专题14.26 《整式的乘法与因式分解》全章复习与巩固（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.26 《整式的乘法与因式分解》全章复习与巩固

（知识讲解）

【学习目标】

1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；

2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；

4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、幂的运算

1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.

3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.

4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).

同底数幂相除，底数不变，指数相减.

5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.

    特别说明：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

要点二、整式的乘法和除法

1.单项式乘以单项式

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

2.单项式乘以多项式

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).

3.多项式乘以多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.

特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.

4.单项式相除

把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.

5.多项式除以单项式

先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.

即：

要点三、乘法公式

1.平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.

2. 完全平方公式：；

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.

要点四、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.

特别说明：落实好方法的综合运用：

首先提取公因式，然后考虑用公式；

两项平方或立方，三项完全或十字；

四项以上想分组，分组分得要合适；

几种方法反复试，最后须是连乘式；

因式分解要彻底，一次一次又一次.

【典型例题】

类型一、幂的运算 

1、计算：

（1）；（2）；（3）

【答案】（1）；（2）；（3）

  【分析】（1）根据积的乘方求解；

（2）先算乘方，再算乘法，最后算加法；

（3）先算乘法，再算加减法．

 解：（1），

=，

=；

（2），

=，

=，

=；

（3）

=，

=，

=

【点拨】本题考查了整式的混合运算，整式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，再加减．如果有括号，先算括号内．

举一反三：

【变式1】按要求完成下列各小题．

（1）计算：；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）．

 【分析】（1）将变为，再对原式逆运用积的乘方公式即可得出结果；

（2）逆运用幂的乘方公式可得，再利用同底数幂的乘法，最后将代入计算即可．

 解：（1）原式=

=

=

=；

（2）

因为，

所以．

即．

【点拨】本题考查幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法．熟练掌握公式，并能逆着运用是解题关键．

【变式2】计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）-16；（2）

 【分析】（1）按有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的进行计算；

（2）先把中括号里的和绝对值里面的化简，再进行乘法运算；

 解：（1）原式=，

=-7-9，

=-16；

（2）原式=，

=，

．

【点拨】本题考查了有理数的混合运算，正确利用运算法则和运算性质是解题的关键．

【变式3】解答下列问题：

（1）已知，，求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）1500；（2）27

 【分析】（1）先逆用积的乘方和幂的乘方运算法则，然后将已知代入即可解答；

（1）先由得3x+4y=3，然后逆用积的乘方和幂的乘方运算法则将

 解：（1）∵，，

∴；

（2）∵，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了积的乘方和幂的乘方法则的逆用，灵活应用相关运算法则是解答本题的关键．

类型二、整式的乘除法运算

2、（1）计算：（3a2b）3•（﹣2ab2）2÷6a3b2；

（2）计算：3a（a﹣4）+（3a﹣1）（a+3）．

【答案】（1）18a5b5；（2）6a2﹣4a﹣3

 【分析】（1）根据整式的乘除运算法则即可求出答案．

（2）根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．

 解：（1）原式＝27a6b3•4a2b4÷6a3b2

＝108a8b7÷6a3b2

＝18a5b5．

（2）原式＝3a2﹣12a+3a2+8a﹣3

＝6a2﹣4a﹣3．

【点拨】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．

3、已知A＝（4x4﹣x2）÷x2，B＝（2x+5）（2x﹣5），若变量y满足y﹣A＝B，求y与x的关系式．

【答案】．

 【分析】根据题意可知，代入利用整式运算法则进行计算即可．

 解：A＝（4x4﹣x2）÷x2=4x2﹣1，B＝（2x+5）（2x﹣5）= ，

∵y﹣A＝B，

∴ ．

=．

= ．

即．

【点拨】本题考查了整式除法和乘法公式，解题关键是熟记相关法则，准确运用法则或公式进行计算．

举一反三：

【变式】对于任意有理数、、、，我们规定符号，例如：．

（1）求的值为．

（2）求的值，其中．

【答案】（1）-11；（2）8

 【分析】（1）利用新定义得到，然后进行有理数的混合运算即可；

（2）利用新定义得到原式=，然后去括号后合并，最后利用整体代入的方法计算．

 解：（1）；

（2）

=

=

=

∵，

∴，

∴原式===8．

【点拨】本题考查了整式的混合运算-化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．

类型三、乘法公式

4、化简求值：

（1），其中；

（2），其中，．

【答案】（1），；（2），1．

 【分析】（1）根据平方差公式计算，再将的值代入求解即可；

（2）根据单项式乘以多项式，完全平方公式计算，再将的值代入求解．

 解：（1）

当时

原式

（2）

当，时

原式

【点拨】本题考查了乘法公式的计算，平方根的定义，代数式求值，熟练乘法公式是解题的关键．

举一反三：

【变式1】先化简，再求值：其中．

【答案】，1．

 【分析】先计算括号内的乘方和乘法，再合并括号内的同类项，最后计算除法代值计算即可．

 原式 =

=

= ，

当，原式 ．

【点拨】本题主要考查整式的化简求值能力，熟练掌握整式的混合运算顺序及运算法则是解题的关键．

【变式2】先化简，再求值：

，其中．

【答案】，2021

 【分析】先根据平方差公式，完全平方公式，单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项，然后把x，y的值代入计算．

