广东省深圳市2021年中考数学一模试题（含答案与解析）

这是一份广东省深圳市2021年中考数学一模试题（含答案与解析），共25页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省深圳市中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题）.
1．方程x（x+2）＝0的根是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
2．一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．﹣2、0 B．1、0 C．1、1 D．2、1
3．人体中成熟的红细胞的平均直径为0.000 007 7m，用科学记数法表示为（　　）
A．7.7×10﹣5m B．77×10﹣6m C．77×10﹣5m D．7.7×10﹣6m
4．使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＝2 D．x≠2
5．如图，平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC、BD交于点O，E为CD的中点，BD＝6，则△DOE的周长为（　　）

A．5 B．8 C．10 D．12
6．一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
7．过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）

A．40° B．60° C．56° D．68°
9．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
10．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每空3分，共15分）
11．分解因式：a3﹣4a2+4a＝　 　．
12．一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为　 　．
13．观察下列一组数：…，它们是按一定规律排列的，那么第7个数是　 　．
14．点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝25，则S2的值为　 　．

15．如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为　 　．

三、解答题（16题5分，17题6分，18题8分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分）
16．计算：．
17．化简求值：，其中x＝2．
18．某市教育局非常重视学生的身体健康状况，为此在体育考试中对部分学生的立定跳远成绩进行了调查，根据测试成绩（最低分为53分）分别绘制了统计图（如图）：
分数
59.5分以下
59.5分以上
69.5分以上
79.5分以上
89.5分以上
人数
3
42
32
20
8
（1）被抽查的学生为　 　人．
（2）请补全频数分布直方图．
（3）若全市参加考试的学生大约有9000人，请估计成绩优秀的学生约有多少人（80分及以上为优秀）？
（4）若此次表中测试成绩的中位数为78分，请写出78.5～89.5之间的人数最多有多少人？

19．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿某一方向直航140海里的海岛B，其速度为14海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行3小时后，到达C港口接旅客，停留1小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
（1）求海岛B到航线AC的距离；
（2）甲船在航行至P处，发现乙船在其正东方向的Q处，问此时两船相距多少？

20．我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：　 　，　 　；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB；
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB＝30°．写出线段DC，AC，BC的数量关系为　 　．

21．如图所示，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：AC平分∠FAB．
（2）求证：BC2＝CE•CP．
（3）当AB＝4时，求劣弧BC长度（结果保留π）．

22．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足AE＝OA，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜3，△AEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．



参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．方程x（x+2）＝0的根是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
解：x（x+2）＝0，
⇒x＝0或x+2＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣2．
故选：C．
2．一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．﹣2、0 B．1、0 C．1、1 D．2、1
解：这组数据的众数为1，
从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，中位数是1，
故选：C．
3．人体中成熟的红细胞的平均直径为0.000 007 7m，用科学记数法表示为（　　）
A．7.7×10﹣5m B．77×10﹣6m C．77×10﹣5m D．7.7×10﹣6m
解：0.000 007 7＝7.7×10﹣6，
故选：D．
4．使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＝2 D．x≠2
解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2，
故选：B．
5．如图，平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC、BD交于点O，E为CD的中点，BD＝6，则△DOE的周长为（　　）

A．5 B．8 C．10 D．12
解：∵▱ABCD的周长为20，
∴2（BC+CD）＝20，则BC+CD＝10．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，
∴OD＝OB＝BD＝3．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD，
∴OE＝BC，
∴△DOE的周长＝OD+OE+DE＝BD+（BC+CD）＝5+3＝8，
即△DOE的周长为8．
故选：B．
6．一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：A．
7．过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意．
B、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点P且与直线l的平行直线，本选项不符合题意．
C、由作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意．
D、作图只截取了两条线段相等，而无法保证两直线平行的位置关系，本选项符合题意．
故选：D．
8．如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）

