2021届河南省洛阳市高考数学第二次考试试卷（理科）（含答案）

这是一份2021届河南省洛阳市高考数学第二次考试试卷（理科）（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省洛阳市高考数学第二次考试试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|＜0}，则M∪N＝（　　）
A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
2．若复数z满足（3+4i）z＝|4﹣3i|，则z的虚部为（　　）
A． B．﹣4 C．﹣ D．4
3．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥α”是“m∥n”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设x，y满足，则（x+1）2+y2的取值范围是（　　）
A．[0，10] B．[1，10] C．[1，17] D．[0，17]
5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x，则a＝f（﹣2），b＝f（log29），c＝f（）的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
6．（x﹣y）8的展开式中，x2y6项的系数是（　　）
A．28 B．﹣28 C．56 D．﹣56
7．已知双曲线C：的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：1，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（　　）
A．关于点（，0）对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点（，0）对称 D．关于直线x＝对称
9．已知点A是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若以点M（0，8）为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且△ABO为等边三角形，则p的值是（　　）
A． B．2 C．6 D．
10．《易•系辞上》有“河出图，洛出书“之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（　　）

A． B． C． D．
11．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（　　）

A．12π B．24π C．36π D．48π
12．已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）
13．函数f（x）＝cos2x﹣2cosx的最大值为　 　．
14．若非零向量f（x）满足||＝||，且，则与的夹角为　 　．
15．若曲线y＝lnx在点（1，0）的切线与曲线g（x）＝x2+mx+也相切，则m＝　 　．
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是AB、AA1、C1D1、CC1的中点，给出以下四个结论：①AC1⊥MN； ②AC1∥平面MNPQ； ③AC1与PM相交； ④NC1与PM异面．其中正确结论的序号是　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，且S1，S2，S4成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{an}是单调数列，数列{bn}满足log2bn＝﹣，记数列{anbn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜3．
18．如图，在平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝，将△CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP＝，得到如图2所示的四棱锥P﹣ABCE．

（1）求证：AP⊥平面ABCE；
（2）求平面PAB与平面PCE所成锐二面角的大小．
19．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y＝c•xb（b，c为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（，）≈（0.302，0.388）内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸x（mm）
38
48
58
68
78
88
质量y（g）
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的期望；
（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表：
（lnxi•lnyi）
（lnxi）
（lnyi）
（lnxi）2
75.3
24.6
18.3
101.4
（ⅰ）根据所给统计量，求y关于x的回归方程；
（ⅱ）已知优等品的收益z（单位：千元）与x，y的关系为z＝2y﹣0.32x，则当优等品的尺寸x为何值时，收益z的预报值最大？
附：对于样本（vi，ui）（i＝1，2，…，n），其回归直线u＝b•v+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝﹣，e≈2.7182．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．

21．已知函数f（x）＝+．
（1）若x≥1时，f（x）≥，求实数m的取值范围；
（2）求证：[lnk+1n（k+1）]＞（n∈N*）．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．[选修4-4：极坐标与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．经过伸缩变换φ：后，曲线C1变为曲线C2．
（1）求曲线C1和曲线C2的普通方程；
（2）已知点P是曲线C2上的任意一点，曲线C1与x轴和y轴正半轴的交点分别为A，B，试求△PAB面积的最大值和此时点P的坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣|x+a|．
（1）当a＝1时，画出y＝f（x）的图象；
（2）若关于x的不等式f（x）≥3a有解，求a的取值范围．


