4πR2＝4π×(2eq \r(2))2＝32π.故选C．
6．(2021·苏州大学附属中学模拟)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上杯口外直径为eq \f(10\r(3),3)，下底座外直径为eq \f(2\r(39),3)，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为( )
A．2eq \r(2)π B．3π
C．2eq \r(3)π D．4π
解析：C 该金杯主体部分的上杯口外直径为eq \f(10\r(3),3)，下底座外直径为eq \f(2\r(39),3)，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(3),3)，2m))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(39),3)，－m))(m>0)代入双曲线方程可得eq \f(\f(25,3),a2)－eq \f(4m2,b2)＝1，eq \f(\f(13,3),a2)－eq \f(m2,b2)＝1，即eq \f(\f(25,12),a2)－eq \f(m2,b2)＝eq \f(1,4)，eq \f(\f(13,3),a2)－eq \f(m2,b2)＝1，作差可得eq \f(\f(27,12),a2)＝eq \f(3,4)，解得a2＝3，a＝eq \r(3)，所以杯身最细处的周长为2eq \r(3)π.故选C．
7．若函数g(x)在区间D上，对∀a，b，c∈D，g(a)，g(b)，g(c)为一个三角形的三边长，则称函数g(x)为“稳定函数”．已知函数f(x)＝eq \f(ln x,x)＋m在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)，e2))上是“稳定函数”，则实数m的取值范围为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2e＋\f(1,e)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2e2＋\f(1,e)，＋∞))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4e＋\f(1,e)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4e2＋\f(1,e)，＋∞))
解析：D 因为f(x)＝eq \f(ln x,x)＋m，则f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，当eq \f(1,e2)≤x≤e时，f′(x)≥0，此时函数f(x)单调递增；当ef（x）max，,f（x）min>0，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2（m－2e2）>m＋\f(1,e)，,m－2e2>0，))解得m>4e2＋eq \f(1,e).故选D．
8．(2021·华中师范大学第一附属中学模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，有Sn＝(－1)nan＋eq \f(1,2n)＋n－3，且(an＋1－p)(an－p)<0恒成立，则实数p的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(11,4))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(11,4)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(11,4))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(11,4)))
解析：D 因为Sn＝(－1)nan＋eq \f(1,2n)＋n－3，所以n≥2时，Sn－1＝(－1)n－1an－1＋eq \f(1,2n－1)＋n－1－3，两式相减得an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1－eq \f(1,2n)＋1，当n为偶数时，an＝an＋an－1－eq \f(1,2n)＋1，an－1＝eq \f(1,2n)－1，所以n为奇数时，an＝eq \f(1,2n＋1)－1，这是一个递减数列，a1＝eq \f(1,22)－1＝－eq \f(3,4)，所以an≤－eq \f(3,4)，当n为奇数时，an＝－an－an－1－eq \f(1,2n)＋1，an－1＝－2an－eq \f(1,2n)＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n＋1)－1))－eq \f(1,2n)＋1＝3－eq \f(1,2n－1)，所以n为偶数时，an＝3－eq \f(1,2n)，这是一个递增数列，a2＝3－eq \f(1,22)＝eq \f(11,4)，an≥eq \f(11,4)，(an＋1－p)(an－p)<0恒成立，所以an二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．(2021·深圳中学模拟)已知集合A＝{x∈R|x2－3x－18<0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－27<0}，则下列命题中正确的是( )
A．若A＝B，则a＝－3
B．若A⊆B，则a＝－3
C．若B＝∅，则a≤－6或a≥6
D．若BA，则－6解析：ABC A＝{x∈R|－3a＝－3时，A＝B，故D不正确；
若A⊆B，则(－3)2＋a·(－3)＋a2－27≤0，且62＋6a＋a2－27≤0，解得a＝－3，故B正确；
当B＝∅时，a2－4(a2－27)≤0，解得a≤－6或a≥6，故C正确．故选A、B、C．
10．(2021·北京人大附中模拟)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，则下列选项正确的是( )
A．ab≥8
B．a＋b≤3＋2eq \r(2)
C．2b>4
D．lg2(a－1)·lg2(b－2)≤eq \f(1,4)
解析：ACD 对于A，2a＋b＝ab≥2eq \r(2ab)，则ab≥8，当且仅当a＝2，b＝4时，等号成立，故A正确；
对于B，2a＋b＝ab变形得eq \f(2,b)＋eq \f(1,a)＝1，所以a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,b)＋\f(1,a)))＝eq \f(2a,b)＋2＋1＋eq \f(b,a)≥3＋2eq \r(2)，当且仅当eq \f(2a,b)＝eq \f(b,a)，即b＝eq \r(2)a＝2＋eq \r(2)时，等号成立，故B错误；
对于C，因为eq \f(2,b)＋eq \f(1,a)＝1，所以02，则2b>4，故C正确；
对于D，由2a＋b＝ab可得(a－1)(b－2)＝2，lg2(a－1)＋lg2(b－2)＝lg2[(a－1)(b－2)]＝1，lg2(a－1)·lg2(b－2)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(lg2（a－1）＋lg2（b－2）,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，当且仅当a－1＝b－2，即a＝eq \r(2)＋1，b＝eq \r(2)＋2时，等号成立，故D正确．故选A、C、D．
11．(2021·本溪高级中学模拟)已知函数f(x)＝sin x(sin x－cs x)，下列叙述错误的是( )
A．f(x)的最小正周期是2π
B．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)，\f(π,8)))上单调递增
C．f(x)图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称
D．f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(1,2)))对称
解析：ABC f(x)＝sin x(sin x－cs x)＝sin2x－sin x·cs x＝eq \f(1－cs 2x,2)－eq \f(sin 2x,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，T＝eq \f(2π,2)＝π，所以A错误；
