2021年北京朝阳区传媒大学附属中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区传媒大学附属中学九年级上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6，sinB=23，那么 AB 的长是
A. 4B. 9C. 35D. 25

2. 抛物线 y=3x−22+5 的顶点坐标是
A. 2,5B. −2,5C. −2,−5D. 2,−5

3. 如图，若 AB 是 ⊙O 的直径，CD 是 ⊙O 的弦，∠ABD=50∘，则 ∠BCD 的度数为
A. 40∘B. 50∘C. 35∘D. 55∘

4. 已知反比例函数 y=2k−3x 的图象经过点 1,1，则 k 的值为
A. −1B. 0C. 1D. 2

5. 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，BC 上的点，且 DE∥AC，AE，CD 相交于点 O，若 S△DOE:S△COA=1:25，则 S△BDE 与 S△CDE 的比是
A. 1:3B. 1:4C. 1:5D. 1:25

6. 选一选。
在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+(2m−1)x+2m−4与y=x2−(3m+n)x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A. m=57，n=−187B. m=5，n=−6C. m=−1，n=6D. m=1，n=−2

7. 若面积为 6 的直角三角形两直角边的长分别为 x，y，则 y 关于 x 的函数图象大致为
A. B.
C. D.

8. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C，D 为 ⊙O 上两点，若 ∠BCD=25∘，则 ∠ABD 的大小为
A. 50∘B. 55∘C. 60∘D. 65∘

9. 将点 P5,3 向下平移 1 个单位后，落在函数 y=kx 的图象上，则 k 的值为
A. k=10B. k=12C. k=18D. k=20

10. 二次函数 y=ax2+bx+c，自变量 x 与函数 y 的对应值如表：
x⋯−5−4−3−2−10⋯y⋯40−2−204⋯
下列说法正确的是
A. 抛物线的开口向下
B. 当 x>−3 时，y 随 x 的增大而增大
C. 二次函数的最小值是 −2
D. 抛物线的对称轴是 x=−52

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若反比例函数 y=2a−1x 的图象有一支位于第一象限，则常数 a 的取值范围是 ．

12. 已知关于 x 的方程 x2+2x+k=0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 ．

13. 如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，位似比是 1:2，点 A 的坐标为 0,1，则点 E 的坐标是 ．

14. 已知点 A2,−1 在反比例函数 y=kxk≠0 的图象上，那么 k= ．

15. 某一型号飞机着陆后滑行的距离 y （单位：m ）与滑行时间 x （单位：s ）之间的函数关系式是 y=60x−1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m 才能停下来．

16. 如图，△ABC 中，AB=6，DE∥AC，将 △BDE 绕点 B 顺时针旋转得到 △BDʹEʹ，点 D 的对应点 Dʹ 落在边 BC 上．已知 BEʹ=5，DʹC=4，则 BC 的长为 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：4cs30∘−3tan60∘+2sin45∘⋅cs45∘．

18. 如图，∠B=∠ADF，指出图中一对相似三角形并证明．

19. 一个矩形的长为 a，宽为 b（a>0，b>0），则矩形的面积为 a⋅b．代数式 xy（x>0，y>0）可以看作是边长为 x 和 y 的矩形的面积．我们可以由此解一元二次方程：x2+x−6=0（x>0）．具体过程如下：
①方程变形为 xx+1=6；
②画四个边长为 x+1，x 的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程．
∵SABCD=x+x+12，又 S△ABCD=4xx+1+12．
∴x+x+12=4xx+1+1，又 xx+1=6，
∴2x+12=25，
∵x>0，
∴x=2．
参照上述方法求关于 x 的二次方程 x2+mx−n=0 的解（x>0，m>0，n>0）．（要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤）

20. 已知 x=12 是方程 62x+m=3m+2 的解，求关于 x 的方程 mx+2=m1−2x 的解.

21. 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A−1,2，B0,1，C2,−7，求这个二次函数的解析式．

22. 如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是 1 m，拱桥的跨度为 10 m，桥洞与水面的最大距离是 5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4 m 的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求两盏景观灯之间的水平距离．

23. 如图，平行四边形 ABCD，DE 交 BC 于 F，交 AB 的延长线于 E，且 ∠EDB=∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE．
（2）若 DE=9 cm，AE=12 cm，求 DC 的长．

24. 如图，四边形 ABCD 为正方形．点 A 的坐标为 0,2，点 B 的坐标为 0,−3，反比例函数 y=kx 的图象经过点 C，一次函数 y=ax+b 的图象经过点 A 和点 C．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点 P 是反比例函数图象上的一点，△OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积，求 P 点的坐标．

