课时质量评价40　空间向量及其运算练习题

这是一份课时质量评价40　空间向量及其运算练习题，共8页。
A组 全考点巩固练
1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq \f(1,2)x－2a，则x等于( )
A．(0,3，－6)B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6)D．(6,6，－6)
B 解析：由b＝eq \f(1,2)x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．
2．O为空间任意一点，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，则A，B，C，P四点( )
A．一定不共面B．一定共面
C．不一定共面D．无法判断
B 解析：因为eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，且eq \f(3,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)＝1，所以P，A，B，C四点共面．
3．如图，在大小为45°的二面角A-EF-D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A．eq \r(3) B．eq \r(2) C．1 D．eq \r(3－\r(2))
D 解析：因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))，所以|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BF,\s\up6(→))|2＋|eq \(FE,\s\up6(→))|2＋|eq \(ED,\s\up6(→))|2＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))＋2eq \(FE,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＝1＋1＋1－eq \r(2)＝3－eq \r(2)，故|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3－\r(2)).
4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
C 解析：因为(2a＋b)·b＝0，所以2a·b＋b2＝0，所以2|a||b|cs θ＋|b|2＝0.又因为|a|＝|b|≠0，所以cs θ＝－eq \f(1,2)，所以θ＝120°.
5．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，M为BC中点，则△AMD是( )
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．不确定
C 解析：因为M为BC中点，所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0.
所以AM⊥AD，△AMD为直角三角形．
6．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则点M的坐标是________．
(0，－1，0) 解析：设M(0，y,0)，则eq \(MA,\s\up6(→))＝(1，－y，2)，eq \(MB,\s\up6(→))＝(1，－3－y,1)，由题意知|eq \(MA,\s\up6(→))|＝|eq \(MB,\s\up6(→))|，所以12＋y2＋22＝12＋(－3－y)2＋12，解得y＝－1，故M(0，－1,0)．
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈eq \(CM,\s\up6(→))，eq \(D1N,\s\up6(→))〉的值为________．
eq \f(4\r(5),9) 解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则易得eq \(CM,\s\up6(→))＝(2，－2,1)，eq \(D1N,\s\up6(→))＝(2,2，－1)，
所以cs〈eq \(CM,\s\up6(→))，eq \(D1N,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(CM,\s\up6(→))·\(D1N,\s\up6(→)),|\(CM,\s\up6(→))||\(D1N,\s\up6(→))|)＝－eq \f(1,9)，
所以sin〈eq \(CM,\s\up6(→))，eq \(D1N,\s\up6(→))〉＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,9)))eq \s\up12(2))＝eq \f(4\r(5),9).
8．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝eq \(AB,\s\up6(→))，b＝eq \(AC,\s\up6(→)).
(1)若|c|＝3，且c∥eq \(BC,\s\up6(→))，求向量c；
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．
解：(1)因为c∥eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，
所以c＝meq \(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，
所以|c|＝eq \r(－2m2＋－m2＋2m2)＝3|m|＝3，
所以m＝±1.所以c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．
(2)因为a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
所以a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.
又因为|a|＝eq \r(12＋12＋02)＝eq \r(2)，
|b|＝eq \r(－12＋02＋22)＝eq \r(5)，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－1,\r(10))＝－eq \f(\r(10),10)，
故向量a与向量b的夹角的余弦值为－eq \f(\r(10),10).
9．如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)写出点E，F的坐标；
(2)求证：A1F⊥C1E；
(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：eq \(A1F,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1C1,\s\up6(→))＋eq \(A1E,\s\up6(→)).
(1)解：E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
(2)证明：因为A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，
所以eq \(A1F,\s\up6(→))＝(－x，a，－a)，eq \(C1E,\s\up6(→))＝(a，x－a，－a)，
所以eq \(A1F,\s\up6(→))·eq \(C1E,\s\up6(→))＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，
所以eq \(A1F,\s\up6(→))⊥eq \(C1E,\s\up6(→))，
所以A1F⊥C1E.
(3)证明：因为A1，E，F，C1四点共面，
所以eq \(A1E,\s\up6(→))，eq \(A1C1,\s\up6(→))，eq \(A1F,\s\up6(→))共面．
选eq \(A1E,\s\up6(→))与eq \(A1C1,\s\up6(→))为平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，
使eq \(A1F,\s\up6(→))＝λ1eq \(A1C1,\s\up6(→))＋λ2eq \(A1E,\s\up6(→))，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)
＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＝－aλ1，,a＝aλ1＋xλ2，,－a＝－aλ2，))解得λ1＝eq \f(1,2)，λ2＝1.
于是eq \(A1F,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1C1,\s\up6(→))＋eq \(A1E,\s\up6(→)).
B组 新高考培优练
10．(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列判断正确的是( )
A．(eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→)))2＝3eq \(A1B1,\s\up6(→))2
B.eq \(A1C,\s\up6(→))·(eq \(A1B1,\s\up6(→))－eq \(A1A,\s\up6(→)))＝0
C．向量eq \(AD1,\s\up6(→))与向量eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角是60°
D．正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))|
AB 解析：选项A中，(eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→)))2＝eq \(A1A,\s\up6(→))2＋eq \(A1D1,\s\up6(→))2＋eq \(A1B1,\s\up6(→))2＝3eq \(A1B1,\s\up6(→))2，故选项A正确；选项B中，eq \(A1B1,\s\up6(→))－eq \(A1A,\s\up6(→))＝eq \(AB1,\s\up6(→))，因为AB1⊥A1C，所以eq \(A1C,\s\up6(→))·(eq \(A1B1,\s\up6(→))－eq \(A1A,\s\up6(→)))＝0，故选项B正确；选项C中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°，故选项C不正确；选项D中，|AB·eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))|＝0，故选项D不正确．
11．(2021·湖北重点高中联考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点．若AA1＝eq \r(2)，则异面直线A1C与AD所成角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
C 解析：(方法一)如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，则AD∥A1D1，所以异面直线A1C与AD所成的角就是A1C与A1D1所成的角，即∠CA1D1(或其补角)就是异面直线A1C与AD所成的角．
连接D1C，因为A1B1＝A1C1，所以A1D1⊥B1C1.
又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，
所以A1D1⊥平面BCC1B1.因为D1C⊂平面BCC1B1，所以A1D1⊥D1C，所以△A1D1C为直角三角形．在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝eq \r(3)，所以∠CA1D1＝60°.故选C．
(方法二)以A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，则A1(0,0，eq \r(2))，A(0,0,0)．
因为△ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，所以AB＝AC＝eq \r(2)，
所以B(eq \r(2)，0,0)，C(0，eq \r(2)，0)．
又D为BC的中点，
所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，易知eq \(A1C,\s\up6(→))＝(0，eq \r(2)，－eq \r(2))．
设异面直线AD与A1C所成角的大小为θ，
则cs θ＝|cs〈eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(A1C,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|\(AD,\s\up6(→))·\(A1C,\s\up6(→))|,|\(AD,\s\up6(→))||\(A1C,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(\r(2),2)×\r(2),1×2)＝eq \f(1,2).
又0°