专题21.16 实际问题与一元二次方程-几何动态问题（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题21.16 实际问题与一元二次方程-几何动态问题（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共37页。试卷主要包含了基础篇，巩固篇，提高篇，培优篇等内容，欢迎下载使用。

专题21.16 实际问题与一元二次方程-几何动态问题
（专项练习）
一、 填空题
类型一、基础篇
1．如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当_______s时，的面积为．

2．如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为______秒．

3．如图，Rt△ABC中，AB=6，BC=8．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向B移动，同时，点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度向点C移动，运动___秒后，△PBQ面积为5个平方单位．

4．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过__________秒后，P，Q两点之间相距25 cm.

5． 一小球以15 m/s的速度竖直向上抛出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式：h＝15t－5t2，当t＝_________时，小球高度为10 m．小球所能达到的最大高度为________m.
类型二、巩固篇
6．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，若出发t秒后，，则_________秒．

7．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s．

8．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过_________秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．

9．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，若此长方形以2cm/s的速度沿着A→D方向移动，经过________秒平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm2．

10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12 cm，点D从点A开始沿边AB以2 cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持四边形DFCE(点E，F分别在AC，BC上)为平行四边形，则出发________s时，四边形DFCE的面积为20 cm2.

类型三、提高篇
11．在中，，厘米，厘米，点P从点A开始沿AB边向B点以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过______秒后，P，Q两点间距离为厘米．

12．如图，长方形中，，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为秒，当________时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．

13．如图，在△ABC中，AC＝50 cm，BC＝40 cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2 cm/s的速度匀速移动，同时另一点Q从点C开始以3 cm/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300 cm2时，运动时间为__________.

14．设二次函数y=x2+ax+b图像与x轴有2个交点，A(x1,0)，B(x2,0)；且0< x1<1；1< x2<2,那么（1）a的取值范围是___________；b的取值范围是________；则（2）b−4a−1的取值范围是_______.

二、 解答题
类型一、基础篇
15．如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．
（1）若的面积是面积的，求的值？
（2）的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由．

16．如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点Q从点开始沿着边向点以的速度移动．
（1）如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）小明在解答上述问题时，求得？请你判断一下，他做得对吗？并说明理由 ．



17．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，同时动点从点出发，沿方向运动，点，点的运动速度均为．当运动时间为多少秒时，两点相距？





18．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止．问：是否存在这样的时刻，使S△DPQ=28cm2？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．



类型二、巩固篇
19．如图:在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=8cm,动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿射线AB运动,同时动点Q从点C出发,以2cm/s的速度沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t秒,△PCQ的面积为S cm2．

(1)直接写出AC的长:AC= cm；
(2)求出S关于t的函数关系式,并求出当点P运动几秒时,S△PCQ=S△ABC









20．如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点以的速度移动，点Q从点出发沿CB边向点B以的速度移动．

（1）如果同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为厘米？
（2）点在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．



21．已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？
（3）的面积能否等于？请说明理由．



类型三、提高篇
22．如图，中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟，使？
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，经过几秒钟后？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？




23．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．
如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．

任务：
当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．



24．如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ=__________cm，PB=_________cm；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．




25．如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始向B运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒．它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求的长：
（2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．


类型四、培优篇
26．如图，矩形中，，，点从点出发沿向点移动（不与点、重合），一直到达点为止；同时，点从点出发沿向点移动（不与点、重合）．

（1）若点、均以的速度移动，经过多长时间四边形为菱形？
（2）若点为的速度移动，点以的速度移动，经过多长时间为直角三角形？



27．如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．

（1）当时，是否存在点P，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于；
（3）当时，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．



28．如图，平行四边形位于直角坐标系中，为坐标原点，点，点交轴于点 动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度终点运动，同时动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为 t（秒）．

（1）用t的代数式表示： ________， ________
（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
（3）当恰好是等腰三角形时，求t的值．







29．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．
（1）问：运动______秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（2）问几秒后，是否存在以PD为腰的等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由；
（3）问多少秒后，以P、Q、D三点为顶点的三角形为直角三角形？请写出计算过程．


