安徽省安庆市2020届高三第二次模拟考试数学试题含答案

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2020年安庆市高三模拟考试（二模）

数学试题（文科）

命题：安庆市高考命题研究课题组

第Ⅰ卷

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

1．已知全集，，|=，则∩（）=

A．          B．             C．          D．  

2. 复数的共轭复数是

 A．          B.            C.        D.

3. 设为实数，则“”是“”的 

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4．函数在上的图象大致是

5. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，

   中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：

米几何？”右图是执行该计算过程的一个程序框图，

当输出的(单位：升)，则器中米应为

A.  升                 B. 升     

C . 升                D. 升

6. 数列和数列满足:,

,，

则  

A.           B.           C.               D.

7. 若，则=

A.           B.              C.            D.

8．掷铁饼是一项体育竞技活动.如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”.经测量此时两手掌心之间的弧长是 “弓”所在圆的半径为米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为

(参考数据：)

1. 米 

B．米     

C．米 

D．米

9.“爱护地球 节约用水”是我们每个公民的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准.为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样调查，获得了个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表所示.

则估计全市家庭年用水量的中位数是

A．立方米   B．立方米     C．立方米    D．立方米

10. 点分别是双曲线的左、右焦点，直线与该双曲线交于两点,则

A.              B.              C.              D.

11. 已知在四面体中，,则四面体的外接球的表面积是

A.             B.            C .             D.

12. 已知函数的图象在点处的切线斜率是，则的最大值是

A.               B.             C .            D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

13. 直线被圆截得的弦长是             .

14. 设函数. 若则                .

15. 已知圆锥的顶点为，过母线、的截面面积是. 若、的夹角是，且与圆锥底面所成的角是，则该圆锥的表面积为__________．

16.在中，为其外心, 且，则边的长是               .

第Ⅱ卷

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

2015年7月31日，国际体育奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季奥运会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办. 某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛. 随机抽取了25名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图.  成绩在平均分以上（含平均分）的学生所在组别定义为甲组，成绩在平均分以下（不含平均分）的学生所在组别定义为乙组.

（Ⅰ）在这25名学生中，甲组学生中有男生6人，乙组学生中有女生11人，试问有没有90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关？

（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率.

附表及公式：

18．（本小题满分12分）

设数列是一个公差为的等差数列，其前项和为, ，且三项成等比数列.

（Ⅰ）求公差的值；

（Ⅱ）设数列的前项和为，求使不等式成立的最小正整数.

19．（本小题满分12分）

正三角形ABC的边长为，将它沿平行于的线段折起（其中在AB边上，在AC边上），使平面 分别是的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若折叠后，A、B两点间的距离为，求最小时，四棱锥的体积.

20. （本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，中心在原点的椭圆经过点，其右焦点与抛物线的焦点重合.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点为长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

21．(本小题满分12分)

已知函数的极小值为，其中，为自然对数的底数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函数无零点，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，，且，求的值．

23. [选修4–5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知，，且

（Ⅰ）若对于任意的正数，，不等式≤恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）证明：.

2020年安庆市高三模拟考试（二模）

数学试题（文）参考答案

一、    选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一      

个选项是符合要求的

1.解析：本题主要考查集合的运算.

因为|=，所以.故选A.

2.解析：本题主要考查复数的计算与共轭复数的意义.

. 故选D.

3.解析：本题主要考查简易逻辑.但不能推出,

因为可以为负数.由可以得到.故“”是

“”的必要不充分条件. 故选B.

4.解析：本题主要考查三角函数的图象.显然， 是奇函数，排除A,D;

当时，所以排除C. 故选B.

5.解析: 本题主要考查算法框图与数学文化.由得，;

由得，; 由得，.故选D.

6.解析：本题主要考查等比数列及其性质.

于是. 故选C.

7.解析：本题主要考查三角函数的化简与计算.

原式= 故选A 

8.解析：本题主要考查圆与数学文化.

根据题意作出下图，弧的长为

所以故选B.

9. 解析：本题主要考查频率分布表、频率分布直方图和方图中中位数的求法.