参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|＜0}，则M∪N＝（　　）
A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
∴M∪N＝{x|﹣4＜x＜3}，
故选：A．
2．若复数z满足（3+4i）z＝|4﹣3i|，则z的虚部为（　　）
A． B．﹣4 C．﹣ D．4
解：由（3+4i）z＝|4﹣3i|，得z＝，
∴z的虚部为﹣．
故选：C．
3．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥α”是“m∥n”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：因为m⊄α，n⊂α，当m∥α时，m与n不一定平行，即充分性不成立；
当m∥n时，满足线面平行的判定定理，m∥α成立，即必要性成立；
所以“m∥α”是“m∥n”的必要不充分条件．
故选：B．
4．设x，y满足，则（x+1）2+y2的取值范围是（　　）
A．[0，10] B．[1，10] C．[1，17] D．[0，17]
解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（3，﹣1），
（x+1）2+y2的几何意义为可行域内动点与定点P（﹣1，0）距离的平方，
由图可知，可行域内动点与定点P（﹣1，0）距离的最小值且为1，
最大值为|PA|＝，
∴（x+1）2+y2的取值范围是[1，17]．
故选：C．
5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x，则a＝f（﹣2），b＝f（log29），c＝f（）的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则a＝f（﹣2）＝f（2）＝f（），
当x＞0时，f（x）＝lnx+x，其导数为f′（x）＝+1，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，
又由0＜＜＜3＝log28＜log29，则f（）＜f（2）＜f（log29），
故有b＞a＞c，
故选：D．
6．（x﹣y）8的展开式中，x2y6项的系数是（　　）
A．28 B．﹣28 C．56 D．﹣56
解：（x﹣y）8的展开式中，通项公式为 Tr+1＝•（﹣1）r••x6﹣r•yr，
令r＝6，可得x2y6项的系数是•2＝56，
故选：C．
7．已知双曲线C：的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：1，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
解：设顶点A（a，0）焦点F（c，0），其中一条渐近线的方程为：bx+ay＝0，
设A到渐近线的距离为d＝＝，
焦点F到渐近线的距离为d'＝＝b，
由题意可得b：＝3：1即＝3，所以9a2＝c2＝a2+b2，可得b2＝8a2，
所以渐近线的方程为：y＝x＝x，
故选：A．
8．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（　　）
A．关于点（，0）对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点（，0）对称 D．关于直线x＝对称
解：∵函数f（x）＝sinωx+cosωx＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为＝π，∴ω＝2，
∴f（x）＝sin（2x+）．
令x＝，求得f（x）＝sin≠0，且f（x）不是最值，故A、D错误；
令x＝，求得f（x）＝，为最大值，故函数f（x）的图象关于直线x＝对称，故B正确，C错误；
故选：B．
9．已知点A是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若以点M（0，8）为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且△ABO为等边三角形，则p的值是（　　）
A． B．2 C．6 D．
解：由题意，|MA|＝|OA|，∴A的纵坐标为4，
∵△ABO为等边三角形，
∴A的横坐标为，
∵点A是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，
∴，
∴p＝．
故选：D．
10．《易•系辞上》有“河出图，洛出书“之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（　　）

A． B． C． D．
解：河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，
白圈为阳数，黑点为阴数．
若从这10个数中任取3个数，基本事件总数n＝＝120，
这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列包含的基本事件有10个，分别为：
（1，3，5），（3，5，7），（5，7，9），（1，5，9），（1，2，3），（1，4，7），（3，4，5），（3，6，9），（5，6，7），（7，8，9），
则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为p＝．
故选：C．
11．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（　　）

A．12π B．24π C．36π D．48π
解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，
且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a
设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG
根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体面对角线长也是2，
∴得AG＝＝a，所以正方体棱长a＝2
∴Rt△OGA中，OG＝a＝1，AO＝，
即外接球半径R＝，得外接球表面积为4πR2＝12π．
故选：A．

