2021年北京市普通高中高考数仿真试卷（二）

这是一份2021年北京市普通高中高考数仿真试卷（二），共10页。

1. 已知A＝{x||x|<1}，B＝{x|2x<1}，则A∪B＝（ ）
A.(−1, 0)B.(0, 1)C.(−1, +∞)D.(−∞, 1)

2. 在△ABC中，D、P分别为BC、AD的中点，且，则λ+μ＝（ ）
A.B.C.D.

3. 已知A(3, 2)，B(−2, 3)，C(4, 5)，则△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为（ ）
A.x+y+1＝0B.x+y−1＝0C.x+y−5＝0D.x−y−5＝0

4. 若定义在R的奇函数f(x)在(−∞, 0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是（ ）
A.[−1, 1]∪[3, +∞)B.[−3, −1]∪[0, 1]
C.[−1, 0]∪[1, +∞)D.[−1, 0]∪[1, 3]

5. 定义在R上的函数f(x)=(13)|x−m|−2为偶函数，a=f(lg212)，b=f((12)13)，c＝f(m)，则（ ）
A.c
6. 给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行．
其中正确命题的个数是（ ）
A.0B.1C.2D.3

7. 自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北．重庆第一批共派出甲、乙、丙、丁4支医疗队奔赴武汉、孝感、黄冈三个地方，每个地方至少一支医疗队，每支医疗队只去一个地方，则甲、乙都在武汉的概率为（ ）
A.B.C.D.

8. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（ ）

A.23与26B.31与26C.24与30D.26与30

9. 已知函数f(x)=cs(3x+φ)(−π2<φ<π2)图象关于直线x=5π18对称，则函数f(x)在区间[0, π]上零点的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4

10. 与直线3x−4y+5＝0关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A.3x+4y−5＝0B.3x+4y+5＝0C.3x−4y+5＝0D.3x−4y−5＝0

11. 已知向量，是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是（ ）
A.，+B.−2，−2
C.−2，4−2D.+，-

12. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A(2, 0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A.10−1B.22−1C.22D.10

13. 过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,−7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（ ）
A.26B.8C.46D.10

14. 函数f(x)=ex−e−xx2的图像大致为( )
A.B.
C.D.

15. 已知函数f(x)=4(13)x,x≥3，f(x+1),x<3， 则f(1+lg34)=( )
A.144B.13C.19D.36

16. a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，函数f(x)＝x2+c2−a2−ab有唯一零点，则的取值范围是（ ）
A.(1, 3)B.（）C.（）D.(1, 2)

17. 已知△ABC中，满足b＝2，B＝60∘的三角形有两解，则边长a的取值范围是（ ）
A.
18. 将函数的图象向右平移个周期后得到函数g(x)的图象，则g(x)图象的一条对称轴可以是（ ）
A.B.C.D.

19. 下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是( )
A.f(x)=lnxB.f(x)=1xC.f(x)=|x|D.f(x)=ex

20. 已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系（ ）
A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面

21. 《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（ ）
A.15B.25C.35D.110

22. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝2，底面ABCD是边长为的正方形．点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N两点，则四棱锥P−AMEN体积的最小值为（ ）

A.B.C.D.

23. 圆心为(2, 1)且和x轴相切的圆的方程是（ ）
A.(x−2)2+(y−1)2＝1B.(x+2)2+(y+1)2＝1
C.(x−2)2+(y−1)2＝5D.(x+2)2+(y+1)2＝5

24. 在△ABC中，A=60∘，AC=4，BC=23，则△ABC的面积( )
A.43B.4C.22D.23

25. 在△ABC中，D是线段AB上靠近B的三等分点，E是线段AC的中点，BE与CD交于F点，若AF→=aAB→+bAC→，则a，b的值分别为（ ）
A.12,14B.14,12C.13,15D.12,13

26. 在△ABC中，∠A＝90∘，，，则k的值是（ ）
A.5B.−5C.D.

