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专题22.13 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（专项练习2）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题22.13 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（专项练习2）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共44页。试卷主要包含了一次函数y＝ax+c，如图，抛物线y1＝a等内容，欢迎下载使用。
专题22.13 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（专项练习2）
一、 单选题
1．函数y＝kx﹣k与y＝kx2的图象大致是( )
A． B． C． D．
2．在同一直角坐标系中，函数与的图像大致如图（ ）
A． B． C． D．
3．一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知函数y=ax+b的大致图象如图所示，那么二次函数y=ax2+bx+1的图象可能是
A． B． C． D．
6．函数与在同一平面直角坐标系内图象大致是
A． B．C． D．
7．如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结沦：①无论x取何值，y2的值总是正数；②2a＝1；③当x＝0时，y2﹣y1＝4；④2AB＝3AC；其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是( )
A．A B．B C．C D．D
9．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于x轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A． ①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
16．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A． ①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
18．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b0；④2c–3b<0；⑤a+b>n（an+b）（n≠1），其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
19．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，下列结论正确的是( )
A． a<0 B．b2－4ac<0 C．当－10 D．－=1
20．已知点A(﹣3，y1)，B(2，y2)均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P(m，n)是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥n，则m的取值范围是( )
A．﹣3＜m＜2 B．﹣＜m＜- C．m＞﹣ D．m＞2
21．若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是﹣3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ）
A．x=﹣3 B．x=﹣2 C．x=﹣1 D．x=1
22．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1．有下列4个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m是不等于1的实数）．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：则下列说法错误的是（ ）
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
…
A．二次函数图像与x轴交点有两个
B．x≥2时y随x的增大而增大
C．二次函数图像与x轴交点横坐标一个在－1~0之间，另一个在2~3之间
D．对称轴为直线x=1.5
24．抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、 填空题
25．二次函数（）的图象如图所示，对称轴为，给出下列结论：①； ②当时，；③；④，其中正确的结论有__________．
26．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）
①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4a．
27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0．其中正确的结论有_____．
28．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，点和点均在直线上.①；②；③抛物线与轴的另一个交点时；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为.
上述六个结论中，其中正确的结论是_____________.（填写序号即可）
29．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有_____．（填序号）
30．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：
①abc＜0；
②b＜a﹣c；
③4a+2b+c＞0；
④2c＜3b；
⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）
⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．
31．二次函数的图象与x轴相交于，两点，则该抛物线的对称轴是________．
32．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_____．
33．抛物线y=ax2+bx+3与x轴的公共点是（﹣3，0），（5，0），该抛物线的对称轴是直线_____．
34．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是__．
35．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣1，0）和（5，0）两点，则该抛物线的对称轴是_____．
36．已知函数图象如图所示，根据图象可得：
（1）抛物线顶点坐标_____．
（2）对称轴为_____．
（3）当_____时，y随着x得增大而增大
（4）当_____时，y＞0．
三、 解答题
37．已知抛物线经过点，与轴交于点．
求这条抛物线的解析式；
如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；
如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
38．如图1，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）．
（1）写出D的坐标和直线l的解析式；
（2）P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
39．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，
①抛物线的对称轴为______；
②若在抛物线上有两点，，且，则的取值范围是______；
（2） 抛物线的对称轴与轴交于点，点与点关于轴对称，将点向右平移3个单位得到点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，求的取值范围．
40．已知抛物线与轴交于点，其关于轴对称的抛物线为：，且经过点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，抛物线与轴的交点记为点和点（在的右侧），与轴交于点，如果满足与相似，请求出平移后抛物线的表达式．
41．已知抛物线y=a(x−3)2+2经过点（1，-2）．
（1）求a的值；
（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
42．如图，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AF的解析式；
（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由选项中的二次函数图象可得k＞0，可判定出一次函数的正确图象．
解：由选项中的二次函数图象可得k＞0，
所以y＝kx﹣k过一，三，四象限．
故选：B．
【点拨】
本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，解题的关键是熟记二次函数及一次函数的图象的特征．
2．C
【分析】
根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，该选项错误；
B、由抛物线可知，a<0，由直线可知，a＞0，该选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b<0，该选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b>0，该选项错误．
故选C．
【点拨】
本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．
3．D
【分析】
根据直线和抛物线解析式知y＝ax+c与y＝ax2+bx+c与y轴交于同一点（0，c），据此可得．
在y＝ax+c中，当x＝0时，y＝c，∴y＝ax+c与y轴的交点为（0，c）；
在y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝c，∴y＝ax2+bx+c与y轴的交点为（0，c），则y＝ax+c与y＝ax2+bx+c与y轴交于同一点（0，c）．
故选D．
【点拨】
本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
4．C
【分析】
分a＞0和a＜0时，分别判断两函数的图象即可求得答案．
解：当a＞0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而增大，函数y＝ax2开口向上，故①正确，④错误；
当a＜0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而减小，函数y＝ax2开口向下，故③不正确，②正确；
∴两函数图象可能是①②，
故选：C．
【点拨】
本题主要考查了一次函数的图象和二次函数的图象，掌握一次函数的图象和二次函数的图象是解题的关键.
5．D
【分析】
根据y=ax+b的函数图象得到a>0，b<0，即可确定二次函数y=ax2+bx+1的图象.
根据一次函数的图象可得a>0，b<0．则二次函数开口向上，对称轴在y轴的右侧．
故选D．
【点拨】
此题考查函数图象与系数之间的关系.
6．B
【解析】
【分析】
根据一次函数和二次函数的性质分别判断即可得．
解：当时，的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，
函数的图象是一条过和的直线，在第二、三、四象限，
符合条件的是B选项，
故选：B．
【点拨】
本题主要考查二次函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和二次函数图象与其系数间的关系．
7．D
【解析】
试题解析：：①∵抛物线y2=（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a=，故本结论错误；
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3解析式为y1=（x+2）2-3，当x=0时，y1=（0+2）2-3=-，y2=（0-3）2+1=，故y2-y1=+=，故本结论错误；
④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本结论正确．
故选D．
8．D
【分析】
根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象．
解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确．
故选D．
【点拨】
本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标．
9．C
【解析】
【分析】
设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝．
设A（m，m2），则B（m，m2），
∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，
∴C（2m，m2），D（m，m2），
∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，
.
