2020-2021学年北京市密云区九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年北京市密云区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的.

1．（3分）抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

2．（3分）如图，直线，直线被，，所截得的两条线段分别为、，直线被，，所截得的两条线段分别为、．若，，，则的长为　　

A．0.6 B．1.2 C．2.4 D．3.6

3．（3分）已知点，是反比例函数图象上的两点，则　　

A． B． C． D．

4．（3分）将的各边长都缩小为原来的，则锐角的正弦值　　

A．不变 B．缩小为原来的 

C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的

5．（3分）如图，二次函数的图象经过点，和，则下列结论错误的是　　

A．二次函数图象的对称轴是直线 

B．方程的两根是， 

C．当时，函数值随自变量的增大而减小 

D．函数的最小值是

6．（3分）如图，是的直径，、是上的两点，，则的度数为　　

A． B． C． D．

7．（3分）如图，在平面直角坐标系中有两点和，以原点为位似中心作，与的相似比为2，其中点与点对应，点与点对应，且在轴左侧，则点的坐标为　　

A． B． C． D．

8．（3分）如图，是的直径，，是圆周上一动点（点与点、点不重合），，垂足为，点是的中点．设长为，长为，则表示与之间函数关系的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．（3分）已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为　　（结果保留．

10．（3分）已知中，是上一点，添加一个条件使得，则添加的条件可以是　　．

11．（3分）已知点，、，是反比例函数图象上的两点，其中，则　　．

12．（3分）如图，中，是中点，与交于点，则与的面积比为　　．

13．（3分）二次函数的最小值是　　．

14．（3分）如图，、、是上三点，，垂足为．已知，，则长为　　．

15．（3分）如图是某商场自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为，则自动扶梯的垂直高度　　．（结果保留根号）

16．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”

根据题意，该直角三角形内切圆的直径为　　步．

三、解答题（本题共52分，其中17-21每题5分，22题6分，23-25题每题7分）

17．（5分）计算：．

18．（5分）已知抛物线经过两点，．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）在平面直角坐标系内画出抛物线的示意图；

（3）若直线经过，两点，结合图象直接写出不等式的解集．

19．（5分）如图，，，点在上，，，，．

（1）求证：；

（2）求的度数．

20．（5分）如图，四边形中，，，，，求的长．

21．（5分）已知双曲线与直线交于和．

（1）求、值；

（2）将直线平移得到，且，与双曲线围成的封闭区域内（不含边界）恰有3个整点（把横纵坐标均为整数的点称为整点）结合图象，直接写出的取值范围．

22．（6分）如图，是的直径，、是圆上两点，，过点作的垂线分别交，延长线于点，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的半径．

23．（7分）已知抛物线与轴交于点，将点向右平移4个单位得到点，点也在抛物线上．

（1）抛物线的对称轴是直线　　；

（2）用含的代数式表示；

（3）已知点，，抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围．

24．（7分）如图，矩形中，，平分交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，与交于点．

（1）①补全图形；

②设的度数为，直接写出的度数（用含的代数式表示）．

（2）连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

25．（7分）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：是图形上的任意一点，是图形上任意一点，如果，两点间距离有最小值，则称这个最小值为图形，的“最小距离”，记作．

已知的半径为1．

（1）如图，，则（点，　　，（点，　　．

（2）已知、是上两点，且的度数为．

①若轴且在轴上方，直线，求的值；

②若点坐标为，，直接写出（点，的取值范围．

2020-2021学年北京市密云区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的.

1．（3分）抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：是抛物线的顶点式，

抛物线的顶点坐标为．

故选：．

2．（3分）如图，直线，直线被，，所截得的两条线段分别为、，直线被，，所截得的两条线段分别为、．若，，，则的长为　　

A．0.6 B．1.2 C．2.4 D．3.6

【解答】解：直线，

，

，，，

，

，

故选：．

3．（3分）已知点，是反比例函数图象上的两点，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：中，

此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，

，

，

故选：．

4．（3分）将的各边长都缩小为原来的，则锐角的正弦值　　

A．不变 B．缩小为原来的 

C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的

【解答】解：设，，，

则，

由题意得，缩小后三边长是，，，

，

锐角的正弦值不变，

故选：．

5．（3分）如图，二次函数的图象经过点，和，则下列结论错误的是　　

A．二次函数图象的对称轴是直线 

B．方程的两根是， 

C．当时，函数值随自变量的增大而减小 

D．函数的最小值是

【解答】．由点、的坐标知，二次函数图象的对称轴是直线，故正确，不符合题意；

．由函数图象知，与轴交点坐标为、，故方程的两根是，，故正确，不符合题意；

．抛物线的对称轴为直线，从图象看，当时，函数值随自变量的增大而减小，故正确，不符合题意；

．设抛物线的表达式为，当时，，解得，

故抛物线的表达式为，当时，函数的最小值为，故错误，符合题意，

故选：．

6．（3分）如图，是的直径，、是上的两点，，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

（圆周角定理），

是的直径，

，

，

故选：．

7．（3分）如图，在平面直角坐标系中有两点和，以原点为位似中心作，与的相似比为2，其中点与点对应，点与点对应，且在轴左侧，则点的坐标为　　

A． B． C． D．

【解答】解：点和，以原点为位似中心作，与的相似比为2，点与点对应，点与点对应，且在轴左侧，

点的坐标为．

故选：．

8．（3分）如图，是的直径，，是圆周上一动点（点与点、点不重合），，垂足为，点是的中点．设长为，长为，则表示与之间函数关系的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：是直径，则，