参考答案
1．或
【点拨】利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为秒，分和两种情况结合三角形面积分别计算．
解：解：∵在等腰中，，，
∴，，．
∵于点．
∴设当时间为秒时，的面积为．
当时，，，
，即，
解得：或（舍去）．
当时，，，
，即，
解得：或（舍去）．
综上所述：当或秒时，的面积为．
故答案为：或．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论．
2．2
【点拨】根据题意可知CN=t，AM=2t，故可得BN=8-t,BM=12-2t,根据面积公式得到方程即可求解．
解：根据题意可知CN=t，AM=2t，
∴BN=8-t,BM=12-2t,
∵△MNB的面积为24cm2
∴×（12-2t）×（8-t）=24
解得x1=2,x2=12(舍去)
故答案为：2．
【点拨】此题只要一元二次方程的应用，解题的关键是根据三角形的面积公式列出方程求解．
3．1．
【点拨】由题意：PA=t，BQ=2t，则PB=6﹣t，利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．
解：由题意：PA=t，BQ=2t，则PB=6﹣t，
∵×(6﹣t)×2t=5，
解得t=1或5(舍去)，
故答案为：1．
【点评】
本题考查了一元二次方程的应用、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
4．10
【点拨】设x秒后，P、Q两点相距25cm，根据时间和速度求出路程，然后根据勾股定理列式解答即可.
解：设x秒后，P、Q两点相距25cm，据题意列式得：
(2x)2+(25-x)2=252，
4x2-50x+x2=0，
5x(x-10)=0，
x1=0 (舍去), x2=10 (秒).
∴10秒后P、Q两点相距25cm.
故答案为10.
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用和勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键.
5．1或2
【解析】
【点拨】把10代入关系式可求出t;用配方法可求出小球所能达到的最大高度.
解：当h=10m时,
10=15t－5t2，
∴t=1或t=2;
∵h＝15t－5t2= 可看出当时,h最大为.
故答案为:1或2;.
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用及对题意的理解能力,解析式有了,代入已知的h就能求出t.给解析式配方就能求出最大值.
6．4-
【点拨】根据矩形的性质和勾股定理，用含t的代数式表示出PA，PC，再列出方程，即可求解．
解：解：∵在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，
∴PA=2t，PC=，
∵，
∴2t=，解得：t1=4-，t2=4+（舍去），
故答案是：4-．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次根式，一元二次方程，用用含t的代数式表示出PA，PC，是解题的关键．
7．2．
【点拨】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB=（12-2x）cm，CQ=（6-x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得：（12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．3
【点拨】根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可．
解：解：根据题意，知
BP=AB-AP=6-t，BQ=2t．
根据三角形的面积公式，得
PB•BQ=，
t（6-t）=，
t2-6t+9=0，
解得t=3．
故经过3秒钟，△PBQ的面积等于△ABC面积的．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用直角三角形的面积公式列方程求解是解题关键．
9．3
【点拨】先用时间表示重叠部分矩形的长度，以长方形面积公式作为等量关系列关于x的方程求解即可.
解：解：设经过x秒平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm2，根据题意得
6（10-2x）=24
解得，x=3，
即经过3秒平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm2.
故答案为：3
【点拨】本题考查了平移的性质和一元一次方程的应用，运用方程思想求解是解答此题的关键.
10．1或5
【点拨】设点D从点A出发x秒时，四边形DFCE的面积为20cm2．根据S四边形DECF＝S△ABC−S△ADE−S△BDF，列出方程求解即可．
解：设点D从点A出发x s时，四边形DFCE的面积为20 cm2.
由题意，得－－＝20，
解得x1＝1，x2＝5，
故答案为：1或5.
【点拨】本题考查了一元二次方程的运用及等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时运用面积之间的关系建立方程是关键．
11．
【点拨】设经过秒后，P，Q两点间距离为厘米，先根据运动路程和速度求出的取值范围，再分、和三种情况，然后分别在中，利用勾股定理建立关于的一元二次方程，解方程即可得出答案．
解：设经过秒后，P，Q两点间距离为厘米，
由题意得：点P从点A开始沿AB边运动到点B所需时间为秒，
点Q从点B开始沿BC边运动到点C所需时间为秒，
因此，分以下三种情况：
（1）当点Q到达点C之前，即时，则厘米，厘米，
厘米，
厘米，
则在中，，即，
整理得：，
解得或（不符题设，舍去）；
（2）当点Q到达点C，点P继续向点B移动，即时，则厘米，
由得：，
整理得：，
解得或（均不符题设，舍去）；
（3）当点Q到达点C，点P到达点B，即时，
则厘米，不符题意；
综上，经过秒后，P，Q两点间距离为厘米，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，依据题意，正确分三种情况讨论，并建立方程是解题关键．
12．或或或
【点拨】分情况讨论，如图1，当PQ＝DQ时，如图2，当PD＝PQ时，如图3，当PD＝QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
解：解：如图1，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．
∵AP＝2t，
∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．
∵PQ＝DQ，
∴PQ＝6﹣t．
在RtPQE中，由勾股定理，得
（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，
解得：t＝．
如图2，当PD＝PQ时，
作PE⊥DQ于E，
∴DE＝QE＝DQ，∠PED＝90°．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴PE＝BC＝2cm．
∵DQ＝6﹣t，
∴DE＝．
∴2t＝，
解得：t＝；
如图5，当PD＝QD时，
∵AP＝2t，CQ＝t，
∴DQ＝6﹣t，
∴PD＝6﹣t．
在RtAPD中，由勾股定理，得
4+4t2＝（6﹣t）2，
解得t1＝，t2＝（舍去）．
综上所述：t＝，，，．
故答案为：，，，．