故选C．
【点拨】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键．
10．B
【分析】
根据关于x轴对称，函数值y互为相反数，将抛物线化成关于x轴对称的抛物线的解析式为，列出方程组，求解即可得出结论．
解：∵抛物线与关于x轴对称，
∴，
∴与相同，
∴，
解得，
故选：B．
【点拨】
本题考查了二次函数图象与几何变换，根据关于x轴对称的坐标特征把抛物线化成关于x轴对称的抛物线的解析式是解题的关键．
11．B
【分析】
根据二次函数图像的特点进一步求解即可.
∵二次函数的图像为抛物线，
∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个，
故选：B.
【点拨】
本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键.
12．A
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴
∴2a+b=0；故正确；
③∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当m=1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选A．
【点拨】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定
抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项
系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
13．B
解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
【点拨】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．C
试题解析：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
所以①错误；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，
所以②正确；
③∵x=﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
所以④正确．
所以本题正确的有：②③④，三个，
故选C．
15．B
【分析】
由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案．
解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【点拨】
本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．
16．D
【分析】
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x=−＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），
对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），
∴x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②正确；
③由于＜2＜，
且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2），
∵＜，
∴y1＜y2，故③正确，
④∵−=2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴-＜a＜-，故④正确
故选D．
【点拨】
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
17．D
①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧，∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y==0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1，∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣=4•a•（﹣3a）﹣=＜0，∵8a＞0，∴4ac﹣＜8a，故③正确；④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1，∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞，故④正确；⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c，故⑤正确.
故选D．
【点拨】
本题考查二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握图像与系数的关系，数形结合来进行判断是解题的关键.
18．B
【分析】
①观察图象可知a＜0，b＞0，c＞0，由此即可判定①；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c由此可判定②；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，由此可判定③；④当x=3时函数值小于0，即y=9a+3b+c＜0，且x=﹣ =1，可得a=﹣，代入y=9a+3b+c＜0即可判定④；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c，由此即可判定⑤.
①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项错误；
②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故此选项错误；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此选项正确；
④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=n时，y=an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故此选项正确．
∴③④⑤正确．
故选B．
【点拨】
本题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，熟知抛物线的图象与二次函数系数之间的关系是解决本题的关键．
19．D
【解析】
试题分析：根据二次函数的图象和性质进行判断即可.
解：∵抛物线开口向上，
∴
∴A选项错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
∴B选项错误，
由图象可知，当－1
由抛物线的轴对称性及与x轴的两个交点分别为（－1，0）和（3，0）可知对称轴为
即－＝1，
∴D选项正确，
故选D.
20．C
【分析】
根据点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，y1＞y2≥n，可知该抛物线开口向上，对称轴是直线x＝m，则 ＜m，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．
解：∵点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，y1＞y2≥n，
∴抛物线有最小值，
∴抛物线开口向上，
∴点A到对称轴的距离比点B到对称轴的距离大，
∴＜m，
解得m＞ ，
故选C．
【点拨】
本题考查了二次函数性质，主要利用了二次函数的增减性以及对称轴，判断出抛物线开口向上是解题的关键．
21．C
【解析】
试题分析：先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论．
解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是−3和1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为(−3,0),(1,0).
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x==−1.
故选C.
22．C
【分析】
利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出①，令x＝2即可判断②，利用x＝3时函数值小于0，即可判断③，利用顶点坐标是最大值即可判断④.
解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故②正确；
③当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝＝1，
即a＝，代入得9（）+3b+c＜0，得2c＜3b，故③正确；
④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故④正确．
故选C．
【点拨】
本题考查了二次函数的图像和性质，属于简单题，熟悉函数的图像和性质是解题关键.
23．D
【分析】
根据x=1时的函数值最小判断出抛物线的开口方向; 根据函数的对称性可知当x=2时的函数值与x=0时的函数值相同, 并求出对称轴直线方程可得答案.
A、由图表数据可知x=1时, y的值最小, 所以抛物线开口向上. 所以该抛物线与x轴有两个交点.故本选项正确;
B、根据图表知, 当x≥2时y随x的增大而增大.故本选项正确;
C、抛物线的开口方向向上, 抛物线与y轴的交点坐标是(0,),对称轴是x=1,所以二次函数图象与x轴交点横坐标一个在-1~0之间, 另一个在2~3之间. 故本选项正确;
D、因为x=0和x=2 时的函数值相等,则抛物线的对称轴为直线x=1. 故本选项错误;
故选:D.
【点拨】
本题主要考查二次函数性质与二次函数的最值.
24．B
【分析】
由函数的对称性可得结论．
解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0），
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
∴，解得x=3,
此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
故选：B．
【点拨】
此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键．
25．①③④
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的开口向上，可得a＞0，根据图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，可得c＜0，根据图象的对称轴是直线x=1，结合a＞0可得b＜0，进而可得①正确；再根据当x＞2时，y有小于0的情况，可判断②错误；因为x=－1时，y＞0，∴＞0，再结合对称轴可得2a+b=0，进一步可得，由此判断③正确；最后由2a+b=0，a＞0，可得，所以④正确；到此可得结果.
解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴，∴2a+b=0，b＜0.
∴；故①正确；
由二次函数的图象可知，抛物线与x轴的右交点的横坐标应大于2小于3，
∴当x＞2时，y有小于0的情况，故②错误；
∵当x=－1时，y＞0，
∴＞0，
把代入得：，故③正确；
前面已得2a+b=0，又∵a＞0，∴，故④正确；
故答案为①③④.
【点拨】
本题综合考查了二次函数的性质和根据图象得出信息的能力，解题的关键是充分利用函数图象，运用二次函数的性质综合进行分析判断.