则，

而，

，

则，

则，即，

点是的中点，则，

则，

即是开口向上的抛物线，

为1时，值大于1，

故选：．

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．（3分）已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为　　（结果保留．

【解答】解：依题意，，，

扇形的弧长．

故答案为．

10．（3分）已知中，是上一点，添加一个条件使得，则添加的条件可以是　　．

【解答】解：添加，

又，

，

故答案为：（答案不唯一）．

11．（3分）已知点，、，是反比例函数图象上的两点，其中，则　0　．

【解答】解：点，、，是反比例函数图象上的两点，

，，

，

，

故答案为0．

12．（3分）如图，中，是中点，与交于点，则与的面积比为　　．

【解答】解：平行四边形，

，，

，，

，

，

为中点，

，

，

，

故答案为：．

13．（3分）二次函数的最小值是　　．

【解答】解：二次函数可化为，

最小值是．

14．（3分）如图，、、是上三点，，垂足为．已知，，则长为　　．

【解答】解：连接，如图所示：

，

，

，，

，

，

，

故答案为：．

15．（3分）如图是某商场自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为，则自动扶梯的垂直高度　　．（结果保留根号）

【解答】解：，，，

，

，

，

在中，

，

故答案为：．

16．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”

根据题意，该直角三角形内切圆的直径为　4　步．

【解答】解：如图，，，，为的内切圆，分别与三边切于、、，

连接、，如图，设的半径为，

、与相切，

，，

四边形为矩形，

而，

矩形为正方形，

，

，，

，，

，，

，

，解得，

的直径为4．

故答案为4．

三、解答题（本题共52分，其中17-21每题5分，22题6分，23-25题每题7分）

17．（5分）计算：．

【解答】解：原式

．

18．（5分）已知抛物线经过两点，．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）在平面直角坐标系内画出抛物线的示意图；

（3）若直线经过，两点，结合图象直接写出不等式的解集．

【解答】解：（1）抛物线经过两点，．

，

解得，

抛物线的表达式为．

（2）画出函数图象如图；

（3）由图象可知，不等式的解集为．

19．（5分）如图，，，点在上，，，，．

（1）求证：；

（2）求的度数．

【解答】（1）证明：，，点在上，

．

，，，，

，．

．

；

（2）由（1）知，，则．

，

．

．

20．（5分）如图，四边形中，，，，，求的长．

【解答】解：，，，

，

，

，，

．

21．（5分）已知双曲线与直线交于和．

（1）求、值；

（2）将直线平移得到，且，与双曲线围成的封闭区域内（不含边界）恰有3个整点（把横纵坐标均为整数的点称为整点）结合图象，直接写出的取值范围．

【解答】解：（1）点在双曲线上，

．

双曲线的表达式为

点在双曲线上，

；

（2）由函数图象可知，

若直线在直线的下方时，；

若直线在直线的上方时，；

综上，的取值范围是：或．

22．（6分）如图，是的直径，、是圆上两点，，过点作的垂线分别交，延长线于点，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的半径．

【解答】（1）证明：连接，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是的切线；

（2）解：在中，，

，

，

设，，则，

，

，

，

，，

，

，

，

，

．

23．（7分）已知抛物线与轴交于点，将点向右平移4个单位得到点，点也在抛物线上．

（1）抛物线的对称轴是直线　2　；

（2）用含的代数式表示；

（3）已知点，，抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围．

【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，

，

将点向右平移4个单位得到点，

；

与关于对称轴对称，

抛物线对称轴直线，

故答案为2；

（2）抛物线对称轴直线，

，

；

（3）解：由（2）可知，抛物线的表达式为，

令，解得：，，

抛物线经过和

设点，在抛物线上，则，．

故此点在上方，

①当时，若使抛物线与线段恰有一个公共点，需满足点与点重合（如图或点在点下方（如图，即，

解得：，即，

②当时，，故此点在点下方，此时抛物线与线段恰有一个公共点（如图，

综上所述：的取值范围是：或．

24．（7分）如图，矩形中，，平分交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，与交于点．

（1）①补全图形；

②设的度数为，直接写出的度数（用含的代数式表示）．

（2）连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

【解答】解：（1）①补全图形如下：

②将线段绕点逆时针旋转得到线段，

，，

，

，

，

．

（2）．

证明：延长，交于点，

四边形是矩形，

，

平分，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

25．（7分）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：是图形上的任意一点，是图形上任意一点，如果，两点间距离有最小值，则称这个最小值为图形，的“最小距离”，记作．

已知的半径为1．

（1）如图，，则（点，　1　，（点，　　．

（2）已知、是上两点，且的度数为．

①若轴且在轴上方，直线，求的值；

②若点坐标为，，直接写出（点，的取值范围．

【解答】解：（1），

，

的半径为1，

（点，，（点，，

故答案为：1，4．

（2）①如图1中，不妨假设点在点的右侧，连接，．

设直线交轴于，交轴于，

则，，，

，

，

的度数为，

，

，

是等边三角形，

，

轴，

，

，

，

过点作于．

，，

，

．

②如图2中，连接．

，，

，

当点或点在时，的值最小，最小值．

如图3中，当交于时，的值最大，最大值，

．

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日期：2021/12/6 11:47:12；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122