【点拨】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．
13．5s
【点拨】设x秒后，△PCQ的面积等于300cm2，根据路程=速度×时间，可用时间x表示出CP和CQ的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去，即可得出时间的值．
解：设x秒后，△PCQ的面积等于300cm2，有：
（50-2x）×3x=300，
∴x2-25x+50=0，
∴x1=5，x2=20．
当x=20s时，CQ=3x=3×20=60＞BC=40，即x=20s不合题意，舍去．
答：5秒后，△PCQ的面积等于300cm2．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程求出是解题关键．
14． －3˂a˂-1 0˂b˂2 12˂b−4a−1˂2
【解析】由ax2+bx+c=0的解x1+x2=−ba ,x1x2=ca 得
二次函数y=x2+ax+b的解x1+x2=-a,x1x2=b
∵且0< x1<1；1< x2<2,
∴-3 ∴12˂b−4a−1˂2
15．（1）；（2）不可能；理由见解析．
【点拨】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为，的面积为，由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系列方程求出的值，再根据根的判别式判断方程有没有解即可．
解：解：（1），，
，
，
解得：．
答：当时，的面积为面积的．
（2）的面积不可能是面积的一半．理由如下：
当时，
，
整理得：，
，
此方程没有实数根，
的面积不可能是面积的一半．
【点评】
本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
16．（1）1s；（2）不对，理由见解析
【点拨】（1）设经t秒钟，PB=（5-t）cm，BQ=2tcm，利用△PQB的面积等于4cm2列方程解答即可．
（2）设t秒后，的面积等于8cm2，利用△PQB的面积等于8cm2列出方程，再根据判别式得出方程根的情况即可得出结论
解：解：（1）设t秒后，的面积等于

