人教版 (新课标)选修32 简谐运动的描述导学案及答案

第十一章 机械振动

11.2简谐运动的描述

【教学目标】

 1．掌握用振幅、周期和频率来描述简谐运动的方法。

2．理解振幅、周期和频率的物理意义。

3．明确相位、初相和相位差的概念。

4．知道简谐运动的表达式，明确各量表示的物理意义。

重点：振幅、周期和频率的物理意义。理解振动物件的固有周期和固有频率与振幅无关。

难点：理解振动物体的固有周期和固有频率与振幅无关。相位的物理意义。

【自主预习】

1.振幅：振动物体离开平衡位置的________距离。振幅的________表示的是做振动的物体运动范围的大小。

①定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅，用A表示，在国际单位制中的单位是米(m)。

②物理意义：振幅是表示振动强弱的物理量，振幅越大，表示振动越强。

2．简谐运动是一种________运动，一个完整的振动过程称为一次________。

3．周期：做简谐运动的物体完成________所需要的时间，用________表示。

频率：单位时间内完成全振动的________，用________表示。

周期与频率的关系是________。

在国际单位制中，周期的单位是________，频率的单位是______________，简称________，符号是________，1 Hz＝1________。

物理意义：周期和频率都是表示振动快慢的物理量

4．简谐运动的表达式：x＝___      _____。其中ω＝________＝________。

做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式：

x＝Asin(ωt＋φ)

(1)式中x表示振动质点相对平衡位置的位移。

(2)式中A表示简谐运动的振幅。

(3) 式中ω是简谐运动的圆频率，他也表示简谐运动的快慢

(4)式中φ表示t＝0时简谐运动质点所处的位置，称为初相位，或初相；(ωt＋φ)代表了做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的某个状态，所以代表简谐运动的相位。

(5)相位差：即某一时刻的相位之差，两个具有相同圆频率(ω)的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，当φ2＞φ1时，其相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1。

此时我们常说2的相位比1超前Δφ，或者说1的相位比2的相位落后Δφ。

【典型例题】

【例1】如图11－2－2所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是                                          (　　)

A．振子从B经O到C完成一次全振动

B．振动周期是1 s，振幅是10 cm

C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm

D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm

【思维点悟】一次全振动过程中振子要两次经过同一位置(最大位移处除外)，且路程为4A，经过n次全振动，路程应为4nA。

【例2】物体A做简谐运动的振动位移，xA＝3sin m，物体B做简谐运动的振动位移，xB＝5sin m。比较A、B的运动                                                                                                  (　　)

A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m

B．周期是标量，A、B周期相等为100 s

C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB

D．A的相位始终超前B的相位

【例3】．两个简谐运动分别为x1＝4asin(4πbt＋π)和x2＝2asin(4πbt＋π)，求它们的振幅之比，各自的频率，以及它们的相位差。

【例4】一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s(如图11－2－4)。过B点后再经过t＝0.5 s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是                            (　　)

A．0.5 s　　　　　　  B．1.0 s

C．2.0 s      D．4.0 s

【课后练习】

1．关于简谐运动的频率，下列说法正确的是(　　)

A．频率越高，振动质点运动的速度越大

B．频率越高，单位时间内速度的方向变化的次数越多

C．频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次

D．弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置时的速度大小有关

2．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)

A．1 ：1　1 ：1      B．1 ：1　1 ：2

C．1 ：4　1 ：4         D．1 ：2　1 ：2

3．如图2－2所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝1 cm，然后释放振子，经过0.2 s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2 cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为(　　)

A．0.2 s       B．0.4 s 

C．0.1 s       D．0.3 s

4．一个弹簧振子做简谐运动，振幅为A，若在Δt时间内振子通过的路程为x，则下列关系中不一定正确的是(包括肯定错误的)(　　)

A．若Δt＝2T，则x＝8A 

B．若Δt＝，则x＝2A

C．若Δt＝，则x＜2A 

D．若Δt＝，则x＝A

5．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质点(　　)

A．第1 s末与第3 s末的位移相同

B．第1 s末与第3 s末的速度相同

C．第3 s末至第5 s末的位移方向都相同

D．第3 s末至第5 s末的速度方向都相同

6．某质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，则 (          )

A．当质点再次经过此位置时，经历的时间为一个周期

B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期

C．当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期

D．以上三种说法都不对

7．如图所示，弹簧振子以O为平衡位置在B、C间做简谐运动，则             (          )

A．从B →O →C为一次全振动

B．从O →B →O →C为一次全振动

C．从C →O →B →O →C为一次全振动

D．从D →C →D →O→ B为一次全振动

8．在上题中的弹簧振子，若BC=5 cm，则下列说法中正确的是（         )