26．③④
【分析】
①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b＜0，据此判断即可．
②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．
③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．
④根据函数的最小值是，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，又∵对称轴为x=﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；
∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，
∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，∴结论③正确；
∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴结论④正确．
故答案为：③④．
【点拨】
本题考查二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．
27．①②③④
【分析】
根据抛物线的开口方向、与y轴的交点和对称轴即可求出a、b、c的符号，从而判断①；然后根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；根据抛物线对称轴公式即可判断③；根据当x=-1时，y＞0，代入即可判断④；利用抛物线的对称性可得当x＝﹣3时，y＜0，然后代入即可判断⑤．
解：由图象可知：a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∴4ac＜b2，
故②正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，
故③正确；
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，且由图象可得：当x＝1时，y＜0，
∴当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
故⑤错误．
综上，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点拨】
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
28．①④
【分析】
①由对称轴x=1判断；②根据图象确定a、b、c的符号；③根据对称轴以及B点坐标，通过对称性得出结果；③根据的判别式的符号确定；④比较x=1时得出y1的值与x=4时得出y2值的大小即可；⑤由图象得出，抛物线总在直线的下面，即y2＞y1时x的取值范围即可．
解：①因为抛物线的顶点坐标A（1，3），所以对称轴为：x=1，则-=1，2a+b=0，故①正确；
②∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故②不正确；
③∵抛物线对称轴为x=1,抛物线与x轴的交点B的坐标为（4,0），∴根据对称性可得，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-2,0），故③不正确；
④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴的判别式，=b2-4a（c+3）= b2-4ac-12a,又a＜0，∴-12a＞0，∴= b2-4ac-12a＞0，故④正确；
⑤当x=-1时，y1=a-b+c＞0;当x=4时，y2=4m+n=0,∴a-b+c＞4m+n,故⑤不正确；
⑥由图象得：的解集为x＜1或x＞4；故⑥不正确；
则其中正确的有：①④．
故答案为：①④．
【点拨】
本题选项较多，比较容易出错，因此要认真理解题意，明确以下几点是关键：①通常2a+b的值都是利用抛物线的对称轴来确定；②抛物线与x轴的交点个数确定其△的值，即b2-4ac的值：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；③知道对称轴和抛物线的一个交点，利用对称性可以求与x轴的另一交点．
29．③④
由抛物线的开口向下，可得a＜0；由与y轴的交点为在y轴的正半轴上，可得c＞0；因对称轴为x==1，得2a=-b，可得a、b异号，即b＞0，即可得abc＜0，所以①错误；
观察图象，根据抛物线与x轴的交点可得，当x=-1时，y＜0，所以a-b+c＜0，即b＞a+c，所以②错误；
观察图象，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在-1和0之间，根据对称轴为x==1可得抛物线与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间，由此可得当x=2时，函数值是4a+2b+c＞0，所以③正确；
由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，所以④正确．综上，正确的结论有③④.
【点拨】
本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与系数的关系：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点， 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
30．①③④⑥
【分析】
①由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴位置确定b的符号，可对①作判断；
②根据a和c的符号可得：a-c<0，根据b的符号可作判断；
③根据对称性可得：当x=2时，y>0，可作判断；
④根据对称轴为：x=1可得：a=-b，结合x=-1时，y<0，可作判断；
⑤根据顶点坐标的纵坐标为最大值可作判断；
⑥根据2a+b=0和c>0可作判断．
解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a<0.
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b>0；
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，
∴abc<0；
故①正确；
②∵a<0，c>0，∴a−c<0，
∵b>0，∴b>a−c，
故②错误；
③根据抛物线的对称性知，当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0；故③正确；
④∵对称轴方程x=−=1，∴b=−2a，∴a=−b，
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，∴−b+c<0，
∴2c<3b，
故④正确；
⑤∵x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又x=1时函数取得最大值，
∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm=m(am+b)，
故⑤错误；
⑥∵b=−2a，∴2a+b=0，
∵c>0，
∴2a+b+c>0，
故⑥正确.
综上所述，其中正确的结论的有：①③④⑥.
故答案为①③④⑥.
【点拨】
本题考查了二次函数图象与系数的关系.
31．直线
【分析】
由抛物线对称性质可知，抛物线与横轴的交点到对称轴的距离相等，可知其对称轴为与横轴两交点的和的一半．
解：二次函数的图象与轴相交于和两点，
其对称轴为：直线．
故答案为：直线．
【点拨】
本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是知道关于对称轴对称的两点到原点的距离相等．
32．4
【分析】
通过A、B两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值即可推出n的最小值．
∵A、B的纵坐标一样,
∴A、B是对称的两点,
∴对称轴,即,
∴b=﹣4．
．
∴抛物线顶点(2,﹣3)．
满足题意n得最小值为4,
故答案为4．
【点拨】
本题考查二次函数对称轴的性质及顶点式的变形,关键在于根据对称轴的性质从题意中判断出对称轴．
33．x=1
【解析】
【分析】
根据抛物线与坐标轴的交点确定出对称轴即可．
∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴的公共点是（-3，0），（5，0），
∴该抛物线的对称轴是直线x=.
故答案是：x=1.
【点拨】
考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
34．．
【分析】
由对称轴公式可求解参数b，再代入（3,0）即可求解参数c．
解：由题意得：
=1，解得b=2；
代入点坐标（3,0），则0=-9+6+c，解得c=3；
故答案为：．
【点拨】
本题考查了用待定系数法求解二次函数解析式．
35．直线x＝2
【分析】
根据二次函数图象的轴对称性，即可得到答案．
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于(﹣1，0)和(5，0)两点，
∴其对称轴为：直线x＝．
故答案为：直线x＝2．
【点拨】
本题主要考查二次函数的轴对称性，掌握二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点关于抛物线的对称轴对称，是解题的关键．
36．（﹣3，2） x＝﹣3 x＜﹣3 ﹣5＜x＜﹣1
【分析】
（1）根据抛物线的对称性即可求出顶点坐标的横坐标；
（2）由抛物线的顶点坐标的横坐标即可得到对称轴；
（3）观察图像即可；
（4）观察图像即可；
解：（1）如图所示，抛物线的对称轴方程是：＝﹣3．
则抛物线的顶点坐标是（﹣3，2）．
故答案是：（﹣3，2）．
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣3．
故答案是：x＝﹣3；
（3）如图所示，当x＜﹣3时，y随着x得增大而增大．
故答案是：x＜﹣3；
（4）如图所示，当﹣5＜x＜﹣1时，y＞0．
故答案是：﹣5＜x＜﹣1．
【点拨】
此题考查的是二次函数图像的性质，通过图像观察并计算是解决此题的关键.
37．(1) ;（2）点的坐标为；（3）
【分析】
（1） 用待定系数法即可得到答案;
（2）连接，设点，由题意得到．即可得到答案.
（3）用待定系数法求解析式，再结合勾股定理即可得到答案.
解：抛物线经过点，
，
解得
抛物线解析式为；
如图1，连接，设点，其中，四边形的面积为，由题意得，
，
，
，
．
，开口向下，有最大值，
当时，四边形的面积最大，
此时，，即．
因此当四边形的面积最大时，点的坐标为．
，
顶点．
如图2，连接交直线于点，此时，的周长最小．
设直线的解析式为，且过点，，
直线的解析式为．
在中，．
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
由图可知
设直线的函数解析式为，
解得：
直线的解析式为．
解得：
．
【点拨】
本题考查一次函数和勾股定理，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式.