27. 已知角θ的终边经过点(2, −3)，将角θ的终边顺时针旋转π4后，角θ的终边与单位圆交点的横坐标为（ ）
A.2626B.−2626C.52626D.−52626
二．解答题（共19分）

已知函数f(x)＝2sin(ωx+φ−）(0<φ<π, ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为．
（1）求的值；

（2）求函数的对称轴方程；

（3）当时，求函数y＝f(x)的值域．

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E，F分別是AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O．

(1)求证：A1，C1，F，E四点共面；

(2)若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD丄平面A1C1FE．

已知圆C:x2+y2−2x+4y＝0．
(Ⅰ)若直线l:2x−y+t＝0与圆C相切，求t的值；
(Ⅱ)若圆M：(x−3)2+(y−2)2＝r2(r>0)与圆C无公共点，求r的取值范围．

近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R(x)万元，且
由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(Ⅰ)求出2020年的利润W(x)（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）；
(Ⅱ)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
参考答案与试题解析
2021年北京市普通高中高考数仿真试卷（二）
一、在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
C
【考点】
平面向量的基本定理
向量的线性运算性质及几何意义
向量数乘的运算及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
C
【考点】
直线的两点式方程
【解析】
根据题意，设BC的中点为D，求出D的坐标，进而求出直线AD的斜率，结合直线的点斜式方程分析可得答案．
【解答】
根据题意，设BC的中点为D，
又由B(−2, 3)，C(4, 5)，则D的坐标为(1, 4)，
又由A(3, 2)，则kAD＝1，
故△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为y−2＝−(x−3)，即x+y−5＝0；
4.
【答案】
D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．
【解答】
解：因为fx为奇函数，且在−∞,0上单调递减，f2=0，所以fx在0,+∞上单调递减，f−2=0．
当x>0时，由xfx−1≥0可得fx−1≥f2，则0当x<0时，由xfx−1≥0可得fx−1≤f−2，则−2≤x−1<0，解得−1≤x<0．
当x=0或x=1时，显然符合题意．所以不等式xfx−1≥0的解集为−1,0∪1,3．
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
指数函数的单调性与特殊点
【解析】
根据题意偶函数的定义求出m的值，写出f(x)的解析式，判断函数的单调性，再比较a、b、c的大小．
【解答】
定义在R上的函数f(x)=(13)|x−m|−2为偶函数，
则f(−x)＝f(x)，即(13)|−x−m|−2=(13)|x−m|−2；
所以m＝0，
所以f(x)=(13)|x|−2，且在[0, +∞)上是单调减函数；
又lg212=−1，0<(12)13<12，m＝0；
所以f(lg212)即a6.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
利用空间四边形判断①；利用平面的基本性质判断②；利用等角定理判断③；利用直线的垂直故选判断④．
【解答】
①依次首尾相接的四条线段得到一个四边形，可能是空间四边形，也可能是平面四边形，所以①不正确；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；满足平面的基本性质，所以②正确；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；所以③不正确；
④垂直于同一直线的两条直线必平行．也可能异面，也可能是相交直线，所以④不正确；
7.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
B
【考点】
众数、中位数、平均数
茎叶图
【解析】
由茎叶图写出所有的数据从小到大排起，找出出现次数最多的数即为众数；找出中间的数即为中位数．
【解答】
由茎叶图得到所有的数据从小到大排为：
12，14，20，23，25，26，30，31，31，41，42
∴ 众数和中位数分别为31，26
9.
【答案】
C
【考点】
余弦函数的图象
余弦函数的对称性
【解析】
根据余弦型函数的对称性知，f(x)在x=5π18时取得最值，由此求出φ值，再令f(x)＝0，解出x，即可判断在[0, π]上零点个数．
【解答】
因为函数f(x)=cs(3x+φ)(−π2<φ<π2)图象关于直线x=5π18对称，
∴ cs(3×5π18+φ)=±1，∴ 5π6+φ=kπ,k∈Z，由−π2<φ<π2知，k＝1时，φ=π6．
故f(x)=cs(3x+π6)，令f(x)＝0得3x+π6=π2+kπ,k∈Z，∴ x=π9+kπ3,k∈Z．
因为x∈[0, π]，所以k＝0，1，2时，φ=π9,4π9,7π9满足条件．故零点有三个．
10.
【答案】
D
【考点】
与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
C
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