A．振幅是5 cm

B．振幅是2.5 cm

C．经3个全振动时振子通过的路程是30 cm

D．不论从哪个位置开始振动，经两个全振动，振子的位移都是零

9．下列关于简谐运动的周期、频率、振幅的说法正确的是 (          )

A．振幅是矢量，方向是从平衡位置指向最大位移处

B．周期和频率的乘积是个常数

C．振幅增大，周期也必然增大，而频率减小

D．弹簧振子的频率只由弹簧的劲度系数决定

10．一弹簧振子的振动周期为0. 20 s，当振子从平衡位置开始向右运动，经过1.78 s时，振子的运动情况是    (          )

A．正在向右做减速运动    

B．正在向右做加速运动

C．正在向左做减速运动    

D．正在向左做加速运动

11．一个做简谐运动的物体，频率为25 Hz，那么它从一侧最大位移的中点D，振动到另一侧最大位移的中点C所用的最短时间，下面说法中正确的是     (          )

A．等于0.01 s              

B．小于0.01 s

C．大于0.01 s              

D．小于0.02 s大于0.01 s

12．质点沿直线以O为平衡位置做简谐运动，A、B两点分别为正最大位移处与负最大位移处的点，A、B相距10 cm，质点从A到B的时间为0.1 s，从质点到O点开始计时，经0.5 s，则下述说法中正确的是 (          )

A．振幅为10 cm                         

B．振幅为20 cm

C．通过路程50 cm                       

D．质点位移为50 cm

13．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程。

14．一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1 s第二次通过M点，则质点振动周期的可能值为多大？

例题答案：

1. 【答案】D

【解析】振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm。振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动中通过的路程为40 cm,3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm。

2. 【答案】C、D

【解析】振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别为3 m、5 m，A错；A、B的周期T＝ s＝ s＝6.28×10－2 s，B错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φAO－φBO＝，D对，故选C、D。

3. 解析：振幅之比＝＝。它们的频率相同，都是f＝＝＝2b。它们的相位差Δφ＝φ2－φ1＝π，两振动为反相。

4. 【答案】C

【解析】根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图11－2－5。质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝×0.5 s＝0.25 s。质点从B向右到达右方极端位置(设为D)的时间tBD＝×0.5 s＝0.25 s。所以，质点从O到D的时间：

tOD＝T＝0.25 s＋0.25 s＝0.5 s

所以T＝2 s。

课后练习：

1. 解析：简谐运动的频率与物体运动的快慢没有关系，描写物体运动的快慢用速度，而速度是变化的，假如说物体振动过程中最大速度越大，也不能说明它的频率越大。振动的越快和运动的越快意义是不同的，故A错误；简谐运动的物体在一个周期内速度的方向改变两次，频率越高，单位时间内所包含的周期个数越多，速度方向变化的次数就越多，故B、C正确；弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置的速度没有关系，它由振动系统的固有量：质量m和弹簧的劲度系数k决定，故D错误。

2. 解析：弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1 2。而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1 1。

答案：B

3. 解析：简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的，它们相等。

答案：A

4. 解析：若Δt＝，质点通过的路程必为2A，选项C错；若Δt＝，则质点通过的路程可能大于A，可能等于A，也可能小于A，故选项D不一定正确。

答案：C、D

5. 解析：根据x＝Asint可求得该质点振动周期为T＝8 s，则该质点振动图象如图所示，图象的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确、B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确。

答案：A、D

6.D

7.C

8.BCD

9.B

10．B

11.B

12.C

13. 解析：简谐运动振动方程的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ)。

根据题给条件有：A＝0.08 m，ω＝2πf＝π。所以x＝0.08sin(πt＋φ) m。将t＝0时x＝0.04 m代入得0.04＝0.08sinφ，解得初相φ＝或φ＝π。因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝π。即所求的振动方向为x＝0.08sin(πt＋π)m。

答案：x＝0.08sin(πt＋π) m

14. 解析：质点振动周期共存在两种可能性。设质点在AA′范围内运动。

(1)如图甲所示，由O→M→A历时0.13 s＋0.05 s＝0.18 s，则周期T1＝4×0.18 s＝0.72 s。(2)如图乙所示，由O→A′→M历时t1＝0.13 s，由M→A→M历时t2＝0.1 s，设由O→M或由M→O需时为t，则0.13－t＝2t＋0.1，故t＝0.01 s，所以周期T＝t1＋t2＋t＝0.24 s。

答案：0.72 s或0.24 s