25. 某兴趣小组用高为 1.2 米的仪器测量建筑物 CD 的高度．如示意图，由距 CD 一定距离的 A 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 β，在 A 和 C 之间选一点 B，由 B 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 α．测得 A，B 之间的距离为 4 米，tanα≈1.6，tanβ≈1.2．求建筑物 CD 的高度．

26. 如图，在 △ABC 中，BA=BC，以 AB 为直径的 ⊙O 分别交 AC 、 BC 于点 D 、 E，BC 的延长线与 ⊙O 的切线 AF 交于点 F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若 AC=210，sin∠CAF=1010，求 BE 的长．

27. 已知 y 与 x−4 成反比例，且当 x=−4 时，y=12．
（1）写出 y 与 x 的函数解析式；
（2）求当 y=18 时，x 的值．

28. 如图，要把一块三角形土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植．如果 ∠C=90∘，∠B=30∘，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来，至少用两种方法，并说明作法．

29. 若抛物线 L:y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，abc≠0）与直线 l 都经过 y 轴上的一点 P，且抛物线 L 的顶点 Q 在直线 l 上，则称此直线 l 与该抛物线 L 具有“一带一路”关系，此时，直线 l 叫做抛物线 L 的“带线”，抛物线 L 叫做直线 l 的“路线”．
（1）若直线 y=mx+1 与抛物线 y=x2−2x+n 具有“一带一路”关系，求 m，n 的值；
（2）若某“路线”L 的顶点在反比例函数 y=6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为 y=2x−4，求此“路线”L 的解析式；
（3）当常数 k 满足 12≤k≤2 时，求抛物线 L:y=ax2+3k2−2k+1x+k 的“带线”l 与 x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. A【解析】∵y=3x−22+5，
二次函数顶点式 y=ax−h2+k，顶点为 h,k，
∴ 顶点为 2,5．
3. A【解析】如图，连接 AC，
∵AB 为直径，
∴∠ACB=90∘．
∵∠ABD=50∘，
∴∠ACD=∠ABD=50∘，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=90∘−50∘=40∘．
4. D
5. B
6. D【解析】∵抛物线y=x2+(2m−1)x+2m−4与y=x2−(3m+n)x+n关于y轴对称，
∴
2m−1=3m+n2m−4=n
，解之得
m=1n=−2
，
故选：D．
7. C
8. D
9. A
10. D
第二部分
11. a>12
12. 1
【解析】一元二次方程有两个相等的实数根，
所以 Δ=4−4k=0，
解得 k=1．
13. 2,2
14. −2
15. 600
16. 2+34
【解析】由旋转可得，BE=BEʹ=5，BD=BDʹ，
∵DʹC=4，
∴BDʹ=BC−4，即 BD=BC−4，
∵DE∥AC，
∴BDBA=BEBC，即 BC−46=5BC，
解得 BC=2+34（负值已舍去），即 BC 的长为 2+34．
第三部分
17. 原式=4×32−3×3+2×22×22=1−3.
18. △AED∽△ACB．
证明如下：
∵∠A=∠A，∠B=∠ADE，
∴△AED∽△ACB．
19. ①方程变形为 xx+m=n；
②画四个边长为 x+m，x 的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程．
∵SABCD=x+x+m2，又 SABCD=4xx+m+m2．
∴x+x+m2=4xx+m+m2，又 xx+m=n，
∴2x+m2=4n+m2，
∵x>0，
∴x=124n+m2−m（m>0，n>0）．
20. ∵x=12 是方程 62x+m=3m+2 的解，
∴m=−43 .
∴mx+2=m1−2x ，即 −43x+2=−431−2x .
解得 x=56 .
21. 将点 A，B，C 的坐标值代入 y=ax2+bx+c 中，得
a−b+c=2,c=1,4a+2b+c=−7, 解得：a=−1,b=−2,c=1.
则二次函数的解析式为 y=−x2−2x+1．
22. （1） y=−425x−52+50≤x≤10．
（2） 5 米．
23. （1） ∵ 平行四边形 ABCD 中，∠A=∠C，
∵∠EDB=∠C，