12．已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
解：由三角形面积公式可得：S＝absinC，
可得：S2＝a2b2（1﹣cos2C）＝a2b2[1﹣（）2]，
∵a2+b2+2c2＝8，
∴a2+b2＝8﹣2c2，可得：a2+b2＝8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当a＝b时等号成立，
∴S2＝a2b2[1﹣（）2]
＝a2b2[1﹣（）2]
＝a2b2﹣
≤（4﹣c2）2﹣
＝﹣+c2
＝﹣（c2﹣）2，当且仅当a＝b时等号成立，
∴当c2＝时，﹣+c2取得最大值，S的最大值为．
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）
13．函数f（x）＝cos2x﹣2cosx的最大值为　3　．
解：函数f（x）＝cos2x﹣2cosx＝2cos2x﹣2cosx﹣1＝，
当cosx＝﹣1时，函数f（x）取得最大值，
，
故答案为：3．
14．若非零向量f（x）满足||＝||，且，则与的夹角为　　．
解：根据条件，＝；
∴；
∴；
∴与的夹角为．
故答案为：．
15．若曲线y＝lnx在点（1，0）的切线与曲线g（x）＝x2+mx+也相切，则m＝　﹣2或4　．
解：y＝lnx的导数为y′＝，
可得曲线y＝lnx在点（1，0）的切线斜率为1，切线的方程为y＝x﹣1，
联立，可得x2+（2m﹣2）x+9＝0，
由切线与曲线g（x）＝x2+mx+也相切，
可得△＝（2m﹣2）2﹣4×9＝0，
解得m＝4或﹣2．
故答案为：﹣2或4．
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是AB、AA1、C1D1、CC1的中点，给出以下四个结论：①AC1⊥MN； ②AC1∥平面MNPQ； ③AC1与PM相交； ④NC1与PM异面．其中正确结论的序号是　①③④　．
解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴A1D⊥AD1，
∵CD⊥面AA1D1D，AD1⊂面AA1D1D，
∴CD⊥AD1，
∴AD1⊥面A1CD，∴A1C⊥AD1
∵M，N分别是AA1，A1D1的中点，∴AD1∥MN，即A1C⊥MN，故①正确；
由于M、N、P、Q分别是AB、AA1、C1D1、CC1的中点，
则AC1与PM相交，故②不正确，③正确；
∵N∉面ACC1A1，而M，P，C∈面ACC1A1，∴NC与PM异面，故④正确；
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，且S1，S2，S4成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{an}是单调数列，数列{bn}满足log2bn＝﹣，记数列{anbn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜3．
【解答】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1＝1，且S1，S2，S4成等比数列，
∴S22＝S1S4，即（2+d）2＝4+，即d2﹣2d＝0，解得：d＝0或2，
∴an＝1或an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，即an＝1或an＝2n﹣1；
（2）证明：∵数列{an}是单调数列，
∴an＝2n﹣1，Sn＝＝n2，
又log2bn＝﹣＝﹣n，
∴bn＝2﹣n，anbn＝，
∴Tn＝+++…+，
又Tn＝++…++，
两式相减得：Tn＝+2（++…+）﹣＝+﹣，
整理得：Tn＝3﹣，
∴Tn＜3．
18．如图，在平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝，将△CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP＝，得到如图2所示的四棱锥P﹣ABCE．

（1）求证：AP⊥平面ABCE；
（2）求平面PAB与平面PCE所成锐二面角的大小．
【解答】（1）证明：在△CDE中，因为CD＝ED＝，cos∠EDC＝，
由余弦定理可得＝，
连结AC，因为AE＝CE＝2，∠AEC＝60°，所以AC＝2，
又因为AP＝，故在△PAE中，AP2+AE2＝PE2，
所以AP⊥AE，同理可证AP⊥AC，因为AC∩AE＝A，AE，AC⊂平面ABCE，
所以AP⊥平面ABCE；
（2）解：以A为坐标原点，AB，AP所在直线为x轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，
平面PAB的一个法向量为，
设平面PCE的法向量为，
因为，
所以，即，
令y＝1，则z＝1，故，
所以，
故平面PAB与平面PCE所成锐二面角的大小为45°．

19．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y＝c•xb（b，c为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（，）≈（0.302，0.388）内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸x（mm）
38
48
58
68
78
88
质量y（g）
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的期望；
（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表：
（lnxi•lnyi）
（lnxi）
（lnyi）
（lnxi）2
75.3
24.6
18.3
101.4
（ⅰ）根据所给统计量，求y关于x的回归方程；
（ⅱ）已知优等品的收益z（单位：千元）与x，y的关系为z＝2y﹣0.32x，则当优等品的尺寸x为何值时，收益z的预报值最大？
附：对于样本（vi，ui）（i＝1，2，…，n），其回归直线u＝b•v+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝﹣，e≈2.7182．
解：（1）由表可知，抽取的6件合格产品中有3件优等品，
∴ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，
∴随机变量ξ的期望为E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．
（2）（ⅰ）∵y＝c•xb，∴lny＝lnc+blnx，
∵（lnxi）＝24.6，（lnyi）＝18.3，
∴＝（lnxi）＝4.1，＝（lnyi）＝3.05，
∴＝＝＝0.5，
＝﹣＝3.05﹣0.5×4.1＝1，
∴lny＝1+0.5lnx，
故y关于x的回归方程为＝ex0.5．
（ⅱ）由（i）知，＝ex0.5，
∴＝2﹣0.32x＝2ex0.5﹣0.32x＝﹣0.32（﹣）2+，
当＝，即x＝≈72时，取得最大值，
故当优等品的尺寸x为72mm时，收益z的预报值最大．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．

