湖南省长沙市2022届新高考（1月）适应性考试数学试题及答案

这是一份湖南省长沙市2022届新高考（1月）适应性考试数学试题及答案，共16页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
若集合 ， 则
A．
B．
C．
D．
已知i为虚数单位，若复数，则
A． 1
B．
C．
D． 2
若数列的前n项和为，则“a＝0”是”数列为等差数列“的
A．充分不必要条件
B． 必要不充分条件
C．充要条件
D既不充分也不必要条件
函数 在 上的图象大致为
已知 ， 则
A．
B．
C．
D．
若双曲线 与 直线 伐有交点，则其离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
已知 ， 其中 是常数， 且 的取小值是 ，点M(m，n)是曲线的一条弦AB的中点，则弦AB所在的直线方程为
A．
B．
C．
D．
数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出： △ABC的外心O，
垂心G．垂心H．依次位于同一条1线上． 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， 该直线被称为欧拉线。 若AB＝4， AC＝2．则下列各式中不正确的是
A．
B．
C．
D．
二、选择题 (本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分． 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求． 全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．）
若． 则
A．
B．
C．
D．
下列选项中，正确的是
A． 若， 则
B． 若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项是第5项
C． 若． 则
D． 设随机变量，若，则
在正方体中，N为底面MBCD的中心， 为棱 上的动点 (不包括两个端点)， 为线段 的中点， 则
A． 与 是异面直线
B．
C． 过 三点的正方体的截而一定不是等腰挮形
D． 平而 平而
若 存在， 则称 为二元函 数 在点 处对 的偏导数， 记为 ；
苃 ．存在， 则称 为二元函数 在点 处对 的偏导数， 记为 ．
若二元函数 ，则
A．
B．
C． 的最小值为
D． 的最小值为
三、填空题（本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分)
函数 的图象在点 处的切线方程为________．
某车间为了提高工作效率， 需要测试加工零件所花费的吋间， 为此进行了 5 次试验， 这 5 次试验的数据列 (个数 ， 加工吋间 ) 为 ，(40 ， ， ． 若用最小二乘法求得其回归直线方程为 ， 则 的值 为________．
已知事件A、B，且P(A)＝05， P(B)＝0．2， 如果A与B互斥，令m＝P(AB)；如果 与 相互独立， 令 ， 则 ________．
已知函数 为常数， 若对于任対 ， 且 。 都有 则实数 的取值范围为________．
四、解答题（本题共 6 小题， 共 70 分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
( 10 分) 的内角 的对边分别为 ，满足 ， 且 的面积 ， 求 ．
( 12 分) 已知数列 满足 ， ．
(1) 求证： 数列 是等比数列：
(2) 设 ， 求数列 的前 项和 ．
( 12 分) 如图， 三棱柱 中， 侧面 为矩形， 若平面 平面 ， 平面 平面 ．
(1) 求证： ：
(2) 记平面 与平面 所成角为 ， 直线 与平面 所成角为 ， 异面直线 与 所成角 ， 当 满足： 为常数) 时， 求 的值．
（12 分） 2022 年电商即将开展 “欢度春节” 促销活动， 某电商为了尽快占领市场， 对某地区年龄在 10 到70岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取 了 100 人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示： (年龄单位： 岁)
（1）若以 40 岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的 列联表，并判断能否 在犯错误的概率不超过 的前提下认为 “网上购物” 与年龄有关?
(2) 若从年龄在 ， 的样本中各随机选取 2 人进行座谈， 记选中的 4 人中 “使用网上购物” 的人数为 ， 求随机变勗 的分布列和数学期望．
参考数据：
(12 分)已知离心率为的椭圆 的左右焦点分别为， 为椭圆上的一点， 的周长为 6 ， 且 为抛物线 ：，的焦点．
(1) 求椭圆 与抛物线 的方程；
(2) 过椭圆 的左顶点 的直线 交抛物线 于 两点， 点 为原点， 射 线 分别交椭圆于 两点， 的面积为 的面积为 ． 问： 是否存在直线 使得 ? 若存在， 求出直线 的方程； 若不存在， 请说 明理由．
(12 分) 已知 ， 函数 ， 其中 为自然对数的底数．
(1) 求函数 的单调区间；
(2) 记 为函数 在 上的零点， 证明： ．
年龄段
频率
使用网上购物人数
8
28
24
12
2
1
年龄低于 40 岁
年龄不低于 40 岁
总计
使用网上购物人数
不使用网上购物人数
总计