38．（1）y=﹣x+3；（2）；（3）点Q的坐标为（，0）或（4，0）．
【解析】
试题分析：（1）先把抛物线解析式配成顶点式即可得到D点坐标，再求出C点坐标，然后利用待定系数法求直线l的解析式；
（2）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（3，0），再利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=-2x+6，则P（x，-2x+6），然后根据梯形的面积公式可得S=-x2+x（1≤x≤3），再利用而此函数的性质求S的最大值；
（3）如图2，设Q（t，0）（t＞0），则可表示出M（t，-t+3），N（t，-t2+2t+3），利用两点间的距离公式得到MN=|t2-t|，CM=t，然后证明NM=CM得到|t2-t|=t，再解绝对值方程求满足条件的t的值，从而得到点Q的坐标．
试题解析：（1）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
当x=0时，y=-x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线l的解析式为y=kx+b，
把C（0，3），E（4，0）分别代入得，解得，
∴直线l的解析式为y=-x+3；
（2）如图（1），当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，则B（3，0），
设直线BD的解析式为y=mx+n，
把B（3，0），D（1，4）分别代入得，解得，
∴直线BD的解析式为y=-2x+6，
则P（x，-2x+6），
∴S=（-2x+6+3）x=-x2+x（1≤x≤3），
∵S=-（x-）2+，
∴当x=时，S有最大值，最大值为；
（3）存在．
如图2，设Q（t，0）（t＞0），则M（t，-t+3），N（t，-t2+2t+3），
∴MN=|-t2+2t+3-（-t+3）|=|t2-t|，
CM==t，
∵△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′，M′落在y轴上，
而QN∥y轴，
∴MN∥CM′，NM=NM′，CM′=CM，∠CNM=∠CNM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴∠M′CN=∠CNM′，
∴CM′=NM′，
∴NM=CM，
∴|t2-t|=t，
当t2-t=t，解得t1=0（舍去），t2=4，此时Q点坐标为（4，0）；
当t2-t=-t，解得t1=0（舍去），t2=，此时Q点坐标为（，0），
综上所述，点Q的坐标为（，0）或（4，0）．
考点：二次函数综合题．
39．（1）①1；②或；（2）或．
【分析】
（1）①根据抛物线对称轴公式解题即可；
②根据抛物线的增减性解题，分两种情况讨论；
（2）先解得抛物线与x轴的交点坐标M，再根据题意解得A、B两点的坐标，将这三个点分别代入抛物线解析式中，解得的值，结合图象解题即可．
（1）①抛物线的对称轴为：，
故答案为：1；
（2）根据抛物线图象特征，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，故在抛物线上有两点，，且，则的取值范围是或，
故答案为：或；
（2）抛物线的对称轴为：，且对称轴与x轴交于点M，
点与点关于轴对称，
M向右平移3个单位得到点，
，
依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点，
把点代入抛物线，可得，
把点代入抛物线，可得，
把点代入抛物线，可得，
根据所画图象可知抛物线G与线段AB的交点恰有一个时，或．
【点拨】
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
40．（1）的解析式为；（2）平移后抛物线的表达式为或.
【分析】
（1）根据抛物线关于轴对称的原则可以得到均互为相反数，所以可以设：，同时经过点和点，那么也经过点和点，将这两点代入即可求解；
（2）首先根据函数图像的平移原则，设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线
，继而写出的解析式，然后分别求出点和点的坐标，再结合与相似，可得△DOQ为等腰直角三角形，利用坐标建立方程，求解即可.
解：（1）抛物线和抛物线关于轴对称，且：，
： ，
经过点和点，
经过点和点，
把点和点代入：可得：
，
解得：，
：；
（2）设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线，
：，
的解析式可以表示为：
，
抛物线与轴的交点为点和点，且在的右侧，
，
抛物线与轴交于点，
，
∵A（-3，0），C（0，3），
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴当△AOC和△DOQ相似时，
△DOQ为等腰直角三角形，
∴OQ=OD，
当点Q在y轴正半轴上时，
OQ=OD=OA=OC，
∴，
解得：a=0（舍）或2，
此时：；
当点Q在y轴负半轴时，
OD=OQ，
则，
解得：a=-1（舍）或4，
此时：；
综上：平移后抛物线W3的表达式为：或.
【点拨】
本题主要考查二次函数的图象变化，以及二次函数和相似三角形的存在性问题，熟练掌握二次函数的图象平移和对称变化规律，同时对相似三角形的存在性进行正确的分类讨论是求解本题的关键.
41．（1）a=-1；（2）y1＜y2．
【解析】
试题分析：(1)、将点(1，－2)，利用待定系数法求出函数解析式；(2)、首先得出二次函数的对称轴，然后根据函数的性质求出大小.