先求出点A关于直线x+y＝3的对称点A′，点A′到圆心的距离减去半径即为最短．
【解答】
设点A关于直线x+y＝3的对称点A′(a, b)，
AA′的中点为(a+b2, b2)，kAA′=ba−2
故ba−2⋅(−1)=−1a+22+b2=3 解得a=3b=1 ，
要使从点A到军营总路程最短，
即为点A′到军营最短的距离，
“将军饮马”的最短总路程为32+12−1=10−1，
13.
【答案】
C
【考点】
圆的一般方程
两点间的距离公式
斜率的计算公式
【解析】
本题考查圆的方程．
【解答】
解：∵ kAB⋅kBC=3−21−4×2+74−1=−1，
∴ 三角形ABC为直角三角形且∠B=90∘，
∴ 三角形外接圆的圆心为斜边AC的中点(1,−2)，圆的半径为12|AC|=5，
∴ 圆的方程为(x−1)2+(y+2)2=25．
令x=0，得y2+4y−20=0，记M，N的坐标为(0,y1)，(0,y2)，
则|MN|=|y1−y2|=y1+y22−4y1y2
=(−4)2−4×(−20)=46．
故选C．
14.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
【解析】
判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可．
【解答】
解：函数的定义域为{x|x≠0}，
f(−x)=e−x−exx2=−f(x)，
则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，
当x→+∞，f(x)→+∞排，故除CD.
故选B.
15.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
【解析】
推导出f(1+lg34)＝f(2+lg34)＝4×(13)​2+lg34，由此能求出结果．
【解答】
解：∵ 函数f(x)=4(13)x,x≥3，f(x+1),x<3，
∴ f(1+lg34)=f(2+lg34)=4×(13)​2+lg34
=4×(19×14)
=19．
故选C.
16.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
17.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
18.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
19.
【答案】
A
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
分别求出各个函数的定义域，从而选出答案．
【解答】
解：函数y=1x的定义域是{x|x>0}，
对于A，定义域是{x|x>0}，
对于B，定义域是{x|x≠0}，
对于C，定义域是R，
对于D，定义域是R.
故选A．
20.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
利用面面垂直的性质．画图判定
【解答】
解：如图1，可得a、b、c可能两两垂直；
如图2，可得a、b、c可能两两相交；
如图3，可得a、b、c可能两两异面；
故选B.
21.
【答案】
B
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
基本事件总数n=C52C33A22=20，大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数m=C22C33A22+C22C31C22A22=8，由此能求出大夫、不更恰好在同一组的概率．
【解答】
皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，
基本事件总数n=C52C33A22=20，
大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数m=C22C33A22+C22C31C22A22=8，
∴ 大夫、不更恰好在同一组的概率为p=mn=820=25．
22.
【答案】
D
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
23.
【答案】
A
【考点】
圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
24.
【答案】
D
【考点】
三角形的面积公式
余弦定理
【解析】
根据余弦定理求解AB，那么△ABC的面积S=12|AB|⋅|AC|⋅sinA可得答案．
【解答】
解：∵ A=60∘，b=AC=4，a=BC=23，
由余弦定理得：csA=b2+c2−a22bc，
即12=16+c2−128c，
解得：c=2.
那么△ABC的面积S=12|AB|⋅|AC|⋅sinA=12×2×4×32=23．
故选D.
25.
【答案】
A
【考点】
空间向量
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
利用平面向量的线性运算即可得出．
【解答】
取AD的中点为G，连接GE．由已知得GE // CD，所以DF // EG，又因为D是GB的中点，所以F是BE的中点，
所以AF→=12(AB→+AE→)=12(AB→+12AC→)=12AB→+14AC→．
∴ a=12，b=14．
26.
【答案】
A
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
27.
【答案】
B
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
先利用任意角的三角函数的定义求出sinθ，csθ，设角θ的终边顺时针旋转π4后得到的角为角α，则csα＝cs(θ−π4)，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．
【解答】
∵ 角θ的终边经过点(2, −3)，∴ sinθ=−322+(−3)2=−31313，csθ=222+(−3)2=21313，
设角θ的终边顺时针旋转π4后得到的角为角α，
