江苏省南京市、盐城市2022届高三上学期期末考试（一模）数学含答案

2021～2022学年高三年级期末试卷

数　　学

(满分：150分　考试时间：120分钟)

2022．1

一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合M＝{y|y＝sin x，x∈R}，N＝{y|y＝2x，x∈R)，则M∩N＝(　　)

A. [－1，＋∞)　    B. [－1，0)　    C. [0，1]　D. (0，1]

2. 在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0<q<1是数列{an}单调递减的(　　)

A. 充分不必要条件　    B. 必要不充分条件

C. 充要条件　    D. 既不充分也不必要条件

3. 某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩X～N(110，100)，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为(　　)

(参考数据：P(|X－μ|<σ)≈0.68，P(|X－μ|<2σ)≈0.95)

A. 16　    B. 10　    C. 8　    D. 2

4. 若f(α)＝cos α＋isin α(i为虚数单位)，则[f(α)]2＝(　　)

A. f(α) 　    B. f(2α)　    C. 2f(α)　    D.f(α2)

5. 已知直线x＋y＋a＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝(　　)

A. －4或2　    B. －2或4 　    C. －1± 　    D. －1±

6. 在平面直角坐标系xOy中，设A(1，0)，B(3，4)，向量＝x＋y，x＋y＝6，则||的最小值为(　　)

A. 1　    B. 2　    C. 　    D. 2

7. 已知α＋β＝(α>0，β>0)，则tan α＋tan β的最小值为(　　)

A. 　    B. 1　    C. －2－2　    D. －2＋2

8. 已知f(x)＝则当x≥0时，f(2x)与f(x2)的大小关系是(　　)

A. f(2x)≤f(x2) 　    B. f(2x)≥f(x2)

C. f(2x)＝f(x2)　    D. 不确定

二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若函数f(x) ＝cos 2x＋sin x，则关于f(x)的性质说法正确的有(　　)

A. 偶函数　    B. 最小正周期为π

C. 既有最大值也有最小值 　    D. 有无数个零点

10. 若椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，则下列b的值能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的有(　　)

A. b＝ 　    B. b＝　    C. b＝2 　    D. b＝

11. 若数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1，记在数列{an}的前n＋2(n∈N*)项中任取两项都是正数的概率为Pn，则(　　)

A. P1＝　    B. P2n<P2n＋2

C. P2n－1<P2n　    D. P2n－1＋P2n<P2n＋1＋P2n＋2

12. 如图，在四棱锥PABCD中，已知PA⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝1，BC＝PA＝2.记四棱锥PABCD的外接球为球O，平面PAD与平面PBC的交线为l，BC的中点为E，则(　　)

A. l∥BC

B. AB⊥PC

C. 平面PDE⊥平面PAD

D. l被球O截得的弦长为1

三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若f(x)＝(x＋3)5＋(x＋m)5是奇函数，则m＝________．

14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3b，则cos B的最小值是________．

15. 计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制，一个十进制数n(n∈N*)可以表示成二进制数(a0a1a2…ak)2，k∈N，则n＝a0·2k＋a1·2k－1＋a2·2k－2＋…＋ak·20，其中a0＝1，当i≥1时ai∈{0，1}．若记a0，a1，a2，…，ak中1的个数为f(n)，则满足k＝6，f(n)＝3的n的个数为________．

16. 已知：若函数f(x)，g(x)在R上可导，f(x)＝g(x)，则f′(x)＝g′(x).又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＋…，则a0＝________，＝________．(第一空2分，第二空3分)

四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (本小题满分10分)

从①sin D＝sin A；② S△ABC＝3S△BCD；③·＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．

已知点D在△ABC内，cos A>cos D，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，若________，求△ABC的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18. (本小题满分12分)

已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋4，数列{bn}的首项为b1＝2.

(1) 若{bn}是公差为3的等差数列，求证：{abn}也是等差数列；

(2) 若{abn}是公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和．

19.  (本小题满分12分)

佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：

(1) 请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程y＝bx＋a，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；

(2) 交警统计2018～2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？

参考公式和数据：

K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

20. (本小题满分12分)

在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝13，AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，AB1＝B1C，D为AC中点，平面AB1C⊥平面ABC.

(1)  求证：B1D⊥平面ABC；

(2) 求直线C1D与平面AB1C所成角的正弦值．

21. (本小题满分12分)

设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，虚轴长为，两准线间的距离为.

