2020-2021学年浙江省绍兴市柯桥区高二（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省绍兴市柯桥区高二（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省绍兴市柯桥区高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）已知直线l：，则直线l的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）在空间直角坐标系中，向量，，则向量＝（　　）
A．（0，1，10） B．（﹣4，7，0）
C．（4，﹣7，0） D．（﹣4，﹣12，25）
3．（4分）已知两条直线l1：mx+y﹣1＝0和l2：x+（m﹣2）y+2＝0互相垂直，则实数m的值为（　　）
A．0 B．1 C．0或1 D．2
4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）

A．cm3 B．πcm3 C．cm3 D．cm3
5．（4分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则正确的命题是（　　）
A．α⊥β，m⊥β，则m∥α B．m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．m⊂α，n∥β，则m∥n D．m∥α，m∥β，则α∥β
6．（4分）已知双曲线C与双曲线有相同的焦点，且其中一条渐近线方程为y＝﹣2x，则双曲线C的标准方程是（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）已知圆C1：x2+（y+m）2＝2与圆C2：（x﹣m）2+y2＝8恰有两条公切线，则实数m的取值范围是（　　）
A．1＜m＜3 B．﹣1＜m＜1
C．m＞3 D．﹣3＜m＜﹣1或1＜m＜3
8．（4分）已知在正四面体（各棱长均相等的四面体）ABCD中，，则直线AB与DE所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）已知双曲线C：左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交双曲线左支于P，交渐近线于点Q，且F1Q⊥F2Q，若|PQ|＝2|PF1|，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．+1 D．+1
10．（4分）已知E，F是四面体的棱AB，CD的中点，过EF的平面与棱AD，BC分别相交于G，H，则（　　）
A．GH平分EF， B．EF平分GH，
C．EF平分GH， D．GH平分EF，
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．（6分）已知圆E：（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则该圆的圆心坐标是　 　，半径为　 　．
12．（6分）已知直线l的斜率为1，过点A（0，2），则l的方程为　 　，过点且与l平行的直线方程为　 　．
13．（6分）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，A（a，1，0），B（0，a，1），若a＝2，则|AB|＝　 　，若∠AOB＝，则a＝　 　．
14．（6分）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则圆锥的底面半径为　 　，体积为　 　．
15．（4分）在平面直角坐标系中，已知A（1，0）和B（4，0），动点P（x，y）满足|PA|＝2|PB|，则的取值范围为　 　．
16．（4分）已知A、B为抛物线x2＝4y上的不同的两点，线段AB中点为P，若|AB|＝6，则点P到x轴距离的最小值为　 　．
17．（4分）已知椭圆，A，B是椭圆C上两点，且关于点对称，P是椭圆C外一点，满足PA，PB的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。
18．（14分）已知直线l：kx+y+k+1＝0，圆C：（x﹣1）2+y2＝4．
（1）当k＝1时，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l被圆C截得的弦长恰好为，求k的值．






19．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PC＝PD＝DC＝2AD，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，O、E分别是棱CD、PA的中点．
（1）求证：OE∥平面PBC；
（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小．



20．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝CD＝DB＝．
（1）若平面BCD⊥平面ABC，求证：AB⊥CD；
（2）若AD＝1，求CD与平面ABC所成的角．






21．（15分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在x轴上，点M（m，2）在抛物线E上，且|MF|＝2．
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知圆O：x2+y2＝5交抛物线E与A，B两点，过劣弧上一点D作圆O的切线l交抛物线E与P，T两点，求|PF|+|TF|的取值范围．











22．（15分）如图，F1，F2为椭圆的左、右焦点．点Q满足：延长QF1，QF2分别交椭圆E于M，N两点，且△QMN的重心P在椭圆E．直线F1P交QN于点S．
（1）若A1，A2是椭圆长轴的两个端点，求直线PA1，PA2的斜率之积；
（2）设△QF1P，△PSN的面积分别为S1，S2，求的最小值．