∴∠A=∠EDB，
又 ∠E=∠E，
∴△ADE∽△DBE．
（2） 在平行四边形 ABCD 中，DC=AB，
由（1）得 △ADE∽△DBE，
∴DEAE=BEDE，
∴BE=DE2AE=9212=274，
∴AB=AE−BE=12−274=214，
∴DC=214cm．
24. （1） ∵ 点 A 的坐标为 0,2，点 B 的坐标为 0,−3，
∴ AB=5，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ 点 C 的坐标为 5,−3．
∵ 反比例函数 y=kx 的图象经过点 C，
∴ −3=k5，解得 k=−15，
∴ 反比例函数的解析式为 y=−15x；
∵ 一次函数 y=ax+b 的图象经过点 A，C，则 b=2,5a+b=−3, 解得 a=−1,b=2,
∴ 一次函数的解析式为 y=−x+2．
（2） 设 P 点的坐标为 x,y．
∵ △OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积，
∴ 12×OA⋅∣x∣=52，
∴ 12×2⋅∣x∣=52，解得 x=±25．
当 x=25 时，y=−1525=−35；当 x=−25 时，y=−15−25=35．
∴ P 点的坐标为 25,−35 或 −25,35．
25. 设 DG=x 米．
在 Rt△DGF 中，tanα=DGGF，
∴tanα=xGF．
在 Rt△DGE 中，tanβ=DGGE，
∴tanβ=xGE．
∴GF=xtanα，GE=xtanβ．
∴EF=xtanβ−xtanα．
∴4=x1.2−x1.6．
解得 x=19.2．
∴CD=DG+GC=19.2+1.2=20.4．
答：建筑物高为 20.4 米．
26. （1） 连接 BD．
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ADB=90∘，BD⊥AC，
∴ ∠DAB+∠DBA=90∘．
∵ BA=BC．
∴ 2∠ABD=∠ABC．
∵ AF 为 ⊙O 的切线，
∴ ∠FAB=90∘．
∴ ∠FAC+∠CAB=90∘．
∴ ∠FAC=∠ABD．
∴ ∠ABC=2∠CAF．
（2） 连接 AE．
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠AEB=∠AEC=90∘．
∵ sin∠CAF=1010，∠ABD=∠CAF=∠CBD=∠CAE，
∴ sin∠ABD=sin∠CAF=1010．
∵ ∠ADB=90∘，AC=210，
∴ AD=10，AB=ADsin∠ABD=10=BC．
∵ ∠AEC=90∘，AC=210，
∴ CE=AC⋅sin∠CAE=2．
∴ BE=BC−CE=10−2=8．
27. （1） 设 y=kx−4，
∵ 当 x=−4 时，y=12，
∴12=k−4−4，解得 k=−4．
∴y=−4x−4，即 y=−4x−4．
（2） 当 y=18 时，18=−4x−4，解得 x=349．
28. 方法一：
如解图①，作 ∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，则 △ADC，△ADE，△BDE 的大小、形状都相同．
①
方法二：
如解图②，作斜边 AB 的中垂线交 AB 于点 G，交 BC 于点 F，连接 AF，则 △AFC，△AFG，△BFG 的大小、形状都相同．
②
29. （1） 由题意 n=1 则抛物线 y=x2−2x+1，顶点为 1,0
将 1,0 代入 y=mx+1．
∴m=−1．
∴n=1．
（2） 由题意设“路线”L 解析式 y=ax−h2+k，顶点 h,k 在 y=6x 和 y=2x−4 上 .
∴k=6h,k=2h−4.
解得 h=−1 或 3 .
∴ 顶点 h,k 为 −1,−6 或 3,2 .
∴y=ax+12−6 或 y=ax−32+2 .
又“路线”L 过 0,−4 代入解得 a=−23 （顶点为 −1,−6 ）， a=2 （顶点 3,2 ）.
y=−23x2+4x−4 或 y=2x2+4x−4 .
（3） 由题抛物顶点坐标 −3k2−2k+12a,4ak−3k2−2k+124a .
设带线 l:y=px+k，代入顶点坐标得 p=3k2−2k+12 .
∴y=3k2−2k+12x+k .
令 y=0 ，
∴ 带线 l 交 x 轴于 −2k3k2−2k+1,0 .
令 x=0，交 y 轴于 0,k .
∵k≥12>0，3k2−2k+1=3k−132+23>0 ，
∴ 带线 l 与坐标轴围成三角形面积 s 为
s=12×2k3k2−2k+1×k=k23k2−2k+1=11k2−2⋅1k+3
令 t=1k
∵12≤k≤2
∴12≤t≤2
∴s=1t2−2t+3,1s=t2−2t+3=t−12+2
在 12≤t≤2 时，1smax=3，当 t=2 取到；
1smin=2，当 t=1 取到．
∴13≤s≤12 .