(1) 求双曲线C的方程；

(2) 设动直线l与双曲线C交于P，Q两点，已知AP⊥AQ，设点A到动直线l的距离为d，求d的最大值．

22. (本小题满分12分)

设函数f(x)＝－3ln x＋x3＋ax2－2ax，a∈R.

(1) 求函数f(x)在x＝1处的切线方程；

(2) 若x1，x2为函数f(x)的两个不等于1的极值点，设P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2))，记直线PQ的斜率为k，求证：k＋2<x1＋x2.

2021～2022学年高三年级期末试卷(南京、盐城)

数学参考答案及评分标准

1. D　2. C　3. C　4. B　5. A　6. D　7. D　8. B　9. CD　10. ABC　11. AB　12. ABD

13. －3　14. 　15. 15　16. 1　

17. 解：若选①.

∵ cos A＞cos D，A∈(0，π)，D∈(0，π)，∴A＜D.

又sin D＝sin A，∴D＋A＝π，∴ cos D＝－cos A．(4分)

设BC＝x，在△ABC与△BCD中，由余弦定理得

cos A＝＝，cos D＝＝，

∴＝－，(6分)

解得x2＝28, ∴ cos A＝＝.(8分)

∵A∈(0，π)，∴A＝，∴S△ABC＝AB·ACsin A＝×6×4×＝6.(10分)

若选②.

∵S△ABC＝3S△BCD，∴AB·ACsin A＝3×DB·DCsin D.

又AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，∴×6×4sin A＝3××4×2sin D，

∴ sin D＝sin A．(2分)

∵ cos A>cos D，A∈(0，π)，D∈(0，π)，∴A<D.

又sin D＝sin A，∴D＋A＝π，∴ cos D＝－cos A．(4分)

设BC＝x，在△ABC与△BCD中由余弦定理得

cos A＝＝，cos D＝＝，

∴＝－，(6分)

解得x2＝28，∴ cos A＝＝.(8分)

∵A∈(0，π)，∴A＝，∴S△ABC＝AB·ACsin A＝×6×4×＝6.(10分)

若选③.

在△BCD中，由余弦定理得

BC2＝DB2＋DC2－2DB×DC·cos D＝DB2＋DC2－2·＝42＋22－2×(－4)＝28.(4分)

在△ABC中，由余弦定理得

cos A＝＝＝.(8分)

∵A∈(0，π)，∴A＝，∴S△ABC＝AB·ACsin A＝×6×4×＝6.(10分)

18. (1) 证明：∵ {bn}是公差为3的等差数列，∴bn＋1－bn＝3.(2分)

又an＝2n＋4，

∴abn＋1－abn＝2(bn＋1＋4)－2(bn＋4)＝2(bn＋1－bn)＝6，

∴ {abn}是等差数列．(6分)

注：写出bn＝3n－1得2分．

(2) 解：∵ {abn}是公比为2的等比数列，首项为ab1＝a2＝2×2＋4＝8，∴abn＝8×2n－1＝2n＋2.(8分)

又abn＝2bn＋4＝2n＋2，∴bn＝2n＋1－2，(10分)

则数列{bn}的前n项和

Sn＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(2n＋1－2)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－2n＝2n＋2－2n－4.(12分)

19. 解： (1) 由表中数据知，x＝＝，y＝＝1 050，

所以b＝＝＝－110，(2分)

所以a＝y－bx＝1 050－(－110)×＝1 325，

故所求回归直线的方程为y＝－110x＋1 325.(4分)

令x＝5，则y＝－110×5＋1 325＝775(人)，

故该路口2022年不戴头盔的人数约775人．(6分)

(2) 提出假设H0：不戴头盔行为与事故伤亡无关．

由表中数据得K2＝＝4.687 5>3.841.(9分)

而P(K2≥3.841)＝0.05，

故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关．(12分)

20. (1) 证明：∵ AB1＝B1C，D为AC中点，∴ B1D⊥AC，(2分)

∵平面AB1C⊥平面ABC，平面AB1C∩平面ABC＝AC，B1D⊂平面AB1C，

∴ B1D⊥平面ABC.(5分)

(2) 解：(解法1：向量法)在平面ABC内过点D分别作AB，BC的平行线，交AB，BC于点E，F.

由(1)知B1D⊥平面ABC，AB⊥BC，以{，，DB1}为基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(7分)

∵ AB＝8，BC＝6，∴ AC＝10，BD＝5.

∵ AA1＝BB1＝13，∴ B1D＝12，

得D(0，0，0)，A(3，－4，0)，B(3，4，0)，C(－3，4，0)，B1(0，0，12).