用水量在内的频数是50，频率是，则.

用水量在内的频率是，用水量在内的频率是.

   设中位数为立方米. 因为前3组的频率之和为

而前2组的频率之和为 所以

由解得，. 故选D.

10.解析：本题主要考查直线与双曲线的位置关系.

双曲线的右焦点是，直线经过点,两

点在右支上.于是故选B.

11. 解析：本题主要考查四面体的外接球. 

  ∴四面体的外接球半径为

于是四面体的外接球的表面积是故选C.

12. 解析：本题主要考查三角函数的最值与导数.

因为，所以

因此.

于是.

当，即时，；当，即

时，.所以当时，取得最大值故选C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

13.        14.          15.        16.

13.解析：本题主要考查直线与圆的位置关系.

就是

圆心到直线的距离是.

        截得的弦长是

14.解析：本题主要考查函数的性质.

因为，所以

15.解析：本题主要考查圆锥的截面和表面积.

设圆锥的母线长是，则

圆锥底面半径是.

于是该圆锥的表面积为

16.解析：本题主要是考查平面向量与解三角形.

设外接圆的半径是

.

.

于是

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

解析：（Ⅰ）由茎叶图数据计算得，平均分为80，所以甲组10人，乙组15人. …2分

作出列联表如下：

                                                ………………………………5分

将列联表数据代入公式计算得,

所以有90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关.……………………8分

（Ⅱ）由分层抽样知, 甲组应抽2人（记为A、B），乙组应抽3人（记为）.

…………………9分

从这5人中抽取2人的情况分别是共有10种.

其中至少有一人在甲组的种数是7种，分别是

故至少有1人在甲组的概率是              ………………………………12分

18．(本小题满分12分)

解析：（Ⅰ）因为成等比数列，所以 .

而是等差数列，所以.      

于是，即，解得.

…………4分

由知,，解得.

…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，易求得，

所以.

.

…………9分

由解得,.故使不等式成立的最小正整数为.

…………12分

19．(本小题满分12分)

解析：（Ⅰ）连接在中，是的中点，

所以                                             …………2分

又因为是等腰梯形的对称轴，所以         

而所以平面.                        …………4分

（Ⅱ）因为平面所以 连结BD，则 

设，于是.    

因此

……………8分

当时， 此时四棱锥的体积为

             …………12分

20. (本小题满分12分)

解析：（Ⅰ）由题意知椭圆的两个焦点

设椭圆.由解得，

                       ………………4分

（Ⅱ）由题意可设直线的方程为.

联立.         ……………………6分      

.

因为点为椭圆长轴上的一个动点，所以

此时

……………………8分

故为定值13.                         …………………………12分

21. (本小题满分12分)

解析：（Ⅰ）已知函数，所以.

 (1) 当≤时，恒成立，则在上单调递增，所以函数无极值,不符合题意.                                                    ………2分

(2) 当时，令，得，．

当，；当，．

所以在内单调递减，在内单调递增.

因此在处取得极小值，且极小值为解得

故的值为.                                               ………5分

（Ⅱ）当时，，则.

函数无零点，等价于方程在上没有实数解，即关于的方程：在上没有实数解．

(1)当时，方程为，易知方程没有实数解.           ………7分

(2)当时，方程化为.

令则由得,.是的极小值,也是最小值,                        ………9分

所以当时，方程无实数解，解得.

综上可知, 实数的取值范围是.                 ……………12分

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

解析；（Ⅰ）由直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为，

……………………2分

将，代入

得曲线的普通方程为．               ……………………5分

（Ⅱ）设对应的参数为，将代入，得

，所以，                  ………………7分

由于直线过，且，所以

于是，.故.

………………10分

23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

解析: （Ⅰ）因为，所以≥4

即≤4，当且仅当时取等号，因此的最小值是4.…………3分

于是≤≤≤≤≤        

故实数的取值范围是          ……………………………… 5分 

（Ⅱ）

≥故≥1.

…………10分

或直接运用二维柯西不等式：≥

当且仅当时取等号. 故≥1.