令t＝2x＋eq \f(π,4)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)，\f(π,8)))，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sin t单调递增，f(x)单调递减，所以B错误；
x＝eq \f(π,4)时，f(x)不取最大值或最小值，所以C错误；
因为函数y＝－eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))对称，所以f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(1,2)))对称，所以D正确．故选A、B、C．
12．已知函数y＝f(x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f′(x)是其导函数，恒有eq \f(f′（x）,sin x)>eq \f(f（x）,cs x)，则下列选项正确的是( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))>eq \r(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))
B．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))>eq \f(\r(2),2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))<2cs 1·f(1)
D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))>2cs 1·f(1)
解析：AD 因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sin x>0，cs x>0，
又eq \f(f′（x）,sin x)>eq \f(f（x）,cs x)，所以f′(x)cs x>f(x)sin x．构造函数g(x)＝f(x)cs x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则g′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x>0，所以g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上为增函数，因为eq \f(π,3)>eq \f(π,4)，所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))>geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))cs eq \f(π,3)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))·cs eq \f(π,4)，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))>eq \r(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，故A正确；
因为eq \f(π,4)>eq \f(π,6)，所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))>geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))cs eq \f(π,4)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))cs eq \f(π,6)，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))>eq \f(\r(6),2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，故B错误；
因为eq \f(π,6)<1，所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))因为eq \f(π,3)>1，所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))>g(1)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))cs eq \f(π,3)>f(1)cs 1，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))>2f(1)cs 1，故D正确．故选A、D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．(2021·华中师大一附中模拟)写出一个定义在R上且使得命题“若f′(1)＝0，则1为函数f(x)的极值点”为假命题的函数f(x)＝__________．
解析：由题意，f′(1)＝0且f′(x)在x＝1处不存在变号零点，例如f(x)＝(x－1)3，则f′(x)＝3(x－1)2，所以f′(1)＝0，且f′(x)＝3(x－1)2≥0，符合题意．
答案：(x－1)3(答案不唯一)
14．(2021·深圳中学高三模拟)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))(1－x)7的展开式中x3的系数为_______．
解析：二项式(1－x)7的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,7)17－r·(－x)r，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))(1－x)7的展开式中含x3的项为x·Ceq \\al(2,7)(－x)2－eq \f(1,x)·Ceq \\al(4,7)(－x)4＝－14x3，故x3的系数为－14.
答案：－14
15．(2021·山东师范大学附属中学模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若eq \f(Sn,S2n)为常数，则称数列{an}为“精致数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“精致数列”，则数列{bn}的通项公式为________．
解析：设等差数列{bn}的公差为d，由eq \f(Sn,S2n)为常数，设eq \f(Sn,S2n)＝k，且b1＝1，得n＋eq \f(1,2)n(n－1)d＝keq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2n＋\f(1,2)×2n（2n－1）d))，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)·dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因为对任意正整数n，上式恒成立，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d（4k－1）＝0，,（2k－1）（2－d）＝0，))解得d＝2，k＝eq \f(1,4)，所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N*)．
答案：bn＝2n－1(n∈N*)
16．(2021·镇海中学模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则抛物线C的准线方程是________；若过焦点且斜率为k(k>0)的直线与C交于A，B两点，点F′与点F关于坐标原点对称，若tan∠AF′B＝4eq \r(5)，则直线AB的方程为__________．
解析：由已知可得，抛物线的准线方程是x＝－1.如图，易得过点F′且垂直于x轴的直线为抛物线的准线l，过点A作AA2垂直x轴于点A2，过点A作AA1垂直直线l于点A1，设直线AB的倾斜角为α，∠AF′F＝β，∠BF′F＝γ，由k>0易得0<α答案：x＝－1 2x－y－2＝0