A．40° B．60° C．56° D．68°
解：如图，

连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝68°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝68°，
∴∠COD＝44°，
∴∠AOC＝112°，
∴∠B＝∠AOC＝56°．
故选：C．
9．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（﹣，﹣1）．
故选：B．
10．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
解：①如图1，在BC上截取BH＝BE，连接EH．

∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH＝BE，
∵AF＝BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，
故①正确，
②③如图2，延长AD到H，使得DH＝BE，

在正方形ABCD中，
BC＝CD，∠B＝∠CDH＝90°，
∴△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG；
故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a；
故②错误；
④设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，
∴S△AEF＝•（a﹣x）•x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，
∵﹣＜0，
∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2；
故④正确，
⑤当BE＝a时，设DG＝m，则EG＝m+a，
在Rt△AEG中，则有（m+a）2＝（a﹣m）2+（a）2，
解得a＝0（舍）或m＝，
∴AG＝GD，
故⑤正确，
故选：B．
二、填空题（每空3分，共15分）
11．分解因式：a3﹣4a2+4a＝　a（a﹣2）2　．
解：a3﹣4a2+4a，
＝a（a2﹣4a+4），
＝a（a﹣2）2．
故答案为：a（a﹣2）2．
12．一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为　　．
解：根据题意可得：一袋中装有红球6个，白球9个，黑球3个，共18个，
任意摸出1个，摸到黑球的概率是＝＝．
故答案为：．
13．观察下列一组数：…，它们是按一定规律排列的，那么第7个数是　　．
解：观察数据可知，分子是从1开始连续的奇数，分母是从1开始连续自然数的平方多1，则第n个数是，
第7个数是＝．
故答案为：．
14．点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝25，则S2的值为　5　．

解：∵CD＝DE＝OE，
∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（，3a），Q（ ，2a），R（ ，a），
∴CP＝，DQ＝，ER＝，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，
∴S1＝S3＝2S2，
∵S1+S3＝25，
∴S3＝15，S1＝25，S2＝5．
故答案为5．
15．如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为　　．

解：连接OG，QG，

∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，
∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，
∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，
∴∠FDC＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∵⊙O与CD相切于点G，
∴OG⊥CD，
∵BC⊥CD，
∴OG∥BC，
∴△DOG∽△DFC，
∴，
设OG＝OF＝x，则，
解得：x＝，即⊙O的半径是．
连接OQ，作OH⊥FQ，
∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，
∴△OFQ为等边三角形；同理△OGQ为等边三角形；
∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH＝OQ＝，
∴QH＝＝，
∴CQ＝
∵四边形OHCG为矩形，
∴OH＝CG＝，
∴S阴影＝S△CGQ＝＝＝．
故答案为：．
三、解答题（16题5分，17题6分，18题8分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分）
16．计算：．
解：原式＝4﹣2﹣1+2
＝3．
17．化简求值：，其中x＝2．
解：原式＝÷[]
＝÷
＝•
＝，
当x＝2时，
原式＝＝1．
18．某市教育局非常重视学生的身体健康状况，为此在体育考试中对部分学生的立定跳远成绩进行了调查，根据测试成绩（最低分为53分）分别绘制了统计图（如图）：
分数
59.5分以下
59.5分以上
69.5分以上
79.5分以上
89.5分以上
人数
3
42
32
20
8
（1）被抽查的学生为　45　人．
（2）请补全频数分布直方图．
（3）若全市参加考试的学生大约有9000人，请估计成绩优秀的学生约有多少人（80分及以上为优秀）？
（4）若此次表中测试成绩的中位数为78分，请写出78.5～89.5之间的人数最多有多少人？

解：（1）由表格可得，
被抽查的学生为：3+42＝45（人），
故答案为：45；
（2）76.5～84.5的学生有：45﹣3﹣7﹣10﹣8﹣5＝12（人），
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）9000×＝4000（人），
即估计成绩优秀的学生约有4000人；
（4）由题意可得，
45﹣23﹣8＝14（人），
即78.5～89.5之间的人数最多有14人．