2020-2021学年浙江省绍兴市柯桥区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）已知直线l：，则直线l的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．则tanθ＝，
∴θ＝30°＝．故选：C．
2．（4分）在空间直角坐标系中，向量，，则向量＝（　　）
A．（0，1，10） B．（﹣4，7，0）
C．（4，﹣7，0） D．（﹣4，﹣12，25）
【解答】解：∵，∴．故选：A．
3．（4分）已知两条直线l1：mx+y﹣1＝0和l2：x+（m﹣2）y+2＝0互相垂直，则实数m的值为（　　）
A．0 B．1 C．0或1 D．2
【解答】解：因为两条直线l1：mx+y﹣1＝0和l2：x+（m﹣2）y+2＝0互相垂直，
所以m•1+1•（m﹣2）＝0，解得m＝1．故选：B．
4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）

A．cm3 B．πcm3 C．cm3 D．cm3
【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体的直观图：该几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱切去一个高为1的圆柱的一半，则．故选：C．
5．（4分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则正确的命题是（　　）
A．α⊥β，m⊥β，则m∥α B．m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．m⊂α，n∥β，则m∥n D．m∥α，m∥β，则α∥β
【解答】解：由α⊥β，m⊥β，得m∥α或m⊂α，故A错误；
若m∥n，m⊥α，由线面垂直的性质可得，n⊥α，故B正确；
由m⊂α，n∥β，而α与β可能平行，也可能相交，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故C错误；
由m∥α，m∥β，得α∥β或α与β相交，故D错误．故选：B．
6．（4分）已知双曲线C与双曲线有相同的焦点，且其中一条渐近线方程为y＝﹣2x，则双曲线C的标准方程是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：双曲线的焦点（±，0），所以所求双曲线的焦点坐标（±，0），
渐近线方程为y＝﹣2x，可得a＝2b，又a2+b2＝5，
所以a＝2，b＝1，所求的双曲线方程为：．故选：D．
7．（4分）已知圆C1：x2+（y+m）2＝2与圆C2：（x﹣m）2+y2＝8恰有两条公切线，则实数m的取值范围是（　　）
A．1＜m＜3 B．﹣1＜m＜1
C．m＞3 D．﹣3＜m＜﹣1或1＜m＜3
【解答】解：∵圆C1：x2+（y+m）2＝2与圆C2：（x﹣m）2+y2＝8恰有两条公切线，∴两圆相交．
由圆心C1（0，﹣m），半径R＝，圆C2（m，0），半径r＝2，则|C1C2|＝|m|，
若两圆相交，则满足r﹣R＜|C1C2|＜R+r，
即＜|m|＜3，所以1＜|m|＜3，解得﹣3＜m＜﹣1或1＜m＜3；故选：D．
8．（4分）已知在正四面体（各棱长均相等的四面体）ABCD中，，则直线AB与DE所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：取AC上一点F，使得，连结EF，ED，FD，
又因为，故EF∥AB，
所以∠FED即为直线AB与DE所成的角，
不妨设正四面体ABCD的棱长为3，
则，EC＝2，FC＝2，
在△ECD中，EC＝2，CD＝3，∠ECD＝60°，
所以ED2＝EC2+CD2﹣2EC•CD•cos∠ECD＝，故ED＝，
同理在△FCD中，FD＝，
在△FED中，，
所以直线AB与DE所成角的余弦值是．故选：A．