t1=1，t2=4(不合题意，舍去）
答：1秒后，的面积等于
（2）不对
设t秒后，的面积等于8cm2

整理得：t2-5t+8=0
∵ b2-4ac=25-32=-7<0
∴此方程无解
∴ 的面积不能等于8cm2
【点拨】此题主要考查了利用三角形的面积解决一元二次方程的应用问题．利用判别式判断方程根的情况是解题的关键
17．9秒或12秒
【点拨】设运动时间为秒时，计算CQ，CP两点间的距离，结合勾股定理列一元二次方程，解方程即可，最后作答．
解：解：设运动时间为秒时，，两点相距，
根据题意，得，
解得，，
答：运动时间为9秒或12秒时，，两点相距．
【点拨】本题考查勾股定理的应用、一元二次方程的解法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．存在，2秒或4秒时面积为28cm2．
【点拨】可先设出未知数，△PDQ的面积可由矩形与几个小三角形的面积之差表示，所以求出几个小三角形的面积，进而即可求解结论．
解：解：存在，t=2s或4s．理由如下：
可设x秒后△PDQ面积为28cm2，
即SABCD﹣S△ADP﹣S△PBQ﹣S△DCQ=12×6﹣×12x﹣（6﹣x）•2x﹣×6×（12﹣2x）=28，
解得x1=2，x2=4，
当其运动2秒或4秒时均符合题意，
所以2秒或4秒时面积为28cm2．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用．解题时，利用了“分割法”来求△PDQ的面积的．
19．（1）8（2）2＋2
【点拨】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长；
（2）利用三角形的面积公式可找出S关于t的函数关系式，分0＜t≤4和t＞4两种情况，找出关于t的一元二次方程，解之取合适的值即可得出结论．
解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8cm，
∴AC＝＝8 cm．
故答案为：8；
（2）∵AP＝CQ＝2t，AB＝8，
∴BP＝|8−2t|，
∴S＝CQ•BP＝t|8−2t|，
即S＝．
当0＜t≤4时，−2t2＋8t＝AB×BC=×8×8，
整理，得：t2−4t＋16＝0，
∵△＝（−4）2−4×1×16＝−48＜0，
∴该方程无解；
当t＞4时，2t2−8t＝×8×8，
整理，得：t2−4t−16＝0，
解得：t1＝2−2（不合题意，舍去），t2＝2＋2．
∴当点P运动（2＋2）秒时，S△PCQ＝S△ABC．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（1）同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为厘米；（2）不存在，理由见详解
【点拨】（1）设x秒钟后，可使PQ的长为厘米，用x表示出PC，CQ，根据勾股定理可列方程求解．
（2）假设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，列出方程看看解的情况，进而即可得到结论．
解：解：（1）设x秒钟后，可使PQ的长为厘米，由题意得：
，
解得：x＝2或x＝，
答：同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为厘米；
（2）不存在．
理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：
，
y2−6y＋12＝0，
∵△＝36−4×12＜0，
∴方程无解，即：不存在．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理，和一元二次方程的判别式，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
21．（1）1秒；（2）3秒；（3）不能，理由见解析
【点拨】（1）设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AP=xcm，PB=（5-x）cm，BQ=2xcm，则△PBQ的面积等于×2x（5-x），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2t（5-t）=7，化简该方程后，判断该方程的与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
解：解：（1）设经过x秒以后，面积为，
此时，，，
由得，
整理得：，
解得：或舍，
答：1秒后的面积等于 ；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于
由，
即，
解得：t=3或-1(舍)，
∴3秒后，PQ的长度为；
（3）假设经过t秒后，的面积等于，
即，，
整理得：，
由于，
则原方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
22．（1）2或4；（2）2；（3）．
【点拨】本题可设P出发x秒后，符合已知条件：
在（1）中，，，，根据题意列方程求解即可；
在（2）中，，，，进而可列出方程，求出答案；
在（3）中，，，，利用勾股定理和列出方程，即可求出答案．
解：（1）P、Q同时出发，经过秒钟，，
由题意得：
∴，
解得：，．
经2秒点P到离A点1×2＝2cm处，点Q离C点2×2＝4cm处，经4秒点P到离A点1×4＝4cm处，点Q到离C点2×4＝8cm处，经验证，它们都符合要求．
答：P、Q同时出发，经过2秒或4秒，．
（2）设P出发t秒时，则Q运动的时间为秒，由题意得：
，
∴，
解得：．
因此经4秒点P离A点1×4＝4cm，点Q离C点2×（4﹣2）＝4cm，符合题意．
答：P先出发2秒，Q再从C出发，经过2秒后．
（3）设经过秒钟后PQ＝BQ，则，，，
，
解得：，（不合题意，舍去），
答：经过秒钟后PQ＝BQ．
【点拨】此题考查了一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍．
23．存在，长为8，宽为1的矩形存在“减半”矩形，且“减半”矩形的长为，宽为．
【点拨】假设存在，设“减半”矩形的长为x，则宽为（-x），根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
解：假设存在，设“减半”矩形的长为x，则宽为（﹣x），
依题意，得：x（﹣x）＝×8×1，
整理，得：x2﹣x+4＝0，
解得：x1＝，x2＝．
当x＝时，﹣x＝，符合题意；
当x＝时，﹣x＝＞，不合题意，舍去．
∴长为8，宽为1的矩形存在“减半”矩形，且“减半”矩形的长为，宽为．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（1）2t，（5-t）；（2）0秒或2秒；（3）存在，1秒
【点拨】（1）根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度；
（2）根据勾股定理可得PB2+BQ2=QP2，代入相应数据解方程即可；
（3）根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．
解：解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，
∴AP=tcm，
∵AB=5cm，
∴PB=（5-t）cm，
∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，
∴BQ=2tcm；
（2）由题意得：（5-t）2+（2t）2=52，
解得：t1=0，t2=2；
当t=0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm；
（3）存在t=1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下：
长方形ABCD的面积是：5×6=30（cm2），
使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30-26=4（cm2），
（5-t）×2t×=4，
解得：t1=4（不合题意舍去），t2=1．
即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，关键是表示出BQ、PB的长度．
25．（1）cm；（2）秒；（3）6.6秒或6秒或5.5秒
【点拨】（1）可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
解：解：（1）当t=2时，则AP=2，BQ=2t=4，
∵AB=8cm，
∴BP=AB-AP=8-2=6（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ=cm，
即PQ的长为cm；
（2）由题意可知AP=t，BQ=2t，
∵AB=8，
∴BP=AB-AP=8-t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，即8-t=2t，
解得t=，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
（3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，
当点Q在AC上时，AQ=BC+AC-2t=16-2t，
∴CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，
∵△BCQ为等腰三角形，
∴有BQ=BC、CQ=BC和CQ=BQ三种情况，
①当BQ=BC=6时，如图1，过B作BD⊥AC，
则CD=CQ=t-3，在Rt△ABC中，求得BD=，

