第8章 微专题进阶课10　“设而不求”在解析几何中的应用教案

“设而不求”在解析几何中的应用

“设而不求”的解题方法是通过设定未知数，根据题目给出的条件，找到各量之间的制约关系，从而通过方程解出未知数，或是通过列有关未知数的式子计算出答案．“设而不求”的思想通过搭建桥梁关系，直达问题中心，从而得出答案，既节省时间，又减少了解题步骤，提高了解题正确率．

“设而不求”的技巧，要注意运算的合理性、目的性，同时用到了根与系数的关系、中点坐标公式、向量垂直的充要条件等，使思路更加清晰，运算得以简化，从而帮助我们迅速地解决问题．

求以(1,1)为中点的抛物线y2＝8x的弦所在直线的方程．

解：设所求直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，

则有y＝8x1，①

y＝8x2.②

由①②得(y2＋y1)(y2－y1)＝8(x2－x1)，

即＝4.③

因为③式中是AB中点的纵坐标，

所以＝1，

而是直线AB的斜率，于是得到kAB＝4.

又该直线过点(1,1)，所以所求直线方程为y＝4x－3.

已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．

解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

联立

消去x得5y2－20y＋12＋m＝0，

所以y1＋y2＝4，y1y2＝.

因为OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0，

而x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2，所以9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0，解得m＝3，此时Δ>0.圆的方程为x2＋y2＋x－6y＋3＝0，所以圆心坐标为C，半径为.

已知△ABC内接于椭圆x2＋4y2＝8，其重心为G，已知点A(2,1)，求直线BC的方程．

解：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则有x＋4y＝8，①

x＋4y＝8，②

＝2，③

＝，④

由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，

由③④得x1＋x2＝4，y1＋y2＝1，

所以kBC＝＝－1.

又BC的中点坐标为，

所以直线BC的方程为y－＝－(x－2)，

即2x＋2y－5＝0.