试题解析：(1)、∵抛物线y=a(x−3)2+2经过点（1，-2）， ∴−2=a(1−3)2+2，解得a=-1；
(2)、∵函数y=−(x−3)2+2的对称轴为x=3，
∴ A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）在对称轴左侧，
又∵抛物线开口向下，∴ 对称轴左侧y随x的增大而增大， ∵ m＜n＜3，∴ y1＜y2．
考点：二次函数的性质
42．（1）y=x2﹣4x﹣5（2）y=﹣x﹣1 (3) 直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形
【解析】
解：（1）在y=x2﹣bx﹣5中令x=0，得y=5，∴|OC|=5．
∵|OC|：|OA|=5：1，∴|OA|=1．∴A（﹣1，0）．
把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣5得（﹣1）2+b﹣5=0，解得b=4．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5．
（2）∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴抛物线的的对称轴为x=2．
∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5）∴F（4，﹣5）．
设直线AF的解析式为y=kx+b，
把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，得
，解得．∴直线FA的解析式为y=﹣x﹣1．
（3）存在．理由如下：
①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，
∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，∴E（0，﹣1）．∴P（0，﹣1）．
②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P．
设P（x1，﹣x1﹣1），
∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），
∴CE=CF．∴EP=PF．∴CP=PF．
∴点P在抛物线的对称轴上．∴x1=2．
把x1=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3．∴P（2，﹣3）．
综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形．
（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式．
（2）由y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9可得对称轴为x=2，根据点C、F关于对称轴对称可得点F的坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可．
（3）分①点P与点E重合和②CF是斜边两种情况讨论即可．
专题22.13 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（专项练习2）
一、 单选题
1．函数y＝kx﹣k与y＝kx2的图象大致是( )
A． B． C． D．
2．在同一直角坐标系中，函数与的图像大致如图（ ）
A． B． C． D．
3．一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知函数y=ax+b的大致图象如图所示，那么二次函数y=ax2+bx+1的图象可能是
A． B． C． D．
6．函数与在同一平面直角坐标系内图象大致是
A． B．C． D．
7．如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结沦：①无论x取何值，y2的值总是正数；②2a＝1；③当x＝0时，y2﹣y1＝4；④2AB＝3AC；其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是( )
A．A B．B C．C D．D
9．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于x轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A． ①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
16．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A． ①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
18．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
19．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，下列结论正确的是( )
A． a<0 B．b2－4ac<0 C．当－1
20．已知点A(﹣3，y1)，B(2，y2)均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P(m，n)是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥n，则m的取值范围是( )
A．﹣3＜m＜2 B．﹣＜m＜- C．m＞﹣ D．m＞2
21．若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是﹣3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ）
A．x=﹣3 B．x=﹣2 C．x=﹣1 D．x=1
22．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1．有下列4个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m是不等于1的实数）．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：则下列说法错误的是（ ）
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
…
A．二次函数图像与x轴交点有两个
B．x≥2时y随x的增大而增大
C．二次函数图像与x轴交点横坐标一个在－1~0之间，另一个在2~3之间
D．对称轴为直线x=1.5
24．抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、 填空题
25．二次函数（）的图象如图所示，对称轴为，给出下列结论：①； ②当时，；③；④，其中正确的结论有__________．
26．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）
①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4a．
27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0．其中正确的结论有_____．
28．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，点和点均在直线上.①；②；③抛物线与轴的另一个交点时；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为.
上述六个结论中，其中正确的结论是_____________.（填写序号即可）
29．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有_____．（填序号）
30．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：
①abc＜0；
②b＜a﹣c；
③4a+2b+c＞0；
④2c＜3b；
⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）
⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．
31．二次函数的图象与x轴相交于，两点，则该抛物线的对称轴是________．
32．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_____．
33．抛物线y=ax2+bx+3与x轴的公共点是（﹣3，0），（5，0），该抛物线的对称轴是直线_____．
34．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是__．
35．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣1，0）和（5，0）两点，则该抛物线的对称轴是_____．
36．已知函数图象如图所示，根据图象可得：
（1）抛物线顶点坐标_____．
（2）对称轴为_____．
（3）当_____时，y随着x得增大而增大
（4）当_____时，y＞0．
三、 解答题
37．已知抛物线经过点，与轴交于点．
求这条抛物线的解析式；
如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；
如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
38．如图1，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）．
（1）写出D的坐标和直线l的解析式；
（2）P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
39．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，
①抛物线的对称轴为______；
②若在抛物线上有两点，，且，则的取值范围是______；
（2） 抛物线的对称轴与轴交于点，点与点关于轴对称，将点向右平移3个单位得到点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，求的取值范围．
40．已知抛物线与轴交于点，其关于轴对称的抛物线为：，且经过点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，抛物线与轴的交点记为点和点（在的右侧），与轴交于点，如果满足与相似，请求出平移后抛物线的表达式．
41．已知抛物线y=a(x−3)2+2经过点（1，-2）．
（1）求a的值；
（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
42．如图，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AF的解析式；
（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由选项中的二次函数图象可得k＞0，可判定出一次函数的正确图象．
解：由选项中的二次函数图象可得k＞0，
所以y＝kx﹣k过一，三，四象限．
故选：B．
【点拨】
本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，解题的关键是熟记二次函数及一次函数的图象的特征．
2．C
【分析】
根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，该选项错误；
B、由抛物线可知，a<0，由直线可知，a＞0，该选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b<0，该选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b>0，该选项错误．
故选C．
【点拨】
本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．
3．D
【分析】
根据直线和抛物线解析式知y＝ax+c与y＝ax2+bx+c与y轴交于同一点（0，c），据此可得．
在y＝ax+c中，当x＝0时，y＝c，∴y＝ax+c与y轴的交点为（0，c）；
在y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝c，∴y＝ax2+bx+c与y轴的交点为（0，c），则y＝ax+c与y＝ax2+bx+c与y轴交于同一点（0，c）．
故选D．
【点拨】
本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
4．C
【分析】
分a＞0和a＜0时，分别判断两函数的图象即可求得答案．
解：当a＞0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而增大，函数y＝ax2开口向上，故①正确，④错误；
当a＜0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而减小，函数y＝ax2开口向下，故③不正确，②正确；
∴两函数图象可能是①②，
故选：C．
【点拨】
本题主要考查了一次函数的图象和二次函数的图象，掌握一次函数的图象和二次函数的图象是解题的关键.
5．D
【分析】
根据y=ax+b的函数图象得到a>0，b<0，即可确定二次函数y=ax2+bx+1的图象.
根据一次函数的图象可得a>0，b<0．则二次函数开口向上，对称轴在y轴的右侧．
故选D．
【点拨】
此题考查函数图象与系数之间的关系.
6．B
【解析】
【分析】
根据一次函数和二次函数的性质分别判断即可得．
解：当时，的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，
函数的图象是一条过和的直线，在第二、三、四象限，
符合条件的是B选项，
故选：B．
【点拨】
本题主要考查二次函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和二次函数图象与其系数间的关系．
7．D
【解析】
试题解析：：①∵抛物线y2=（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a=，故本结论错误；
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3解析式为y1=（x+2）2-3，当x=0时，y1=（0+2）2-3=-，y2=（0-3）2+1=，故y2-y1=+=，故本结论错误；
④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本结论正确．
故选D．
8．D
【分析】
根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象．
解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确．
故选D．
【点拨】
本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标．
9．C
【解析】
【分析】
设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝．
设A（m，m2），则B（m，m2），
∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，
∴C（2m，m2），D（m，m2），
∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，
.