在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，即62=（）2+（t-3）2，
解得t=6.6或t=-0.6＜0（舍去）；
②当CQ=BC=6时，则2t-6=6，解得t=6；
③当CQ=BQ时，则∠C=∠QBC，
∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，
∴∠A=∠QBA，
∴QB=QA，
∴CQ=AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5；
综上可知：当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点拨】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．
26．(1) 经过秒四边形是菱形；（2）经过2秒、秒 、秒时为直角三角形
【点拨】（1）根据矩形性质可得，由P、Q两点速度大小相同得到平行四边形，只需，四边形是菱形，设经过x秒四边形是菱形，将BP、DP表示出来，建立一元二次方程即可得解；
（2）由分为①②两种情况讨论：对①，过Q作于M，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，即可得解；对②，则，由此可得关于x的一元一次方程，即可得解．
解：解：（1）由题可知,
由于P、Q两点速度大小相同，
，
是平行四边形，
当时，四边形是菱形；
设经过了x秒四边形是菱形，则有：
，
由勾股定理得：

解得：
故经过秒四边形是菱形；
（2） P、A两点不重合

为直角三角形有两种情况：①当时过Q作于M，可知为矩形，如图所示
，，则有：
，

解得：， ；
②当时，，
所以，解得 ；
综上可知：经过2秒、秒 、秒时为直角三角形．

【点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理的逆定理以及菱形的判定；解题的关键在于：（1）根据领边相等建立一元二次方程；（2）分类讨论，根据边与边的关系建立方程；解决该类问题根据菱形的判定、勾股定理的逆定理得出关于x的方程是关键．
27．（1）5秒；（2）9秒或15秒；（3）秒或秒
【点拨】（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD=PC即可，列出等式可求解．
（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即（QD+PC）×AB÷2=60，因为Q、P点的速度已知，AD、AB、BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求得时间t；
（3）使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ=PD、PQ=QD、QD=PD；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．
解：解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ=CP，
当P从B运动到C时，
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t，
∴16-t=21-2t，
解得t=5，
∴当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；