解：（1）由题可知，
解得，
所以椭圆C的方程为+＝1．
（2）假设满足条件的直线l存在，由E（0，﹣2），F（，0），
所以kEF＝，
因为点F为△EAB的垂心，
所以AB⊥EF，
所以kAB＝﹣，
设直线l的方程为y＝﹣x+t，代入+＝1，
得7x2﹣6tx+6（t2﹣4）＝0，（*），
△＝（﹣6t）2﹣4×7×6（t2﹣4）＝﹣96t2+672＞0，即﹣＜t＜，
记A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
由AF⊥BE，得•＝﹣1，
所以y1y2+2y1+x1x2﹣x2＝0，
将y1＝﹣x1+t，y2＝﹣x2+t代入上式，
得3x1x2﹣（t+2）（x1+x2）+（2t2+4t）＝0，
所以3•﹣（t+2）•+（2t2+4t）＝0，
所以5t2+t﹣18＝0，
解得t＝（t＝﹣2舍去），
代入（*）满足△＞0，
所以直线l的方程为y＝﹣x+．
21．已知函数f（x）＝+．
（1）若x≥1时，f（x）≥，求实数m的取值范围；
（2）求证：[lnk+1n（k+1）]＞（n∈N*）．
解：（1）不等式f（x）≥，即为m≤，
记g（x）＝，故g′（x）＝＝，
令h（x）＝x﹣lnx，则h′（x）＝1﹣，
∵x≥1，∴h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）单调递增，
故h（x）min＝h（1）＝1＞0，故g′（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上单调递增，
故g（x）min＝g（1）＝2，故m≤2；
（2）由（1）知：f（x）≥恒成立，
即lnx≥＝1﹣＞1﹣，
令x＝n（n+1），则ln[n（n+1）]＞1﹣，
故ln（1×2）＞1﹣，ln（2×3）＞1﹣，
ln（3×4）＞1﹣，…，ln[n（n+1）]＞1﹣，
累加得：[lnk+1n（k+1）]＞n﹣2（1﹣）＞n﹣2+＝，
故[lnk+1n（k+1）]＞（n∈N*）．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．[选修4-4：极坐标与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．经过伸缩变换φ：后，曲线C1变为曲线C2．
（1）求曲线C1和曲线C2的普通方程；
（2）已知点P是曲线C2上的任意一点，曲线C1与x轴和y轴正半轴的交点分别为A，B，试求△PAB面积的最大值和此时点P的坐标．
解：（1）由题设知：曲线C1的参数方程为，
由①2+②2得：x2+y2＝4，
经过伸缩变换φ：后，曲线C1变为曲线C2，
所以，
整理得，即：．
（2）曲线C1与x轴和y轴正半轴的交点分别为A，B，即x2+y2＝4与x轴的正半轴的交点坐标为A（2，0），与y轴的正半轴交点的坐标为B（0，2），
所以直线AB的方程为x+y﹣2＝0．
所以：直线AB的斜率为﹣1，
直线AB的垂直平分线的斜率为k＝1，
点A和B的中点为（），即（1，1）．
所以l的方程为y＝x，
所以，解得，
故P（），
点P（）到直线的距离d＝，
所以．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣|x+a|．
（1）当a＝1时，画出y＝f（x）的图象；
（2）若关于x的不等式f（x）≥3a有解，求a的取值范围．
解：（1）a＝1时，f（x）＝|x+2|﹣|x+1|＝，
其图像为：

（2）若关于x的不等式f（x）≥3a有解，即f（x）max≥3a，
∵f（x）＝|x+2|﹣|x+a|≤|x+2﹣x﹣a|＝|2﹣a|，
∴|2﹣a|≥3a，∴2﹣a≥3a或2﹣a≤﹣3a，
故a≤或a≤﹣1，故a≤，
故a的取值范围是（﹣∞，]．