专题12.10 角平分线的性质（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题12.10 角平分线的性质（专项练习）
一、 单选题
知识点一：角平分线的有关证明
1．在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（ ）

A．3 B． C．2 D．6
2．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为( )

A．8 B．7 C．6 D．5
3．如图，在中，平分于点给出下列结论．; ③， 平分，其中正确的有（ ）个

A． B． C． D．
知识点二：角平分线的性质定理
4．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（　　）

A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则下列四个结论中：①AB上任一点与AC上任一点到D的距离相等；②AD上任一点到AB，AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④∠1＝∠2；其中正确的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
7．如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ）

A．24 B．30 C．36 D．42
知识点三：角平分线判定定理
8．如图，，，则（ ）

A．垂直平分 B．垂直平分
C．平分 D．以上结论均不对
9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（　　）．

A．60° B．70° C．80° D．90°
10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（　　）

A．一定相等 B．一定不相等 C．当BD=CD时相等 D．当DE=DF时相等
11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（ ）

A．线段CD的中点 B．OA与OB的中垂线的交点
C．OA与CD的中垂线的交点 D．CD与∠AOB的平分线的交点
知识点四：角平分线性质的实际应用
12．如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于( )

A．4 B．3 C．2 D．1
13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB=14，S△ABD=14，则CD=（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
14．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
知识点五：尺规作图-角平分线
15．尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）

A． SAS B．ASA C．AAS D．SSS
16．如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（　　）

A． B． C． D．
17．如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（ ）

A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )

A．是的平分线 B． C．点C,D到的距离不相等 D．


二、 填空题
知识点一：角平分线的有关证明
19．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．

20．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是_______。

21．如图所示，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，则△ABC的面积是_____．

知识点二：角平分线判定定理
22．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=___．

23．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=__________．

24．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是__

25．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝________．

26．如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是__________．

27．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠P＝_________

知识点三：角平分线的性质定理
28．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=__________．

29．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，则∠CAF的度数是______.

30．如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC的面积=_________.

31．如图，的三边AB，BC，AC的长分别为45，50，60，其中三条角平分线相交于点O，则：：______．

知识点四：角平分线性质的实际应用
32．如图所示，在中，，平分，于，，则________．

33．如图，已知△ABC的周长是16，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D且OD=2，△ABC的面积是________________.

知识点五：尺规作图-角平分线
34．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是_______．

35．如图，在△ABC中，以原点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AC：AB=3：4，△ACD的面积是21，则△ABD的面积是______．

36．如图所示，直线，直线分别与相交于点小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则的度数为___________

37．如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD=1，AB=4，则△ABD的面积是_________．


三、 解答题
知识点一：角平分线的有关证明
38．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，设AD＝x，BC＝y且（x﹣3）2+|y﹣4|＝0．求AB的长．

知识点二：角平分线的性质定理
39．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.




知识点三：角平分线判定定理
40．如图,已知ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交CD于E,交AC于F.
求证：CE=CF．





知识点五：尺规作图-角平分线
41．如图所示，点A，B，C分别表示三个住宅小区，为了丰富社区居民的文化生活，拟建一个文化活动中心，使它到三个住宅小区的距离相等，请你在图中确定文化活动中心（用点D表示）的位置.


参考答案
1．A
【分析】
证明△ABD≌△AED即可得出DE的长．
【详解】
∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠B=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED，
∴DE=BE=3，
故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
2．B
【详解】
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD
在△ADE和△ADC中，
AE=AC，
∠EAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ADE≌△ADC(SAS)，
∴ED=CD，
∴BC=BD+CD=DE+BD=5，
∴△BDE的周长=BE+BD+ED=(6−4)+5=7
故选B．
【点拨】本题考查全等三角形的应用.三角形全等的判定定理有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、HL.通过证明三角形全等可以得到相等的边或角，可将待求量进行转化，使问题迎刃而解．
3．B
【分析】
由在中，，平分，于点可得，继而由全等三角形可得、，进一步可证平分、，根据等角的余角相等可得，根据直角三角形的面积求法可得，即可判断结论正确的个数．
【详解】
解：∵在中，，平分，于点
∴
故①正确；
∵在中，，平分，于点
∴
∴，
∴平分
故④正确；
∵，
∴
故②正确；
∵
∴
故③正确；
∵
∴
故⑤错误．
故选：B
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、垂直的定义、直角三角形的性质、余角的性质以及线段的和差，难度不大，熟练掌握各知识点是解题的关键．
4．C
【分析】
利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
【详解】
解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故选C．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质．
5．C
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的三线合一定理可得：∠1=∠2，∠BDE=∠CDF，根据角平分线的性质可知：AD上任一点到AB、AC的距离相等，故正确的有3个，选C．
6．C
【解析】
过点P作PE⊥BC于E，

∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
7．B
【分析】
过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，

∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，
∴DE=CD=4，
∴四边形的面积
故选B.
【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．B
【分析】
根据段垂直平分线的判定定由AC＝AD得到点A在线段CD的垂直平分线上，由BC＝BD得到点B在线段CD的垂直平分线上，而两点确定一直线，所以可判断AB垂直平分CD．
【详解】
解：∵AC＝AD，
∴点A在线段CD的垂直平分线上，
∵BC＝BD，
∴点B在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD．
故选B．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9．D
【解析】
∵PE⊥AB，PF⊥BD，PF=PE，
∴PB平分∠ABD，
∴∠PBD=∠ABD，同理∠PDB=∠CDB，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴2∠PBD+2∠PDB=180°，
∴∠PBD+∠PDB=90°，
∴∠BPD=180°-∠PBD-∠PDB=90°.
故选D.
点拨：本题最后求的是角度，关键是利用角平分线的判定将PF=PG=PE转化为角度的关系.
10．D
【分析】
已知有点到∠BAC的两边的距离，根据角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，要满足∠1=∠2，须有DE=DF，于是答案可得．
【详解】
根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
故选D．
【点拨】此题主要考查角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上；做题时要明确题目中有什么条件，要达到什么目的．
11．D
【详解】
解：根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”得P点是CD与∠AOB的平分线的交点，故选D．
12．C
【分析】
如图，过点D作于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.
【详解】
如图，过点D作于E，
，，
，
，BD平分，
，
即点D到AB的距离为2，
故选C．

【点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
13．C
【分析】
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【详解】
如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=AB•DE=×14•DE=14，
解得DE=2，
∴CD=2．故选C.

【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，掌握性质是解题的关键．
14．D
【分析】
过点作于，然后利用的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：过点作于，
是的角平分线，，
，
，
解得．
故选：．

【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
15．D
【解析】
解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；
再有公共边OP，根据“SSS”即得△OCP≌△ODP．
故选D．
16．C
【分析】
利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数.
【详解】
由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故选C．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.
17．B
【分析】
根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】
第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
18．C
【解析】
分析：根据图形的画法得出是的平分线，再根据尺规作图的画法结合角平分线的性质逐项分析四个选项即可得出结论．
详解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．
A. OE是∠AOB的平分线，A正确；
B. OC=OD，B正确；
C. 点C. D到OE的距离相等，C不正确；
D. ∠AOE=∠BOE，D正确.
故选C.
点拨：考查尺规作图-角平分线，根据角平分线的性质回答即可.
19．42
【详解】
解：连接AO,可知AO平分∠BAC,由角平分线的性质可知
点O到AB、AC、BC的距离相等，
把求△ABC的面积转化为求△AOB、△AOC、△BOC的面积之和，
即

考点:角平分线的性质.
20．
【解析】
【分析】
根据三角形内角与外角的关系可得
由角平分线的性质可得
根据三角形内角和定理可得
易得∠M的度数。
【详解】
在中，是的外角
∴
由三角形内角和定理可得
∵
∴
∵平分
∴
由三角形内角与外角的关系可得
∵
∴
又∵
∴
∴


【点拨】本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。
21．36
【分析】
过点O作OE⊥AB于E,作OF⊥AC于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=OD=OF,然后根据三角形的面积列式计算即可得解
【详解】
如图,过点O作OB⊥AB于E

作OF⊥AC于F,
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC
∴OE=OD=OF=4
△ABC的面积=×18×4=36
故答案为36
【点拨】此题考查角平分线的性质，解题关键在于做辅助线
22．120°
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等判断出点O是三个角的平分线的交点，再根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】
∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴点O是三个角的平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=（180°-60°）=60°，
在△BCO中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°．
故答案为120°．
【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并判断出点O是三个角的平分线的交点是解题的关键．
23．150°
【分析】
先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
【详解】
∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．
故答案为150°
【点拨】本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．
24．在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【分析】
根据角平分线的性质即可证明.
【详解】
因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【点拨】此题主要考查角平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质.
25．100°
【解析】
试题分析：根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得∠ABC=2∠DBC=2×50°=100°．
考点：角平分线的性质．
26．28°
【分析】
过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，最后求得∠ABE的度数．
【详解】

如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°−∠AED=62°，
∴Rt△BCE中,∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°
故填：28°.