19．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿某一方向直航140海里的海岛B，其速度为14海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行3小时后，到达C港口接旅客，停留1小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
（1）求海岛B到航线AC的距离；
（2）甲船在航行至P处，发现乙船在其正东方向的Q处，问此时两船相距多少？

解：（1）过点B作BD⊥AE于D，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，
设CD＝x，则BD＝x，
∵在Rt△BDA中，∠BDA＝90°
∴AD2+BD2＝AB2，得1402＝（60+x）2+（x）2
x 2+30x﹣4000＝0，
∴x＝50或﹣80（舍弃），
∴BD＝50．

（2）设运动时间为t，则AP＝14t，CQ＝20（t﹣4）．BC＝100
若点Q在点P的正东方向，则PQ∥AC，
∴＝，即：＝，得t＝8，
由∵△BPQ∽△BAC，
∴＝，即：＝，
得PQ＝12．

20．我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：　矩形　，　正方形　；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB；
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB＝30°．写出线段DC，AC，BC的数量关系为　DC2+BC2＝AC2　．

解：（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形；
故答案为：矩形，正方形；
（2）如图，

（3）线段DC，AC，BC的数量关系为：DC2+BC2＝AC2．
证明：如图2，连接CE，

由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC＝DE，BC＝BE，
又∵∠CBE＝60°，
∴△CBE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝30°+60°＝90°，
∴DC2+EC2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．
故答案为：DC2+BC2＝AC2．
21．如图所示，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：AC平分∠FAB．
（2）求证：BC2＝CE•CP．
（3）当AB＝4时，求劣弧BC长度（结果保留π）．

【解答】（1）证明：连接AC，BC，

∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP＝∠F＝90°，
∴AF∥OC，
∴∠FAC＝∠OCA，
∴∠FAC＝∠OAC，
∴CA平分∠FAB．
（2）证明：∵CD是直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠CBP＝90°，
∵CE⊥OB，
∴∠CEB＝∠CBP＝90°，
∵PC切⊙O于点C，
∴∠PCB＝∠CAB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，∠BCE+∠ABC＝90°，
∵∠CAB＝∠BCE，
∴∠PCB＝∠BCE，
∴△BCE∽△PCB，
∴，
∴BC2＝CE•CP；
（3）解：，
设CF＝3a，CP＝4a，
∵BC2＝CE•CP＝3a•4a＝12a2，
∴BC＝2a，
在Rt△BCE中，sin∠CBE＝，
∴∠CBE＝60°，
∴∠BCE＝30°，
∴△COB是等边三角形，
∵AB＝4，
∴OB＝BC＝2，
∴劣弧BC的长＝＝π．
22．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足AE＝OA，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜3，△AEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．

解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB＝OB，
∴CP＝m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（﹣3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，
∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，
∴P（3﹣，﹣）．
（3）如图2，连接AI，OI，EI，作△OAI的外接圆⊙M，连接OM，AM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，
∵EF⊥x轴，
∴∠AFE＝90°，
∴∠FAE+∠FEA＝90°，
∵△AEF的内心为I，
∴AI，EI分别平分∠FAE，∠FEA，
∴∠IAE＝∠FAE，∠IEA＝∠FEA，
∴∠IAE+∠IEA＝（∠FAE+∠FEA）＝45°，
∴∠AIE＝135°，
在△AIO和△AIE中，
，
∴△AIO≌△AIE（SAS），
∴∠AIO＝∠AIE＝135°，
∵⊙M是△OAI的外接圆，
∴∠OMA＝2×（180°﹣∠AIO）＝90°，
∴OM＝AM＝OA＝，
∴MI＝OM＝，
∴∠MOA＝∠MOH＝45°，
∵MH⊥y轴，
∴∠HOM＝∠HMO＝45°，
∴OH＝HM＝OM＝，
∴CH＝OH+OC＝+3＝，
∴CM＝＝，
∵CI≥CM﹣MI，当且仅当C、M、I三点共线时，CI取得最小值，
∴CI的最小值为﹣．