故选C．
【点拨】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键．
10．B
【分析】
根据关于x轴对称，函数值y互为相反数，将抛物线化成关于x轴对称的抛物线的解析式为，列出方程组，求解即可得出结论．
解：∵抛物线与关于x轴对称，
∴，
∴与相同，
∴，
解得，
故选：B．
【点拨】
本题考查了二次函数图象与几何变换，根据关于x轴对称的坐标特征把抛物线化成关于x轴对称的抛物线的解析式是解题的关键．
11．B
【分析】
根据二次函数图像的特点进一步求解即可.
∵二次函数的图像为抛物线，
∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个，
故选：B.
【点拨】
本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键.
12．A
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴
∴2a+b=0；故正确；
③∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当m=1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选A．
【点拨】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定
抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项
系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
13．B
解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
【点拨】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．C
试题解析：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
所以①错误；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，
所以②正确；
③∵x=﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
所以④正确．
所以本题正确的有：②③④，三个，
故选C．
15．B
【分析】
由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案．
解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【点拨】
本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．
16．D
【分析】
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x=−＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），
对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），
∴x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②正确；
③由于＜2＜，
且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2），
∵＜，
∴y1＜y2，故③正确，
④∵−=2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴-＜a＜-，故④正确
故选D．
【点拨】
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
17．D
①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧，∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y==0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1，∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣=4•a•（﹣3a）﹣=＜0，∵8a＞0，∴4ac﹣＜8a，故③正确；④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1，∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞，故④正确；⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c，故⑤正确.
故选D．
【点拨】
本题考查二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握图像与系数的关系，数形结合来进行判断是解题的关键.
18．B
【分析】
①观察图象可知a＜0，b＞0，c＞0，由此即可判定①；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c由此可判定②；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，由此可判定③；④当x=3时函数值小于0，即y=9a+3b+c＜0，且x=﹣ =1，可得a=﹣，代入y=9a+3b+c＜0即可判定④；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c，由此即可判定⑤.
①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项错误；
②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故此选项错误；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此选项正确；
④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=n时，y=an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故此选项正确．
∴③④⑤正确．
故选B．
【点拨】
本题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，熟知抛物线的图象与二次函数系数之间的关系是解决本题的关键．
19．D
【解析】
试题分析：根据二次函数的图象和性质进行判断即可.
解：∵抛物线开口向上，
∴
∴A选项错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
∴B选项错误，
由图象可知，当－1
由抛物线的轴对称性及与x轴的两个交点分别为（－1，0）和（3，0）可知对称轴为
即－＝1，
∴D选项正确，
故选D.
20．C
【分析】
根据点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，y1＞y2≥n，可知该抛物线开口向上，对称轴是直线x＝m，则 ＜m，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．
解：∵点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，y1＞y2≥n，
∴抛物线有最小值，
∴抛物线开口向上，
∴点A到对称轴的距离比点B到对称轴的距离大，
∴＜m，
解得m＞ ，
故选C．
【点拨】
本题考查了二次函数性质，主要利用了二次函数的增减性以及对称轴，判断出抛物线开口向上是解题的关键．
21．C
【解析】
试题分析：先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论．
解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是−3和1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为(−3,0),(1,0).
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x==−1.
故选C.
22．C
【分析】
利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出①，令x＝2即可判断②，利用x＝3时函数值小于0，即可判断③，利用顶点坐标是最大值即可判断④.
解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故②正确；
③当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝＝1，
即a＝，代入得9（）+3b+c＜0，得2c＜3b，故③正确；
④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故④正确．
故选C．
【点拨】
本题考查了二次函数的图像和性质，属于简单题，熟悉函数的图像和性质是解题关键.
23．D
【分析】
根据x=1时的函数值最小判断出抛物线的开口方向; 根据函数的对称性可知当x=2时的函数值与x=0时的函数值相同, 并求出对称轴直线方程可得答案.
A、由图表数据可知x=1时, y的值最小, 所以抛物线开口向上. 所以该抛物线与x轴有两个交点.故本选项正确;
B、根据图表知, 当x≥2时y随x的增大而增大.故本选项正确;
C、抛物线的开口方向向上, 抛物线与y轴的交点坐标是(0,),对称轴是x=1,所以二次函数图象与x轴交点横坐标一个在-1~0之间, 另一个在2~3之间. 故本选项正确;
D、因为x=0和x=2 时的函数值相等,则抛物线的对称轴为直线x=1. 故本选项错误;
故选:D.
【点拨】
本题主要考查二次函数性质与二次函数的最值.
24．B
【分析】
由函数的对称性可得结论．
解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0），
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
∴，解得x=3,
此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
故选：B．
【点拨】
此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键．
25．①③④
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的开口向上，可得a＞0，根据图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，可得c＜0，根据图象的对称轴是直线x=1，结合a＞0可得b＜0，进而可得①正确；再根据当x＞2时，y有小于0的情况，可判断②错误；因为x=－1时，y＞0，∴＞0，再结合对称轴可得2a+b=0，进一步可得，由此判断③正确；最后由2a+b=0，a＞0，可得，所以④正确；到此可得结果.
解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴，∴2a+b=0，b＜0.
∴；故①正确；
由二次函数的图象可知，抛物线与x轴的右交点的横坐标应大于2小于3，
∴当x＞2时，y有小于0的情况，故②错误；
∵当x=－1时，y＞0，
∴＞0，
把代入得：，故③正确；
前面已得2a+b=0，又∵a＞0，∴，故④正确；
故答案为①③④.
【点拨】
本题综合考查了二次函数的性质和根据图象得出信息的能力，解题的关键是充分利用函数图象，运用二次函数的性质综合进行分析判断.