9．（5分）已知双曲线C：左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交双曲线左支于P，交渐近线于点Q，且F1Q⊥F2Q，若|PQ|＝2|PF1|，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．+1 D．+1
【解答】解：因为F1Q⊥F2Q，O是F1F2中点，
所以|OQ|＝c，
设Q（x，y）（x＞0，y＞0），
则，又a2+b2＝c2，
解得，即Q（a，b），
|PQ|＝2|PF1|，则＝2，
所以（xP﹣a，yP﹣b）＝2（﹣c﹣xP，﹣yP），
解得，
又P在双曲线上，
所以﹣＝1，解得e＝（舍去），
故选：A．
10．（4分）已知E，F是四面体的棱AB，CD的中点，过EF的平面与棱AD，BC分别相交于G，H，则（　　）
A．GH平分EF， B．EF平分GH，
C．EF平分GH， D．GH平分EF，
【解答】解：设AC，BD的中点分别为M，N，
则四边形EMFN为平行四边形，且AD∥平面EMFN，BC∥平面EMFN，
设GH∩EF＝O，连接OK（K为DH的中点），则OK∥DG，
由于K为DH的中点，
则O为GH的中点，所以EF平分GH，
因为TEH为△ABD的一条截线，
由梅涅劳斯定理可得，，故，
又TGF为△ADC的一条截线，
由梅涅劳斯定理可得，，故，所以＝．故选：C．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．（6分）已知圆E：（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则该圆的圆心坐标是　（1，﹣2）　，半径为　2　．
【解答】解：根据题意，圆E：（x﹣1）2+（y+2）2＝4，
其圆心为（1，﹣2），半径r＝2，
故答案为：（1，﹣2），2．
12．（6分）已知直线l的斜率为1，过点A（0，2），则l的方程为　y＝x+2　，过点且与l平行的直线方程为　y＝x﹣+1　．
【解答】解：因为直线l的斜率为1，过点A（0，2），
所以l的方程为y﹣2＝x﹣0，即y＝x+2，
设与l平行的直线方程为y＝x+b，
因为过点，所以1＝+b，
即b＝﹣+1，
所以过点且与l平行的直线方程为y＝x﹣+1．
故答案为：y＝x+2；y＝x﹣+1．
13．（6分）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，A（a，1，0），B（0，a，1），若a＝2，则|AB|＝　　，若∠AOB＝，则a＝　1　．
【解答】解：因为O为坐标原点，A（a，1，0），B（0，a，1），
若a＝2，则A（2，1，0），B（0，2，1），
则两点的距离为|AB|＝＝，
若∠AOB＝，则＝，解得a2﹣2a+1＝0，解得a＝1．
故答案为：，1．
14．（6分）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则圆锥的底面半径为　　，体积为　　．
【解答】解；如图，

由题意可知，圆锥侧面展开图的弧长为，
设圆锥的底面半径为r，则2，得r＝，
圆锥的高为h＝．
∴圆锥的体积V＝．
故答案为：；．
15．（4分）在平面直角坐标系中，已知A（1，0）和B（4，0），动点P（x，y）满足|PA|＝2|PB|，则的取值范围为　　．
【解答】解：因为A（1，0）和B（4，0），动点P（x，y）满足|PA|＝2|PB|，
设P（x，y），则有，
整理可得（x﹣5）2+y2＝4，
故点P的轨迹是以（5，0）为圆心，2为半径的圆，
又表示圆上的点与坐标原点的斜率，
设，则过原点斜率为k的直线为y＝kx，
当直线与圆相切时，取得最值，
利用圆心到直线的距离等于半径，可得，
解得，
故的取值范围为．
故答案为：．
16．（4分）已知A、B为抛物线x2＝4y上的不同的两点，线段AB中点为P，若|AB|＝6，则点P到x轴距离的最小值为　2　．
【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2），F为焦点，抛物线准线方程y＝﹣1，
根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：d＝＝﹣1
由抛物线定义d＝﹣1≥﹣1＝2（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号）．故答案为：2．
17．（4分）已知椭圆，A，B是椭圆C上两点，且关于点对称，P是椭圆C外一点，满足PA，PB的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是　或　．
【解答】解：设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
因为A，B是椭圆C上两点，
则有①，②，
因为点A，B关于点对称，
所以有x1+x2＝1③，y1+y2＝④，
所以PA的中点（，）在椭圆C上，
则有⑤，
PB的中点（，）在椭圆C上，
则有⑥，
①﹣②可得，，即，
将③④代入上式可得，，
所以，
⑤﹣⑥可得，，
两边同除以x1﹣x2可得，，
将③④以及代入上式可得，，
解得⑦，
⑤+⑥可得，，
将①②③④代入上式可得，，
再将⑦代入上式可得，，
即，解得，
又因为点P在椭圆外，
所以，，
所以符合题意，
当时，；当时，，
综上所述，点P的坐标为或．
故答案为：或．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。
18．（14分）已知直线l：kx+y+k+1＝0，圆C：（x﹣1）2+y2＝4．
（1）当k＝1时，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l被圆C截得的弦长恰好为，求k的值．
【解答】解：（1）当k＝1时，直线l的方程为x+y+2＝0，圆C的圆心坐标为（1，0），半径r＝2，
圆心到直线的距离，………………………（5分）
∵，∴d＞r，所以此时直线l与圆C的位置关系为：相离．………………………（7分）
（2）根据圆的弦长公式：，又，得d＝1，……………（9分）
∴弦心距，解得k＝0或． ………………………（12分）
经检验，均符合要求．…………………（14分）
19．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PC＝PD＝DC＝2AD，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，O、E分别是棱CD、PA的中点．
（1）求证：OE∥平面PBC；
（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小．