【点拨】此题主要考查角平分线的性质的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
27．90°
【解析】
试题分析：根据点P到AB、BC、CD的距离相等可得：BP平分∠ABC，CP平分∠BCD，根据平行线的性质可得：∠ABC+∠BCD=180°，则∠PBC+∠PCB=90°，则∠P=90°．
28．30°
【分析】
由CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，可判断OC为角平分线，即
【详解】
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，
∴OC平分∠AOB，
即
故答案为
【点拨】考查角平分线的判定与性质，角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上.
29．45°
【解析】
试题解析：∵EF是AD的垂直平分线，
∴FA=FD，
∴∠FDA=∠FAD，
∵∠FDA=∠B+∠BAD，
∠FAD=∠CAF+∠DAC，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠CAF=∠B=45°．
30．50.
【分析】
根据△ABC的三条角平分线交于O点，故点O到三角形各边的距离相等，即△ABO、△ACO、△BCO的高相等，再把这三个三角形的面积加起来即为△ABC的面积.
【详解】
∵△ABC的三条角平分线交于O点，
∴点O到三角形各边的距离相等，
即△ABO、△ACO、△BCO的高相等，h=5,
∵△ABC的周长为20，即AB+AC+BC=20,
∴S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO
=ABh+ACh+BCh
=（AB+AC+BC）h
=205=50.
【点拨】此题主要考察三角形内角平分线的性质.
31．9：10：12
【分析】
过作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为45，50，60，即可求得：：的值．
【详解】
如图，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，
∵点O是三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF，
则S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB•OD：BC•OE：AC•OF
=AB：BC：AC
=45：50：60
=9：10：12，
故答案为9：10：12．

【点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握辅助线的作法以及角平分线的性质、运用注意数形结合思想是解题的关键.
32．
【分析】
由角平分线的性质定理，得到CD=DE，然后等量代换即可得到答案．
【详解】
解：∵在中，，
∴DC⊥AC，
∵平分，，
∴CD=DE，
∴；
故答案为：8cm；
【点拨】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理，正确得到CD=DE．
33．16
【分析】
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE=OD=OF=2，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可作答．
【详解】
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，

∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OD，OD=OF，
即OE=OF=OD=2，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC，
=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD，
=×2×（AB+AC+BC），
=×2×16=16，
故答案为16．
【点拨】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
34．SSS
【分析】
连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．
【详解】

解：连接NC，MC，
在△ONC和△OMC中
，
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
故答案为SSS．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．
35．28
【分析】
利用基本作图得到AD平分，再根据角平分线的性质得点D到AB、AC的距离相等，于是利用三角形面积公式得到的面积：的面积：：4，从而可计算出的面积．
【详解】
解：由作法得AD平分∠BAC，则点D到AB、AC的距离相等，
所以△ACD的面积：△ABD的面积=AC：AB=3：4，
所以△ABD的面积=×21=28．
故答案为28．
【点拨】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质．
36．30°
【分析】
根据平行线的性质可得∠ABP=∠BAN，再根据角平分线的定义可得结果．
【详解】
解：∵MN∥PQ，，
∴∠ABP=∠BAN=60°，
由题意得：AF平分∠NAB，
∴∠NAF=∠BAF=∠BAN =30°，
故答案为：30°．
【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键．
37．2
【分析】
根据角平分线的性质得到DE=DC=1，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，

由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=1，
∴△ABD的面积=，
故答案为：2．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质、作角平分线，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
38．7
【分析】
由非负性可求AD＝3，BC＝4，如图，在AB上截取AH＝AD＝3，连接HE，由“SAS”可证△DAE≌△HAE，可得∠DEA＝∠AEH，由“ASA”可证△BEH≌△BEC，可得BH＝BC＝4，即可求解．
【详解】
∵（x﹣3）2+|y﹣4|＝0，
∴x-3=0，y-4=0，
∴x＝3，y＝4，
∴AD＝3，BC＝4，
如图，在AB上截取AH＝AD＝3，连接HE，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠DAB，∠EBC＝∠EBA＝∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEA+∠BEC＝90°，
∵∠DAE＝∠EAH，AD＝AH，AE＝AE，
∴△DAE≌△HAE（SAS）
∴∠DEA＝∠AEH，
∵∠AEH+∠BEH＝90°，∠DEA+∠BEC＝90°，
∴∠HEB＝∠CEB，且BE＝BE，∠CBE＝∠HBE，
∴△BEH≌△BEC（ASA）
∴BH＝BC＝4，
∴AB＝AH+BH＝7．

【点拨】此题考查平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质，三角形全等的判定及性质.
39．详见解析
【分析】
（1）由角平分线定义可证△BCE≌△DCF（HL）；（2）先证Rt△FAC≌Rt△EAC，得AF=AE，由（1）可得AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【详解】
（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定、性质和角平分线定义，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
40．详见解析.
【分析】
利用BF平分∠ABC知∠CBF＝∠DBE，又∠ACB=90°,CD⊥AB得∠CFB＝∠DEB，再利用对顶角相等得∠CFB＝∠FEC，即CE＝CF.
【详解】
证明：∵∠ACB＝90°,CD⊥AB
∴∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB＝90°
∵BF平分∠ABC
∴∠CBF＝∠DBE
∴∠CFB＝∠DEB
∵∠FEC＝∠DEB
∴∠CFB＝∠FEC
∴CE＝CF
【点拨】此题主要考察角平分线的定义，并通过角的等量变换，等腰三角形的判定进行证明.
41．见解析
【解析】
【分析】
若D点到A、B、C三点的距离相等，那么D点为△ABC的内心
【详解】
解：如图所示.

【点拨】此题考查的是三角形内心的性质，准确的画出△ABC的内心是解答此题的关键．