∴ csα＝cs(θ−π4)=22(csθ+sinθ)=22(21313−31313)=−2626，
二．解答题（共19分）
【答案】
f(x)＝2sin(ωx+φ−）是偶函数＝+kπ(k∈Z)，
解得φ＝+kπ(k∈Z)，
又因为0<φ<π，所以φ＝，
所以＝4csωx，
由题意得＝2•，
故f(x)＝2cs2x，
因此＝2cs＝；
由f(x)＝2cs2x，得＝，
所以，
即，
所以函数的对称轴方程为；
由f(x)＝2cs4x，
当时，7x∈[0，]，
cs2x∈[−1, 8]，
则y＝f(x)的值域为[−2, 2]．
【考点】
正弦函数的奇偶性和对称性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：(1)连接AC，BD，
因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，
所以EF // AC，
由直棱柱知：AA1=CC1且AA1//CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，
所以AC // A1C1，
所以EF // A1C1，
故A1，C1，F，E四点共面；
(2)因为直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，
A1C1⊂平面A1B1C1D1，
所以DD1⊥A1C1，
因为底面A1B1C1D1是菱形，所以A1C1⊥B1D1，
又DD1∩B1D1=D1，所以A1C1⊥平面BB1DD1，
因为OD⊂平面BB1DD1，
所以OD⊥A1C1，
又OD⊥A1E，A1C1∩A1E=A1，
A1C1⊂平面A1C1FE，A1E⊂平面A1C1FE，
所以OD⊥平面A1C1FE.
【考点】
直线与平面垂直的判定
平面的基本性质及推论
【解析】
（1）连接AC，由EF是△ABC的中位线，可得EF // AC，又AA1= // CC1，可证AC // A1C1，从而可证EF // A1C1，即A1，C1，F，E四点共面；
（2）连接BD，可证DD1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，可证A1C1⊥平面BB1DD1，可得OD⊥A1C1，结合OD⊥A1E，即可证明OD⊥平面A1C1FE．
【解答】
证明：(1)连接AC，BD，
因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，
所以EF // AC，
由直棱柱知：AA1=CC1且AA1//CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，
所以AC // A1C1，
所以EF // A1C1，
故A1，C1，F，E四点共面；
(2)因为直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，
A1C1⊂平面A1B1C1D1，
所以DD1⊥A1C1，
因为底面A1B1C1D1是菱形，所以A1C1⊥B1D1，
又DD1∩B1D1=D1，所以A1C1⊥平面BB1DD1，
因为OD⊂平面BB1DD1，
所以OD⊥A1C1，
又OD⊥A1E，A1C1∩A1E=A1，
A1C1⊂平面A1C1FE，A1E⊂平面A1C1FE，
所以OD⊥平面A1C1FE.
【答案】
（1）根据题意，圆C:x2+y2−2x+4y＝0的方程为(x−1)2+(y+2)2＝5，其圆心C(1, −2)，半径r=5，
若直线l与圆C相切，则有d=|2×1−(−2)+t|1+4=5，
解可得：t＝1或−9，
故t的值为1或−9，
（2）根据题意，圆C的圆心C为(1, −2)，圆M的圆心M(3, 2)，则|MC|=20=25，
若圆M与圆C无公共点，则有r+5<25或r−5>25，
解可得：r<5或r>35；
故r的取值范围为：{x|r<5或r>35}
【考点】
圆的切线方程
【解析】
(Ⅰ)根据题意，由圆的方程分析圆C的圆心与半径，由直线与圆的位置关系可得d=|2×1−(−2)+t|1+4=5，解可得t的值，即可得答案；
(Ⅱ)根据题意，求出两圆的圆心距，结合圆与圆的位置关系分析可得r+5<25或r−5>25，解可得r的值，综合即可得答案．
【解答】
（1）根据题意，圆C:x2+y2−2x+4y＝0的方程为(x−1)2+(y+2)2＝5，其圆心C(1, −2)，半径r=5，
若直线l与圆C相切，则有d=|2×1−(−2)+t|1+4=5，
解可得：t＝1或−9，
故t的值为1或−9，
（2）根据题意，圆C的圆心C为(1, −2)，圆M的圆心M(3, 2)，则|MC|=20=25，
若圆M与圆C无公共点，则有r+5<25或r−5>25，
解可得：r<5或r>35；
故r的取值范围为：{x|r<5或r>35}
【答案】
（1）当0当x≥40时，W(x)=700x−(701x+10000x−9450)−250=−(x+10000x)+9200
∴ W(x)=−10x2+600x−250,0（2）若0当x＝30时，W(x)max＝8750万元 …
若x≥40，W(x)=−(x+10000x)+9200≤9200−210000=9000⋯⋯
当且仅当x=10000x时，即x＝100时，W(x)max＝9000万元 …
∴ 2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
(Ⅰ)讨论x的范围，得出L(x)的解析式；
(Ⅱ)分别求出L(x)在(0, 40)和(40, +∞)上的最大值即可得出结论．
【解答】
（1）当0当x≥40时，W(x)=700x−(701x+10000x−9450)−250=−(x+10000x)+9200
∴ W(x)=−10x2+600x−250,0（2）若0当x＝30时，W(x)max＝8750万元 …
若x≥40，W(x)=−(x+10000x)+9200≤9200−210000=9000⋯⋯
当且仅当x=10000x时，即x＝100时，W(x)max＝9000万元 …
∴ 2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．