【解答】（1）证明：取PB中点F，连接EF，FC，易知EF∥AB∥OC，且EF＝OC，
所以四边形EOCF为平行四边形，∴EO∥CF，…………（3分）
∵EO⊄平面PBC，CF⊂平面PBC，∴EO∥平面PBC．………………………（6分）
（2）解：取AB中点G，连接PO，OG，PG，
∵PC＝PD，OC＝OD，
∴PO⊥CD． ……………………（8分）
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PO⊥平面ABCD．
∴PO⊥AB，………………………（10分）
又易知AB⊥OG，∴AB⊥平面PGO，∴AB⊥PG．
所以∠PGO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，………………………（12分）
不妨设AD＝1，则，
则在直角三角形PGO中，，∴∠PGO＝60°，
即所求二面角的大小为60°．………………………（15分）
20．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝CD＝DB＝．
（1）若平面BCD⊥平面ABC，求证：AB⊥CD；
（2）若AD＝1，求CD与平面ABC所成的角．

【解答】（1）证明：因为面BCD⊥面ABC，∠ABC＝90°，AB⊥BC，
∴AB⊥面BCD，……………（3分）
又因为CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．………………………（6分）

（2）解：设O为点D在平面ABC中的投影，E为BC的中点，连接OA，OE，OC，
则∠DCO为CD与平面ABC所成的角，……………………（8分）
∵AD＝1，AB＝1，，∴AB⊥AD，………………………（9分）
∴AB⊥平面AOD，∴AB⊥AO，……………………（11分）
又∵DB＝DC，∴OB＝OC，∴OE⊥BC，∴OE＝AB＝1，………………………（13分）
在直角三角形DOE中，，
在直角三角形DOC中，，∴∠DCO＝30°．………………………（15分）
21．（15分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在x轴上，点M（m，2）在抛物线E上，且|MF|＝2．
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知圆O：x2+y2＝5交抛物线E与A，B两点，过劣弧上一点D作圆O的切线l交抛物线E与P，T两点，求|PF|+|TF|的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线E的方程为y2＝2px，将M（m，2）坐标代入方程得4＝2pm，①
又，②………………………（3分）
由①，②解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x．………………………（6分）
（2）由题意可得A、B两点坐标分别为（1，2），（1，﹣2）
当直线l斜率不存在时，，………………………（7分）
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，P（x1，y1），T（x2，y2），
由直线与圆O相切，得，即m2＝5（1+k2），且mk＜0，
所以，……………………（9分）
D在劣弧AB上，所以，由图象的对称性不妨研究，………………………（10分）
联立，化简得k2x2+2（km﹣4）x+m2＝0，
有韦达定理得，………………………（11分）
由抛物线的定义可得|PF|+|TF|＝x1+x2+p＝＝
＝＝，………………………（13分）
设，，，
，
所以，………………………（14分）
所以． ………………………（15分）
22．（15分）如图，F1，F2为椭圆的左、右焦点．点Q满足：延长QF1，QF2分别交椭圆E于M，N两点，且△QMN的重心P在椭圆E．直线F1P交QN于点S．
（1）若A1，A2是椭圆长轴的两个端点，求直线PA1，PA2的斜率之积；
（2）设△QF1P，△PSN的面积分别为S1，S2，求的最小值．

【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可知A1（﹣2，0），A2（2，0），
则，

，………………………（4分）
因为P（x，y）在椭圆，所以，
所以．………………………（7分）
（2）∵，设，
又因为F1，P，S三点共线，
故可知，
∴，∴，………………………（9分）
因为点P为△QMN的重心，所以S△QMP＝S△QNP，
∵，
∴，令t＝2x﹣1∈（0，1），………………………（12分）
∴，………………………（14分）
当且仅当时，取得最小值． ………………………（15分）
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日期：2022/1/5 13:12:42；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983