26．③④
【分析】
①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b＜0，据此判断即可．
②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．
③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．
④根据函数的最小值是，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，又∵对称轴为x=﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；
∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，
∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，∴结论③正确；
∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴结论④正确．
故答案为：③④．
【点拨】
本题考查二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．
27．①②③④
【分析】
根据抛物线的开口方向、与y轴的交点和对称轴即可求出a、b、c的符号，从而判断①；然后根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；根据抛物线对称轴公式即可判断③；根据当x=-1时，y＞0，代入即可判断④；利用抛物线的对称性可得当x＝﹣3时，y＜0，然后代入即可判断⑤．
解：由图象可知：a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∴4ac＜b2，
故②正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，
故③正确；
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，且由图象可得：当x＝1时，y＜0，
∴当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
故⑤错误．
综上，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点拨】
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
28．①④
【分析】
①由对称轴x=1判断；②根据图象确定a、b、c的符号；③根据对称轴以及B点坐标，通过对称性得出结果；③根据的判别式的符号确定；④比较x=1时得出y1的值与x=4时得出y2值的大小即可；⑤由图象得出，抛物线总在直线的下面，即y2＞y1时x的取值范围即可．
解：①因为抛物线的顶点坐标A（1，3），所以对称轴为：x=1，则-=1，2a+b=0，故①正确；
②∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故②不正确；
③∵抛物线对称轴为x=1,抛物线与x轴的交点B的坐标为（4,0），∴根据对称性可得，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-2,0），故③不正确；
④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴的判别式，=b2-4a（c+3）= b2-4ac-12a,又a＜0，∴-12a＞0，∴= b2-4ac-12a＞0，故④正确；
⑤当x=-1时，y1=a-b+c＞0;当x=4时，y2=4m+n=0,∴a-b+c＞4m+n,故⑤不正确；
⑥由图象得：的解集为x＜1或x＞4；故⑥不正确；
则其中正确的有：①④．
故答案为：①④．
【点拨】
本题选项较多，比较容易出错，因此要认真理解题意，明确以下几点是关键：①通常2a+b的值都是利用抛物线的对称轴来确定；②抛物线与x轴的交点个数确定其△的值，即b2-4ac的值：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；③知道对称轴和抛物线的一个交点，利用对称性可以求与x轴的另一交点．
29．③④
由抛物线的开口向下，可得a＜0；由与y轴的交点为在y轴的正半轴上，可得c＞0；因对称轴为x==1，得2a=-b，可得a、b异号，即b＞0，即可得abc＜0，所以①错误；
观察图象，根据抛物线与x轴的交点可得，当x=-1时，y＜0，所以a-b+c＜0，即b＞a+c，所以②错误；
观察图象，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在-1和0之间，根据对称轴为x==1可得抛物线与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间，由此可得当x=2时，函数值是4a+2b+c＞0，所以③正确；
由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，所以④正确．综上，正确的结论有③④.
【点拨】
本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与系数的关系：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点， 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
30．①③④⑥
【分析】
①由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴位置确定b的符号，可对①作判断；
②根据a和c的符号可得：a-c<0，根据b的符号可作判断；
③根据对称性可得：当x=2时，y>0，可作判断；
④根据对称轴为：x=1可得：a=-b，结合x=-1时，y<0，可作判断；
⑤根据顶点坐标的纵坐标为最大值可作判断；
⑥根据2a+b=0和c>0可作判断．
解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a<0.
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b>0；
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，
∴abc<0；
故①正确；
②∵a<0，c>0，∴a−c<0，
∵b>0，∴b>a−c，
故②错误；
③根据抛物线的对称性知，当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0；故③正确；
④∵对称轴方程x=−=1，∴b=−2a，∴a=−b，
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，∴−b+c<0，
∴2c<3b，
故④正确；
⑤∵x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又x=1时函数取得最大值，
∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm=m(am+b)，
故⑤错误；
⑥∵b=−2a，∴2a+b=0，
∵c>0，
∴2a+b+c>0，
故⑥正确.
综上所述，其中正确的结论的有：①③④⑥.
故答案为①③④⑥.
【点拨】
本题考查了二次函数图象与系数的关系.
31．直线
【分析】
由抛物线对称性质可知，抛物线与横轴的交点到对称轴的距离相等，可知其对称轴为与横轴两交点的和的一半．
解：二次函数的图象与轴相交于和两点，
其对称轴为：直线．
故答案为：直线．
【点拨】
本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是知道关于对称轴对称的两点到原点的距离相等．
32．4
【分析】
通过A、B两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值即可推出n的最小值．
∵A、B的纵坐标一样,
∴A、B是对称的两点,
∴对称轴,即,
∴b=﹣4．
．
∴抛物线顶点(2,﹣3)．
满足题意n得最小值为4,
故答案为4．
【点拨】
本题考查二次函数对称轴的性质及顶点式的变形,关键在于根据对称轴的性质从题意中判断出对称轴．
33．x=1
【解析】
【分析】
根据抛物线与坐标轴的交点确定出对称轴即可．
∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴的公共点是（-3，0），（5，0），
∴该抛物线的对称轴是直线x=.
故答案是：x=1.
【点拨】
考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
34．．
【分析】
由对称轴公式可求解参数b，再代入（3,0）即可求解参数c．
解：由题意得：
=1，解得b=2；
代入点坐标（3,0），则0=-9+6+c，解得c=3；
故答案为：．
【点拨】
本题考查了用待定系数法求解二次函数解析式．
35．直线x＝2
【分析】
根据二次函数图象的轴对称性，即可得到答案．
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于(﹣1，0)和(5，0)两点，
∴其对称轴为：直线x＝．
故答案为：直线x＝2．
【点拨】
本题主要考查二次函数的轴对称性，掌握二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点关于抛物线的对称轴对称，是解题的关键．
36．（﹣3，2） x＝﹣3 x＜﹣3 ﹣5＜x＜﹣1
【分析】
（1）根据抛物线的对称性即可求出顶点坐标的横坐标；
（2）由抛物线的顶点坐标的横坐标即可得到对称轴；
（3）观察图像即可；
（4）观察图像即可；
解：（1）如图所示，抛物线的对称轴方程是：＝﹣3．
则抛物线的顶点坐标是（﹣3，2）．
故答案是：（﹣3，2）．
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣3．
故答案是：x＝﹣3；
（3）如图所示，当x＜﹣3时，y随着x得增大而增大．
故答案是：x＜﹣3；
（4）如图所示，当﹣5＜x＜﹣1时，y＞0．
故答案是：﹣5＜x＜﹣1．
【点拨】
此题考查的是二次函数图像的性质，通过图像观察并计算是解决此题的关键.
37．(1) ;（2）点的坐标为；（3）
【分析】
（1） 用待定系数法即可得到答案;
（2）连接，设点，由题意得到．即可得到答案.
（3）用待定系数法求解析式，再结合勾股定理即可得到答案.
解：抛物线经过点，
，
解得
抛物线解析式为；
如图1，连接，设点，其中，四边形的面积为，由题意得，
，
，
，
．
，开口向下，有最大值，
当时，四边形的面积最大，
此时，，即．
因此当四边形的面积最大时，点的坐标为．
，
顶点．
如图2，连接交直线于点，此时，的周长最小．
设直线的解析式为，且过点，，
直线的解析式为．
在中，．
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
由图可知
设直线的函数解析式为，
解得：
直线的解析式为．
解得：
．
【点拨】
本题考查一次函数和勾股定理，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式.