 原式

，

∵，

∴原式．

【点拨】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有：平方差公式，完全平方公式，单项式乘以单项式，合并同类项等知识．在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值．

5、已知x-y=3，x2+y2-3xy=4．求下列各式的值

（1）                     （ 2）

【答案】（1）5；（2）95

 【分析】（1）根据完全平方公式求出（x﹣y）2＝9，进而得出x2＋y2＝9＋2xy，代入x2＋y2－3xy＝4求解即可；

（2）利用x2＋y2－3xy＝4和（1）式的值，得出x2＋y2＝19，再将所求代数式因式分解，进而代入数值即可求解．

 解：（1）由x－y＝3 ，得（x－y）2＝9

即x2＋y2－2xy＝9

∴x2＋y2＝9＋2xy

代入x2＋y2－3xy＝4，得

9＋2xy－3xy＝4

解得：xy＝5

（2）∵x2＋y2－3xy＝4，xy＝5

∴x2＋y2＝19

又∵x3y＋xy3＝xy（x2＋y2）

∴x3y＋xy3＝5×19＝95．

【点拨】本题考查了完全平方公式的应用以及整体思想的应用，根据已知得出x2＋y2与xy的值是解决问题的关键．

【变式2】已知a﹣b＝5，ab＝﹣2，求：

（1）（a+b）2；

（2）a2﹣ab+b2的值．

【答案】（1）（a+b）2=17；（2）a2﹣ab+b2的值为23．

 【分析】（1）将a-b=5两边平方，利用完全平方公式展开，把ab的值代入求出a2+b2的值，即可确定出所求式子的值．

（2）把a2﹣ab+b2加上3ab再减去3ab，配成（a+b）2-3ab，再代入求值即可．

 解：（1）将a-b=5两边平方得：（a-b）2=a2+b2-2ab=25，

∴a2+b2=21
      ∴（a+b）2=

（2）

【点拨】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

类型四、因式分解

6、 分解因式：

（1）                          （2）；

（3）；

【答案】（1）（2）；（3）

 【分析】（1）原式利用完全平方公式分解即可；

（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

（3）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

 解：（1）原式＝

=；

（2）原式＝

=；

（3）原式＝

=

=；

【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

举一反三：

【变式1】将下列各式因式分解：

（1）                         （2）

【答案】（1）；（2）．

 【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可得答案；

（2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式分解因式即可得答案．

 （1）

=2（）

．

（2）

．

【点拨】本题考查综合利用提取公因式法与公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式与平方差公式是解题关键．

【变式2】因式分解：

（1）；                          （2）；

（3）；                    （4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

 【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式因式分解即可；

（2）利用完全平方公式因式分解即可；

（3）先提符号，在用完全平方公式因式分解即可；

（4）先利用平方差公式因式分解，再用完全平方公式因式分解即可

 解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【点拨】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法与技巧是解题关键．

7.先阅读下列材料，再解答下列问题：分解因式：

将：将看成整体，设，则原式

再将换回去，得原式

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想"是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解：

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）．

 【分析】（1）设，先利用平方差公式进行因式分解，再将换回去，计算整式的加减即可得；

（2）设，先计算整式的乘法，再利用完全平方公式进行因式分解，然后将换回去即可得．

 解：（1）设，

则原式，

将换回去得：原式，

，

；

（2）设，

则原式，

，

，

将换回去得：原式．

【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和“整体思想”是解题关键．

【变式1】阅读理解并解答：

（方法呈现）

（1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（ 或最大）问题．

例如：，

，

．

则这个代数式的最小值是__________，这时相应的的值是__________．

（尝试应用）

（2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值．

（拓展提高）

（3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．

【答案】（1），；（2）这个代数式的最大值是，这时相应的的值是；（3）此时这根铁丝剪成两段后的长度均为150cm，两个正方形的面积之和有最大值

 【分析】（1）根据题意即可求解；

（2）将化为即可求解；

（3）设一段铁丝长为，则另一段长为，由题意列出式子，通过配方求解．

 解：（1）由题意：，当时取到最小值；

故最小值为，相应的，

故答案：．

（2）

则这个代数式的最大值是，这时相应的的值是．

（3）设一段铁丝长为，则另一段长为，由题意得：

当，两个正方形的面积之和有最大值．

【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是：会对代数式进行配方成完全平方公式再求解．