设点C1(x，y，z)，由＝B1C1，得(－6，0，0)＝(x，y，z－12)，

即点C1(－6，0，12)，则＝(－6，8，0)，B1C＝(－3，4，－12)，C1D＝(6，0，－12).

设平面AB1C的法向量为n＝(x，y，z)，

则得3x＝4y，z＝0.

不妨取x＝4，得平面AB1C的一个法向量为n＝(4，3，0).(10分)

设直线C1D与平面AB1C所成的角为θ，

则sin  θ＝|cos 〈n，C1D〉|＝＝＝.(12分)

(解法2：综合法)设B1C∩BC1＝M，由BM＝MC1知点C1到平面AB1C的距离d和点B到平面AB1C的距离相等．

过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接C1H(图略)，

∵BH⊥AC，平面AB1C⊥平面ABC，平面AB1C∩平面ABC＝AC，BH⊂平面ABC，

∴BH⊥平面AB1C，则BH为点B到平面AB1C的距离．(7分)

在Rt△ABC中，易知d＝BH＝＝.(9分)

由(1)知B1D⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴B1D⊥BC.

∵B1C1∥BC，∴B1D⊥B1C1，则△B1DC1为直角三角形．

∵AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，∴AC＝10，BD＝5.

∵AA1＝BB1＝13，∴B1D＝12.

∵B1C1＝BC＝6，∴C1D＝＝6.(11分)

设直线BC1与平面AB1C所成的角为θ，则sin θ＝＝＝.(12分)

(解法3)设B1C∩BC1＝M，由BM＝MC1知点C1到平面AB1C的距离d和点B到平面AB1C的距离相等．

利用等积法VB1ABC＝VBAB1C，求点B到平面AB1C的距离．下同解法2.

21. 解：(1) 由虚轴长为知b＝，(1分)

由两准线间的距离为知＝，(2分)

平方得3a4＝2c2＝2(a2＋b2)＝2(a2＋)，解得a2＝1，故双曲线方程为x2－2y2＝1.(4分)

(2) ① 若动直线l的斜率不存在，则设l：x＝t，代入双曲线方程得P(t，)，Q(t，－).由AP⊥AQ，得(t－1)2－＝0，解得t＝3或t＝1(舍)，此时点A到l的距离为d＝2；(6分)

②若动直线l的斜率存在，则可设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l：y＝kx＋t，

代入双曲线的方程，得(1－2k2)x2－4ktx－(2t2＋1)＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝－.(8分)

由AP⊥AQ知(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0.

由y＝kx＋t可知(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，

化简：得(1＋k2)x1x2＋(kt－1)(x1＋x2)＋t2＋1＝0，

代入x1＋x2＝，x1x2＝－，化简，得(3k＋t)(k＋t)＝0.(10分)

若k＋t＝0，则直线经过右顶点A，舍去；

故3k＋t＝0，即直线经过定点M(3，0)，(11分)

则d≤AM＝2.

综上①②，d的最大值为2.(12分)

注：也可建立d关于k的函数解析式来求最值，参照评分．

22. 解：(1) 由f(x)＝－3ln x＋x3＋ax2－2ax，得f′(x)＝＋3x2＋2ax－2a，

所以f′(1)＝0.又f(1)＝－3ln 1＋13＋a·12－2a·1＝1－a，

所以函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝1－a.(3分)

(2) 由(1)得f′(x)＝[3x2＋(2a＋3)x＋3]，因为x1，x2为函数f(x)的两个不等于1的极值点，且不妨设x1>x2>0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝1，(5分)

且需满足所以a<－，(6分)

直线PQ的斜率为k＝＝＋x＋1＋x＋a(x2＋x1)－2a，(7分)

先证：ln >(x1>x2>0).

证明：令＝u>1，不等式即证φ(u)＝ln u－>0，

所以φ′(u)＝－＝>0，所以φ(u)在(1，＋∞)上单调递增，

所以φ(t)>φ(1)＝0，故不等式成立．(9分)

所以k＝＋(x2＋x1)2－2x1x2＋1＋a(x2＋x1)－2a<＋(x2＋x1)2－1＋a(x2＋x1)－2a.

令x1＋x2＝t，则a＝－<－，所以t>2，则k<＋t2－1－(t－2)，

所以k<－＝(－t＋＋1).

因为t>2，所以k<(－2＋＋1)＝t－2，故k＋2<x1＋x2.(12分)

注：也可将k＋2－(x1＋x2)放缩后转化为a的函数．