38．（1）y=﹣x+3；（2）；（3）点Q的坐标为（，0）或（4，0）．
【解析】
试题分析：（1）先把抛物线解析式配成顶点式即可得到D点坐标，再求出C点坐标，然后利用待定系数法求直线l的解析式；
（2）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（3，0），再利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=-2x+6，则P（x，-2x+6），然后根据梯形的面积公式可得S=-x2+x（1≤x≤3），再利用而此函数的性质求S的最大值；
（3）如图2，设Q（t，0）（t＞0），则可表示出M（t，-t+3），N（t，-t2+2t+3），利用两点间的距离公式得到MN=|t2-t|，CM=t，然后证明NM=CM得到|t2-t|=t，再解绝对值方程求满足条件的t的值，从而得到点Q的坐标．
试题解析：（1）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
当x=0时，y=-x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线l的解析式为y=kx+b，
把C（0，3），E（4，0）分别代入得，解得，
∴直线l的解析式为y=-x+3；
（2）如图（1），当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，则B（3，0），
设直线BD的解析式为y=mx+n，
把B（3，0），D（1，4）分别代入得，解得，
∴直线BD的解析式为y=-2x+6，
则P（x，-2x+6），
∴S=（-2x+6+3）x=-x2+x（1≤x≤3），
∵S=-（x-）2+，
∴当x=时，S有最大值，最大值为；
（3）存在．
如图2，设Q（t，0）（t＞0），则M（t，-t+3），N（t，-t2+2t+3），
∴MN=|-t2+2t+3-（-t+3）|=|t2-t|，
CM==t，
∵△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′，M′落在y轴上，
而QN∥y轴，
∴MN∥CM′，NM=NM′，CM′=CM，∠CNM=∠CNM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴∠M′CN=∠CNM′，
∴CM′=NM′，
∴NM=CM，
∴|t2-t|=t，
当t2-t=t，解得t1=0（舍去），t2=4，此时Q点坐标为（4，0）；
当t2-t=-t，解得t1=0（舍去），t2=，此时Q点坐标为（，0），
综上所述，点Q的坐标为（，0）或（4，0）．
考点：二次函数综合题．
39．（1）①1；②或；（2）或．
【分析】
（1）①根据抛物线对称轴公式解题即可；
②根据抛物线的增减性解题，分两种情况讨论；
（2）先解得抛物线与x轴的交点坐标M，再根据题意解得A、B两点的坐标，将这三个点分别代入抛物线解析式中，解得的值，结合图象解题即可．
（1）①抛物线的对称轴为：，
故答案为：1；
（2）根据抛物线图象特征，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，故在抛物线上有两点，，且，则的取值范围是或，
故答案为：或；
（2）抛物线的对称轴为：，且对称轴与x轴交于点M，
点与点关于轴对称，
M向右平移3个单位得到点，
，
依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点，
把点代入抛物线，可得，
把点代入抛物线，可得，
把点代入抛物线，可得，
根据所画图象可知抛物线G与线段AB的交点恰有一个时，或．
【点拨】
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
40．（1）的解析式为；（2）平移后抛物线的表达式为或.
【分析】
（1）根据抛物线关于轴对称的原则可以得到均互为相反数，所以可以设：，同时经过点和点，那么也经过点和点，将这两点代入即可求解；
（2）首先根据函数图像的平移原则，设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线
，继而写出的解析式，然后分别求出点和点的坐标，再结合与相似，可得△DOQ为等腰直角三角形，利用坐标建立方程，求解即可.
解：（1）抛物线和抛物线关于轴对称，且：，
： ，
经过点和点，
经过点和点，
把点和点代入：可得：
，
解得：，
：；
（2）设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线，
：，
的解析式可以表示为：
，
抛物线与轴的交点为点和点，且在的右侧，
，
抛物线与轴交于点，
，
∵A（-3，0），C（0，3），
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴当△AOC和△DOQ相似时，
△DOQ为等腰直角三角形，
∴OQ=OD，
当点Q在y轴正半轴上时，
OQ=OD=OA=OC，
∴，
解得：a=0（舍）或2，
此时：；
当点Q在y轴负半轴时，
OD=OQ，
则，
解得：a=-1（舍）或4，
此时：；
综上：平移后抛物线W3的表达式为：或.
【点拨】
本题主要考查二次函数的图象变化，以及二次函数和相似三角形的存在性问题，熟练掌握二次函数的图象平移和对称变化规律，同时对相似三角形的存在性进行正确的分类讨论是求解本题的关键.
41．（1）a=-1；（2）y1＜y2．
【解析】
试题分析：(1)、将点(1，－2)，利用待定系数法求出函数解析式；(2)、首先得出二次函数的对称轴，然后根据函数的性质求出大小.
试题解析：(1)、∵抛物线y=a(x−3)2+2经过点（1，-2）， ∴−2=a(1−3)2+2，解得a=-1；
(2)、∵函数y=−(x−3)2+2的对称轴为x=3，
∴ A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）在对称轴左侧，
又∵抛物线开口向下，∴ 对称轴左侧y随x的增大而增大， ∵ m＜n＜3，∴ y1＜y2．
考点：二次函数的性质
42．（1）y=x2﹣4x﹣5（2）y=﹣x﹣1 (3) 直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形
【解析】
解：（1）在y=x2﹣bx﹣5中令x=0，得y=5，∴|OC|=5．
∵|OC|：|OA|=5：1，∴|OA|=1．∴A（﹣1，0）．
把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣5得（﹣1）2+b﹣5=0，解得b=4．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5．
（2）∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴抛物线的的对称轴为x=2．
∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5）∴F（4，﹣5）．
设直线AF的解析式为y=kx+b，
把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，得
，解得．∴直线FA的解析式为y=﹣x﹣1．
（3）存在．理由如下：
①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，
∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，∴E（0，﹣1）．∴P（0，﹣1）．
②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P．
设P（x1，﹣x1﹣1），
∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），
∴CE=CF．∴EP=PF．∴CP=PF．
∴点P在抛物线的对称轴上．∴x1=2．
把x1=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3．∴P（2，﹣3）．
综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形．
（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式．
（2）由y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9可得对称轴为x=2，根据点C、F关于对称轴对称可得点F的坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可．
（3）分①点P与点E重合和②CF是斜边两种情况讨论即可．
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