（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，
•AB=60，
即×12=60，
解得t=9（秒），
若点P返回时，CP=2t-21，
则×12=60，
解得t=15（秒）．
故当t=9秒或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2；
（3）当PQ=PD时，
作PH⊥AD于H，则HQ=HD，

∵QH=HD=QD=（16-t），
∵AH=BP，
∴2t=（16-t）+t，
∴t=秒；
当PQ=QD时，QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t，QD=16-t，
∵QD2=PQ2=t2+122，
∴（16-t）2=122+t2，
解得t=（秒）；
当QD=PD时，DH=AD-AH=AD-BP=16-2t，
∵QD2=PD2=PH2+HD2=122+（16-2t）2，
∴（16-t）2=122+（16-2t）2，
即3t2-32t+144=0，
∵△＜0，
∴方程无实根，
综上可知，当t=秒或秒时，△PQD是等腰三角形．
【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的性质，梯形的面积，等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．
28．（1）5－t，2t；（2）或；（3）或
【点拨】(1)根据题意，可得点B的坐标为(−5，4)，即可求得BE=5−t，OF=2t；
（2）分两种情况讨论：①当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，BE=AF；②当F在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形，BE=AF，列方程求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当BF=EF时；②当EB=FB时；③当BE=FE时，分别列方程求解即可．
解：（1）如图

根据题意，可得点B的坐标为(−5，4)，点，
∴BD=BC-CD=8-3=5，
BE=BD-DE=5－t；
OF＝2t
故答案为BE=5-t，OF=2t．
(2)解：①当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，

，
即，
解得，
②当F在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形，

，即，
解得；
(3)解：当恰好是等腰三角形时，过点B作BJ⊥x轴于J，过点E作EK⊥x轴于K，

BE=5-t，
EF=，
BF=，
有以下三种情况：
①当时，有=，
，
解得；
②当时，
有，
△=100-4×3×16=-92＜0，故方程无解；
③当时，有，
解得；
所以，当或时，恰好是等腰三角形．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，解题的关键是熟悉并综合运用以上性质解决问题．
29．（1）或；（2）2秒、秒；（3）2s、s、s
【点拨】（1）过点P作PE⊥CD，垂足为E，用勾股定理列方程求解．
（2）分PD=PQ，PD=QD两种情况分别求解；
（3）由∠PDQ≠90°可知△DPQ为直角三角形分两种情况．①当∠DPQ=90°时，过点Q作QM⊥AB于M，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值；②当∠DQP=90°时，则AP+CQ=16，由此可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出x值．综上即可得出结论．
解：解：（1）如图，过点P作PE⊥CD，垂足为E，由QE=|（16-3t）-2t|，
由勾股定理得|（16-3t）-2t|2+62=102，
即（16-5t）2=64，16-5t=±8．
∴t＝或，
所以当t＝或时，点P和点Q的距离是10cm；

（2）当DP=DQ时，则DM=MQ=3tcm．
∵3t+3t+2t=16．
∴t=2；
当DP=DQ时，在直角△DAP中，
由勾股定理得：（16-2t）2=62+（3t）2，
解得t1=，t2=（舍去），
综上所述，经过2秒、秒时，点P、Q、D组成的三角形是以PD为腰的等腰三角形．
（3）∵点P不与点A重合，
∴∠PDQ≠90°，
∴△DPQ为直角三角形分两种情况：
①当∠DPQ=90°时，△DPQ为直角三角形，过点Q作QM⊥AB于M，可得四边形BCQM为矩形，如图所示．

∵AP=3xcm，BM=CQ=2xcm，则PM=（16-5x）cm，DQ=（16-2x）cm，
∴（16-5x）2+62+（3x）2+62=（16-2x）2，
解得：x1=2，x2=；
②当∠DQP=90°时，AP+CQ=16，
所以3x+2x=16，解得：x=，

综上可知：经过2s、s、s时，以P、Q、D三点为顶点的三角形为直角三角形．
【点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的运用，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，注意分类讨论，属于中考常考题型．